基于“整體觀”的幾何教學(xué)與反思
——以“平行線的判定”教學(xué)為例

☉江蘇省常熟市白茆中學(xué)　章志霞

基于“整體觀”的幾何教學(xué)與反思
——以“平行線的判定”教學(xué)為例

☉江蘇省常熟市白茆中學(xué)章志霞

章建躍教授在《數(shù)學(xué)教育之取勢(shì)明道優(yōu)術(shù)》一文中指出：“教好數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵應(yīng)該是“為學(xué)生構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中學(xué)會(huì)思考”.并進(jìn)一步指出“在面對(duì)一個(gè)新的數(shù)學(xué)研究對(duì)象時(shí)，要有‘整體觀’，要先為學(xué)生構(gòu)建研究的整體框架”.基于上述“整體觀”理念，筆者最近開(kāi)發(fā)了“平行線的判定”教學(xué)設(shè)計(jì)，并且取得較好的教學(xué)效果，本文先呈現(xiàn)該課的教學(xué)設(shè)計(jì)，并給出課后反思，與大家研討.

一、“平行線的判定”教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）掌握平行線的判定方法（一個(gè)公理，兩個(gè)定理）；

（2）能書(shū)寫(xiě)規(guī)范的平行線判定的幾何語(yǔ)句解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；

（3）梳理和辨析不同的平行線判定方法；

（4）在平行線的判定學(xué)習(xí)中，感受轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想.

（二）學(xué)習(xí)流程

活動(dòng)1：從無(wú)到有，研究平行.從平面上一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，……

預(yù)設(shè)：從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，生成平面內(nèi)兩直線相交、平行兩種狀態(tài)，進(jìn)一步復(fù)習(xí)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角概念，為后續(xù)平行線的判定做好相關(guān)知識(shí)或概念上的準(zhǔn)備.也為引入截線，引出三線八角服務(wù).三線八角為什么要定義，在這兒可以跟學(xué)生做些解讀，主要就是為了研究平行線的判定和性質(zhì)，方便探索線段的位置關(guān)系與角的大小關(guān)系.

活動(dòng)2：公理、定理，判定平行.

基本事實(shí)（公理）：同位角相等，兩直線平行.

定理：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

定理：同旁內(nèi)角相等，兩直線平行.

預(yù)設(shè)意圖：從基本事實(shí)出發(fā)，證明兩個(gè)定理，規(guī)范幾何語(yǔ)句的表達(dá)，如果學(xué)生能規(guī)范書(shū)寫(xiě)，則快速向后推進(jìn).接著可進(jìn)一步將圖形特殊化如下，垂直狀態(tài)時(shí)會(huì)有怎樣的情形呢？師生共同歸納出相關(guān)推論：垂直于同一直線的兩直線平行，并指出這是一個(gè)真命題，有些教材上也把它作為平行線的判定依據(jù).

活動(dòng)3：應(yīng)用新知，證明問(wèn)題.

工具智慧

例1木工師傅經(jīng)常用一把直角尺畫(huà)出兩條平行的直線a和b.你知道這樣做的道理嗎？

例2有人認(rèn)為，可以用兩個(gè)相同的三角尺畫(huà)出平行線？你知道其中的道理嗎？

生活現(xiàn)實(shí)

例3蜂房的頂部由三個(gè)全等的四邊形圍成，每個(gè)四邊形的形狀如圖所示，其中∠α＝109°28′，∠β＝70°32′.試確定這些四邊形對(duì)邊的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)

下列推理是否正確？為什么？

（1）如圖，由∠1＝∠2，得l1∥l2；

（2）如圖，由∠4＋∠5＝180°，得l3∥l4；

（3）如圖，由∠2＝∠4，得l3∥l4；

（4）由∠3＋∠6＝180°，得l1∥l2.

預(yù)設(shè)意圖：本環(huán)節(jié)首先圍繞著“工具”展開(kāi)，分別以“一把直角尺”和“兩個(gè)三角尺”的實(shí)際操作圖示，幫助學(xué)生在應(yīng)用新知的初步階段形成清晰的形象認(rèn)知，為后繼進(jìn)行“蜂房”的驗(yàn)證思考以及推理練習(xí)奠定了感性基礎(chǔ).在練習(xí)時(shí)，教師通過(guò)安排例、習(xí)題練習(xí)，鞏固新知，同時(shí)講評(píng)時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生判斷，如果正確，要求學(xué)生說(shuō)明判定的依據(jù).

活動(dòng)4：變式拓展，指向生長(zhǎng).

預(yù)設(shè)意圖：“道生一，一生二，二生三”.引領(lǐng)學(xué)生再?gòu)牧硗獾慕嵌人伎?，再思考一種需要添加輔助線的問(wèn)題，主要涉及平行線的又一種判定方法“平行于同一直線的兩直線平行”.當(dāng)然問(wèn)題的思考過(guò)程中，還會(huì)涉及平行線的性質(zhì)，這里可以輔助思考，并不能因?yàn)橄乱还?jié)才主要學(xué)習(xí)這個(gè)性質(zhì)，這一節(jié)就回避這類問(wèn)題，注重側(cè)重點(diǎn)和平衡是很關(guān)鍵的，不涉及就是封閉的，涉及就是開(kāi)放的.重要的是，這種變式可以使得平行線的判定得到進(jìn)一步的系統(tǒng)化，比如本課小結(jié)時(shí)除了呈現(xiàn)上面的結(jié)構(gòu)圖之外，還可幫助學(xué)生將平行線的判定方法梳理如下.

（1）平行線的定義：同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線一定平行.

（2）平行公理與推論.

①平行公理（基本事實(shí)）：過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.

②推論（真命題）：平行于同一直線的兩直線平行.

（3）基于“三線八角”的研究.

①公理（基本事實(shí)）：同位角相等，兩直線平行.

②定理：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

③定理：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

④推論（真命題）：垂直于同一直線的兩直線平行.

二、教后反思

1.先構(gòu)建整體框架，再展開(kāi)具體探究

本課的教學(xué)目標(biāo)和預(yù)設(shè)的側(cè)重點(diǎn)并不在具體的推理，而是幫助學(xué)生先構(gòu)建平行線及其判定的整體框架，然后通過(guò)相關(guān)題例認(rèn)識(shí)平行線判定的作用，后面可以跟進(jìn)習(xí)題課，示范并輔導(dǎo)推理語(yǔ)句和相關(guān)的證明題.這里也可提及江蘇南通李庾南老師倡導(dǎo)的“單元教學(xué)”，即結(jié)合初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)，在研究教材的基礎(chǔ)上，重組教材內(nèi)容，實(shí)施“單元教學(xué)”，即根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的規(guī)律、內(nèi)在的聯(lián)系，將數(shù)學(xué)知識(shí)分為單元或模塊，然后利用1～3個(gè)課時(shí)開(kāi)展單元教學(xué).這不同于數(shù)學(xué)教材上按某些小的知識(shí)點(diǎn)細(xì)分課時(shí)的做法，而是整體呈現(xiàn)單元內(nèi)容，然后安排習(xí)題講評(píng)課、交流討論課，鞏固單元教學(xué)的效果.

2.注重?cái)?shù)學(xué)整體性，提升系統(tǒng)思維水平

我們知道，數(shù)學(xué)是一個(gè)枝繁葉茂的參天大樹(shù)，各個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間充滿關(guān)聯(lián)，基于數(shù)學(xué)的整體性開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)，特別對(duì)新概念和性質(zhì)開(kāi)展整體單元教學(xué)，將有助于學(xué)生系統(tǒng)思維水平的提升.教師在教學(xué)實(shí)踐中，要有意識(shí)地運(yùn)用“整體性”思維對(duì)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)流程進(jìn)行二次加工，使得課堂教學(xué)呈現(xiàn)鮮明的“整體性”特征，從而幫助學(xué)生將零碎、分散的數(shù)學(xué)知識(shí)鏈接起來(lái)，促進(jìn)學(xué)生完成有意義數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自我建構(gòu).學(xué)生系統(tǒng)思維水平提升之后，能極大地簡(jiǎn)化他們對(duì)事物的認(rèn)知，加深數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的整體觀、全局觀，有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯抽象能力.

1.章建躍，陳向蘭.數(shù)學(xué)教育之取勢(shì)明道優(yōu)術(shù)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（10）.

2.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）.

3.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

4.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.