坐標(biāo)系中“找規(guī)律”題的求解策略

☉江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學(xué)　張明環(huán)

坐標(biāo)系中“找規(guī)律”題的求解策略

☉江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學(xué)張明環(huán)

一、引言

“找規(guī)律”問(wèn)題是中考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，以坐標(biāo)系為背景的“找規(guī)律”題是此中最為常見(jiàn)的一類(lèi).這類(lèi)試題一般被編排在填空題或選擇題的“壓軸”位置，將矩形、菱形、正方形、全等三角形、相似三角形、直角三角形、銳角三角函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)等知識(shí)融進(jìn)坐標(biāo)系中，此外，數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)變換等數(shù)學(xué)思想也會(huì)滲透進(jìn)去.解答這些題目，學(xué)生不僅要儲(chǔ)備充足的知識(shí)，還應(yīng)具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)推理能力，當(dāng)然，與問(wèn)題解決匹配的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也是必須具備的.解答這類(lèi)考題，挖掘文本中蘊(yùn)含的數(shù)據(jù)信息和圖形中隱藏的變化規(guī)律是關(guān)鍵.在近期的壓軸題專(zhuān)題教學(xué)中，筆者充分利用這類(lèi)考題的信息“加載”特點(diǎn)，形成了此類(lèi)考題的求解策略，為問(wèn)題解決找到了一條快捷通道.現(xiàn)結(jié)合2014年遼寧省丹東市中考卷第16題談?wù)劰P者的做法及思考，希望能給您的教學(xué)帶來(lái)一些啟示.

二、試題及簡(jiǎn)析

題目如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)分別在x軸和y軸上，OA=，連接AB，過(guò)AB的中點(diǎn)C1分別作x軸和y軸的垂線(xiàn)，垂足分別是A1、B1，連接A1B1，再過(guò)A1B1的中點(diǎn)C2作x軸和y軸的垂線(xiàn)，照此規(guī)律依次作下去，則點(diǎn)Cn的坐標(biāo)為_(kāi)________.

圖1

簡(jiǎn)析：本題是一道典型的坐標(biāo)系中的找規(guī)律問(wèn)題，處在丹東卷填空題的最后一題，為填空“壓軸題”.主要考查了三角形的中位線(xiàn)定理、矩形、平行四邊形、相似三角形、位似、點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合思想、模型思想也自然滲透在試題之中.想要順利解決本題，從題目的圖形條件和文本條件中找到求點(diǎn)C1、C2的坐標(biāo)的方法是起點(diǎn)，而從這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)中挖掘出變化規(guī)律則是解題的關(guān)鍵.

三、試題求解歷程簡(jiǎn)述

（一）剖析試題，抽取數(shù)據(jù)

1.初讀圖形，發(fā)現(xiàn)基本圖形

試題分析，一般都是從文本入手.但對(duì)于坐標(biāo)系中的找規(guī)律問(wèn)題，筆者建議先觀察圖形，直觀感知圖形的變化規(guī)律，然后再結(jié)合文本細(xì)致分析，從而發(fā)現(xiàn)可能存在的變化規(guī)律.這道題目?jī)H從圖形看，所給的坐標(biāo)系中存在著多種常見(jiàn)的“直線(xiàn)形”，如Rt△AOB，矩形A1OB1C1，?A1B1BC1等.顯然，我們觀察圖形獲得了豐富的幾何基本圖形，研究好這些“直線(xiàn)形”在坐標(biāo)系中所具有的性質(zhì)，對(duì)接下來(lái)的解題是十分重要的.再來(lái)詳細(xì)解讀這道試題的文本信息，我們會(huì)有更多的發(fā)現(xiàn)，比如，“過(guò)AB中點(diǎn)C1分別作x軸和y軸的垂線(xiàn)，垂足分別是A1、B1”可以得出A1B、C1A和C1B都是△OAB的中位線(xiàn)；“照此規(guī)律依次作下去”告訴我們，如果按照題中的方法繼續(xù)作圖，這些“直線(xiàn)形”和中位線(xiàn)會(huì)大量出現(xiàn)，邊的關(guān)系、角的關(guān)系、基本圖形的關(guān)系會(huì)依然存在.

2.文圖對(duì)應(yīng)，提取原始數(shù)據(jù)

在題目所給的文本信息中，一共有兩個(gè)明顯的數(shù)據(jù)：OA=1，OB=，除此以外，再無(wú)其他數(shù)據(jù).由此可見(jiàn)，這兩個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)問(wèn)題解決是至關(guān)重要的，我們應(yīng)從這兩個(gè)數(shù)據(jù)“生出”更多的數(shù)據(jù).在分析試題時(shí)，我們可以先將這兩個(gè)數(shù)據(jù)標(biāo)注到圖形中對(duì)應(yīng)線(xiàn)段旁邊.此外，我們還應(yīng)將文本中的“垂直”和“中點(diǎn)”等信息轉(zhuǎn)化為數(shù)據(jù)，如∠C1A1A=90°，AC1=BC1=AB等，一并在坐標(biāo)系中標(biāo)注.通過(guò)原始數(shù)據(jù)的標(biāo)注，會(huì)讓我們清楚題目究竟給出了哪些條件，圖形中的哪些線(xiàn)段和角是已知的，還有哪些是未知的，它們“身在何處”.這樣的分析，會(huì)讓我們將題目給出的文本信息與圖形信息關(guān)聯(lián)在一起，避免了下一步解題時(shí)“左顧右盼”，圖形將成為學(xué)生解題的直接“抓手”.

3.適度延伸，展開(kāi)數(shù)據(jù)聯(lián)想

根據(jù)上面發(fā)現(xiàn)的基本圖形和標(biāo)注出的原始數(shù)據(jù)，可以通過(guò)簡(jiǎn)單的推理及計(jì)算將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行適度拓展，用數(shù)據(jù)生成新的數(shù)據(jù).如，根據(jù)直角三角形AOB和“OA=1，”，應(yīng)用勾股定理可求得AB=2；根據(jù)“過(guò)AB的中點(diǎn)C1分別作x軸和y軸的垂線(xiàn)”可以推得，C1A和C1B是△OAB的中位線(xiàn)，所以，進(jìn)一步延伸，我們還可以得到C2B2和C2A2的長(zhǎng)分別為，此外，由線(xiàn)段的長(zhǎng)我們還可以利用矩形的性質(zhì)合成一些點(diǎn)的坐標(biāo)，如等.這些新獲得的數(shù)據(jù)，我們同樣可以在圖形的對(duì)應(yīng)位置進(jìn)行標(biāo)注.

（二）數(shù)圖關(guān)聯(lián)，猜想規(guī)律

根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)，我們獲得很多重要的數(shù)據(jù)，其中有些數(shù)據(jù)對(duì)解題是沒(méi)有用的，有些數(shù)據(jù)是解題的核心數(shù)據(jù)，所以，必須對(duì)所獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選，清除無(wú)效標(biāo)注，將有效標(biāo)注保留下來(lái).本題要求的是“點(diǎn)Cn的坐標(biāo)”，所以，數(shù)據(jù)的挑選應(yīng)圍繞“點(diǎn)C的坐標(biāo)”展開(kāi)，所有與點(diǎn)C有關(guān)的數(shù)據(jù)應(yīng)進(jìn)入我們的視野.根據(jù)”和題中的“垂直”這一條件，可以得出點(diǎn)C1的坐標(biāo)為.同理可得，點(diǎn)C2的坐標(biāo)為）.根據(jù)獲得的這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Cn的坐標(biāo)應(yīng)由線(xiàn)段CnBn、CnAn的長(zhǎng)度來(lái)確定，CnBn的長(zhǎng)即為橫坐標(biāo)，而CnAn的長(zhǎng)則是其縱坐標(biāo).根據(jù)C1B1到C2B2、C1A1到C2A2的變化規(guī)律，我們可以猜想得出.于是，猜想點(diǎn)Cn的坐標(biāo)為

（三）檢驗(yàn)矯正，形成通解

通過(guò)前面的探究，我們雖然已經(jīng)得到了點(diǎn)Cn的坐標(biāo)），但剛才用的是不完全歸納法，所得結(jié)果是否適合一般情況呢？這還需要得到進(jìn)一步的檢驗(yàn)或證明.在本題中，我們可以繼續(xù)求點(diǎn)Cn的坐標(biāo)并與通解進(jìn)行比對(duì)，如在求得點(diǎn)C）后，我們?nèi)=3代入到Cn的坐標(biāo)公式）中得到，兩條路徑結(jié)果一致，所以點(diǎn)Cn的坐標(biāo)公式應(yīng)該是正確的.當(dāng)然，為了讓結(jié)果的可信度再高一些，我們還可以繼續(xù)取一些點(diǎn)通過(guò)計(jì)算與代入進(jìn)行比對(duì)，當(dāng)結(jié)果多次一致時(shí)，就可以確定我們猜想的結(jié)果是符合題意的，是正確的.當(dāng)然，也會(huì)出現(xiàn)結(jié)果不一致的情況，這時(shí)就要對(duì)原來(lái)的推理與計(jì)算過(guò)程進(jìn)行矯正，直至完全一致為止.要注意的是，本題除了這種檢驗(yàn)方法外，我們還可以從幾何論證的角度對(duì)結(jié)果進(jìn)行證明，根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)，我們可以得出…，所以，.同理可得，所以，Cn的坐標(biāo)是）.這一結(jié)果與我們前面的猜想是完全一致的.

四、三點(diǎn)感悟

1.深挖圖文信息，捕獲關(guān)鍵數(shù)據(jù)

初中階段的“找規(guī)律”問(wèn)題，一般以探究數(shù)據(jù)的變化規(guī)律為主，這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律有些直接隱藏在數(shù)組之中的，也有些是暗藏在圖形的變化過(guò)程之中的.當(dāng)然，其中也不乏一些問(wèn)題中的數(shù)據(jù)與圖形是同步變化的.坐標(biāo)系背景下的“找規(guī)律”就屬于這類(lèi)“數(shù)圖同變”的問(wèn)題，這類(lèi)考題的變化規(guī)律既與數(shù)據(jù)有關(guān)，又與圖形有關(guān).因此，解題時(shí)應(yīng)從圖、文兩個(gè)角度對(duì)試題進(jìn)行剖析，詳細(xì)解讀題目給出的文本信息和圖形信息，從這些信息中提取原始數(shù)據(jù)，將圖形特殊位置關(guān)系中蘊(yùn)藏的數(shù)據(jù)也一并挖掘出來(lái).只有我們關(guān)注了題目最原始數(shù)據(jù)的挖掘，才能保證在問(wèn)題解決過(guò)程中關(guān)鍵信息不缺失.此外，除了對(duì)原始數(shù)據(jù)的捕捉外，我們還應(yīng)對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行適度的拓展，將由這些數(shù)據(jù)可以得到的數(shù)據(jù)同步生成.在獲得這些關(guān)鍵數(shù)據(jù)后，我們還要將其在文本與圖形上進(jìn)行對(duì)應(yīng)標(biāo)注，為接下來(lái)的思路分析、猜想通解、檢驗(yàn)矯正做好準(zhǔn)備.以上面的解題分析為例，”是原始數(shù)據(jù)，根據(jù)這兩個(gè)數(shù)據(jù)和題中的其他條件，我們還得到了等數(shù)據(jù)，在問(wèn)題解決過(guò)程中，這些數(shù)據(jù)都被恰當(dāng)?shù)貥?biāo)注在圖形的對(duì)應(yīng)位置上.有了這些數(shù)據(jù)做底，接下來(lái)的探究自然會(huì)“底氣十足”了.

2.多維解讀數(shù)據(jù)，合理猜想結(jié)論

規(guī)律探索，理應(yīng)立足于題目數(shù)據(jù)的詳細(xì)解讀之上.因此，我們?cè)谄饰鲈囶}時(shí)，一般都會(huì)從文本或圖形中獲取大量的數(shù)據(jù).豐富的數(shù)據(jù)生成，夯實(shí)了“規(guī)律”探索的基礎(chǔ).面對(duì)從題目中提取出的眾多數(shù)據(jù)，該如何下手呢？筆者認(rèn)為，首先，應(yīng)對(duì)獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選，將與結(jié)果獲得明顯不相干的數(shù)據(jù)直接刪去，留下有用的數(shù)據(jù).其次，重點(diǎn)分析具有明顯先后關(guān)系的幾個(gè)數(shù)據(jù)，找出這幾個(gè)數(shù)據(jù)中不變的數(shù)字，比如上面的Cn的縱坐標(biāo)中的我們可以將其先固定下來(lái)；對(duì)其中變化的數(shù)字，再去通過(guò)“加一加”、“減一減”、“乘一乘”、“除一除”等方法，探究前后數(shù)據(jù)之間的關(guān)系.最后，將這兩者整合在一起，形成數(shù)據(jù)的變化規(guī)律.作為高中階段要學(xué)習(xí)的數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，現(xiàn)階段的“找規(guī)律”問(wèn)題一般都不會(huì)過(guò)于繁雜.只不過(guò)，問(wèn)題情境較為豐富，數(shù)據(jù)要隱藏在豐富的情境之下，且隱藏得較深.比如本文所述的這類(lèi)建立在坐標(biāo)系中找規(guī)律問(wèn)題，命題者給學(xué)生獲得有效數(shù)據(jù)設(shè)置了坐標(biāo)系這一情境，在數(shù)據(jù)分析時(shí)，我們除了關(guān)注圖形中的線(xiàn)段、角度等數(shù)值的大小外，還要將這些圖形放入到坐標(biāo)系中全盤(pán)考慮.這樣的問(wèn)題情境給了學(xué)生獲得有效的解題數(shù)據(jù)設(shè)置障礙，增加了問(wèn)題解決的維度.所以，在對(duì)這類(lèi)考題中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，不僅要關(guān)注數(shù)據(jù)本身，還要關(guān)注問(wèn)題情境，要將這些數(shù)據(jù)放置到現(xiàn)有的情境中進(jìn)行“拷問(wèn)”，讓得出的猜想經(jīng)得住情境的檢驗(yàn)，成為合情合理的結(jié)論.

3.做好檢驗(yàn)矯正，確保通解成真

“找規(guī)律”，“找”的過(guò)程是一個(gè)較為艱難的過(guò)程，必須經(jīng)歷一輪甚至多輪“猜想—驗(yàn)證—再猜想—再驗(yàn)證”的過(guò)程.有人說(shuō)，“我一下子就得出了結(jié)果”，筆者認(rèn)為這應(yīng)該是直覺(jué)吧！這種直覺(jué)來(lái)自于長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)積累，有時(shí)這種直覺(jué)對(duì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題是有益的，能幫助大家發(fā)現(xiàn)解題思路和解題方法，推動(dòng)問(wèn)題沿著正確的道路前進(jìn).但有時(shí)這種直覺(jué)卻會(huì)成為問(wèn)題解決的最大障礙，過(guò)度地依賴(lài)已有經(jīng)驗(yàn)，會(huì)讓問(wèn)題解決“固步自封”，陷入困境.事實(shí)上，有時(shí)不假思索一下子就給出的結(jié)果未必是正確的結(jié)果.所以，解決“找規(guī)律”問(wèn)題，我們還是應(yīng)該按照一定的步驟進(jìn)行.尤其是在歷經(jīng)“千辛萬(wàn)苦”獲得結(jié)果后，一定要對(duì)得到的“通解”進(jìn)行檢驗(yàn)，以確保通解成真.要說(shuō)明的是，對(duì)通解檢驗(yàn)的方法是多樣的.本文中所述的坐標(biāo)系中的規(guī)律探究問(wèn)題，我們用了兩種方法進(jìn)行了檢驗(yàn)，一是進(jìn)一步探究獲取新的結(jié)果，再將新結(jié)果回代檢驗(yàn)確定猜想是否正確；二是直接用幾何論證的方法證明數(shù)據(jù)間前后變化規(guī)律，說(shuō)明猜想是正確的.總之，對(duì)猜想結(jié)果的檢驗(yàn)是非常重要的，只有在經(jīng)歷了檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)確實(shí)無(wú)誤后，才能將所得的結(jié)果定格成為通解.

五、結(jié)束語(yǔ)

“找規(guī)律”問(wèn)題是中考應(yīng)試的難點(diǎn)，想要順利解答此類(lèi)考題，我們就應(yīng)找尋問(wèn)題解決的一般方法.本文中筆者陳述這些步驟，僅是坐標(biāo)系背景下的求解找規(guī)律問(wèn)題的基本步驟，并不適用于所有的找規(guī)律問(wèn)題.大家可以根據(jù)這里給出的方法結(jié)合其他類(lèi)型的找規(guī)律問(wèn)題進(jìn)行再創(chuàng)新，使問(wèn)題解決的策略個(gè)性化、普適化.最后，和大家交流一下在探究文中策略時(shí)得到的啟示：認(rèn)真審題是解題的起點(diǎn)，只有以最誠(chéng)懇的態(tài)度剖析試題，從基本條件入手，將條件和結(jié)論關(guān)聯(lián)起來(lái)，才有可能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決的思路；抓住數(shù)據(jù)是問(wèn)題解決的關(guān)鍵，只有從題目中獲取到核心數(shù)據(jù)，我們才能真正找到數(shù)或形變化的“規(guī)律”，才能形成有效的猜想；檢驗(yàn)矯正是正確求解的保證，作為“小題”（指填空題、選擇題）壓軸題，結(jié)論的得出離不開(kāi)反復(fù)推敲與細(xì)致打磨，當(dāng)我們以足夠的耐心和細(xì)心去面對(duì)先期的猜想，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)某些疏漏或缺失，及時(shí)的彌補(bǔ)將會(huì)讓結(jié)果更加完美.

以上所述，一家之言，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)各位同行專(zhuān)家批評(píng)指正.