讓題目“說話”
——例談中考閱讀型考題的解法

☉江蘇省南師大附中新城初中　何君青

讓題目“說話”
——例談中考閱讀型考題的解法

☉江蘇省南師大附中新城初中何君青

近些年來，全國各省市中考試卷中出現(xiàn)了一些創(chuàng)新型閱讀題型，這些試題具有立意的鮮明性、背景的深刻性、情境的新穎性、設(shè)問的靈活性等特點.這種題型的好處眾多，是“用數(shù)學(xué)”的直接體現(xiàn)，成為中考數(shù)學(xué)的熱點問題是必然趨勢.然而，在多次的考試中，但凡出現(xiàn)閱讀型問題，學(xué)生的得分率就比較低.因此，給出這類題的解題方法，幫助學(xué)生較好地解答此類問題至關(guān)重要.

一、自相似點

如圖1，P為△ABC內(nèi)一點，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點.

問題1：如圖2，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中線，過點B作BE⊥CD，垂足為E，試說明E是△ABC的自相似點.

問題2：在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C.

①如圖3，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點P（寫出作法并保留作圖痕跡）；

②若△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點，求該三角形三個內(nèi)角的度數(shù).

解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中線，則CD=AB，則CD=BD.

則∠BCE=∠ABC.

由BE⊥CD，得∠BEC=90°，則∠BEC=∠ACB.

則△BCE∽△ABC.

圖1

圖2

圖3

則E是△ABC的自相似點.

（2）①作法如下.

（i）在∠ABC內(nèi)，作∠CBD=∠A；

（ii）在∠ACB內(nèi)，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于點P，則P為△ABC的自相似點.

②連接PB、PC.

由于P為△ABC的自相似點，不妨設(shè)△BCP∽△ABC.

則∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A.

由∠A+∠ABC+∠ACB=180°，得∠A+2∠A+4∠A= 180°.則∠A=.故該三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別為

分析：本題考查了“自相似點”的知識，題目先給出了自相似點的概念，隨后讓學(xué)生利用此概念解決幾個相關(guān)問題，此題有一定難度，得分率不高，主要原因在于很多考生未能讀懂題意，或者平時在“題海訓(xùn)練”下，沒有親歷過自主探究的過程，遇到創(chuàng)新閱讀題會心理緊張.

本題問題1較易，學(xué)生根據(jù)題目便知道只要滿足以E點為頂點的一個三角形與△ABC相似即可，找準(zhǔn)這個三角形是關(guān)鍵.問題2有一定難度，對于一個全新的知識，要讓學(xué)生在有限的時間內(nèi)完全理解，并寫出完整、準(zhǔn)確的解答，是需要有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及能力的，這源于平時的積累，要求學(xué)生平時就具備較高的思維能力、探究問題的能力和合情推理的能力.本題立于教材，高于教材，更重視對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查.

拓展：解答閱讀型考題，正確理解每一個問題是關(guān)鍵，想讓題目說話，暗示更多重要的信息，必須從題目的每一問中發(fā)現(xiàn)相同的方法，加以提取.本題問題1暗示直角三角形當(dāng)兩個銳角有大小關(guān)系時，由剖分較大的角便可以得到新的角與原三角形中的角相等，從而得到結(jié)論，問題2①借助這個剖分大角得小角的方法作出一個三角形的自相似點，問題2②便可迎刃而解.事實上，這個題目還能進一步拓展，可以補充一問：通過上述研究，請?zhí)剿鳟?dāng)△ABC滿足什么條件時，存在自相似點.

二、面積等分線

如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線.如平行四邊形的一條對角線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線.

（1）三角形的中線、高線、角平分線所在的直線中一定是三角形的面積等分線的是_____.

（2）如圖4，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延長DC到E，使CE=AB，連接AE，那么有S梯形ABCD=S△ADE.請你給出這個結(jié)論成立的理由，并過點A作出梯形ABCD的面積等分線（不寫作法，保留作圖痕跡）.

（3）如圖5，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，S△ADC＞S△ABC，過點A能否作出四邊形ABCD的面積等分線？若能，請畫出面積等分線，并給出證明；若不能，說明理由.

圖4

圖5

解：（1）中線所在的直線.

（2）方法1如下所示.

連接BE.

由AB∥CE，AB=CE，得四邊形ABEC為平行四邊形.則BE∥AC.

則△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等.

則S△ABC=S△AEC.

則S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.

方法2如下所示.

設(shè)AE與BC相交于點F.

由AB∥CE，得∠ABF=∠ECF，∠BAF=∠CEF.

又AB=CE，則△ABF≌△ECF.

則S梯形ABCD=S四邊形AFCD+S△ABF=S四邊形AFCD+S△ECF=S△AED.

過點A的梯形ABCD的面積等分線的畫法如圖6所示.

（3）能.連接AC，過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，連接AE.

由BE∥AC，得△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，則S△ABC=S△AEC.

則S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.

由S△ACD＞S△ABC，得面積等分線必與CD相交，取DE的中點F，則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線.作圖如圖7所示.

圖6

圖7

分析：本題考查三角形的中線的性質(zhì)、梯形的相關(guān)性質(zhì)、垂直平分線的作法、平行四邊形的判定、三角形全等的判定.本題選取課本基礎(chǔ)知識：三角形的中線平分三角形的面積、梯形剪拼成三角形等，問題由特殊到一般，在考查基礎(chǔ)知識綜合應(yīng)用的同時，兼顧考查學(xué)生的知識轉(zhuǎn)化能力、作圖能力以及實踐操作能力，符合新課改精神，是一道不可多得的好題.

拓展：本題第一問先認(rèn)識到三角形的中線所在直線可以作為面積等分線，第二問暗示梯形的面積等分線可以轉(zhuǎn)化為三角形的面積等分線，第三問更加趨向一般，由第二問可知AB與CD是否平行不影響面積的轉(zhuǎn)化，故可依法炮制.事實上，這個題目還能進一步拓展，可以補充一問：如圖8，四邊形ABCD中，過點P能否作出四邊形ABCD的面積等分線？若能，請畫出面積等分線；若不能，說明理由.

圖8

三、方法提煉

數(shù)學(xué)解題過程是不斷地將未知轉(zhuǎn)化為已知的過程.對于中考閱讀型問題，解題的關(guān)鍵是對題中的條件與問題進行觀察、比較和聯(lián)想，從而發(fā)現(xiàn)其中的暗示，這類考題中的第一問和第二問的方法常常是這類題目的精華所在，即貫穿始末的方法.

日常應(yīng)注重數(shù)學(xué)創(chuàng)新型閱讀教學(xué)，能夠轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，實現(xiàn)數(shù)學(xué)語言的相互轉(zhuǎn)換，擴展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生掌握知識的水平.作為教師，在課堂上應(yīng)注重融知識、方法、思想、能力于一體，要開展研究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的特點，把握其規(guī)律，掌握解這類題的方法，讓題目說話，這樣才能真正讓課堂“高效”起來.Z