模型“出面”、繁簡轉(zhuǎn)換*

☉湖南省常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部　陳金紅

☉湖南省常德市安鄉(xiāng)縣蘆林鋪中學(xué)　郭作華

模型“出面”、繁簡轉(zhuǎn)換*

☉湖南省常德市芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部陳金紅

☉湖南省常德市安鄉(xiāng)縣蘆林鋪中學(xué)郭作華

解壓軸題一般有很多種方法，但多數(shù)人包括命題者給出的常常是思路不明、計(jì)算或推理復(fù)雜的做法，指導(dǎo)效果當(dāng)然就不佳！但若重視提煉問題的本質(zhì)模型、解析出方法的細(xì)節(jié)生成，即可有效提高壓軸題的教學(xué)與應(yīng)試效果.眾所周知，利用模型思想解數(shù)學(xué)問題的確能使復(fù)雜問題簡單化，優(yōu)化解題過程，提高解題速度，因此，模型“出面”、繁簡轉(zhuǎn)換，現(xiàn)運(yùn)用此觀點(diǎn)解析一例：2013年成都中考數(shù)學(xué)壓軸題.

（1）如圖1，若該拋物線過A，B兩點(diǎn)，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）平移（1）中的拋物線，使頂點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng)，且與AC交于另一點(diǎn)Q.

①若點(diǎn)M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)以M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí)，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；

圖1

對于（2）的第①問，先看命題者的思路，求出直線AC的解析式、平移后的拋物線方程，解它們構(gòu)成的方程組，求出點(diǎn)P、點(diǎn)Q的坐標(biāo)，最后對線段PQ分類：PQ為直角邊、PQ為斜邊兩種情形，艱辛“努力”才做出來的，有點(diǎn)“咬牙切齒”的味道！

真的有這么難嗎？促使我們有換個(gè)角度看問題的沖動(dòng)：因?yàn)橹本€AC是固定不動(dòng)的，要得到一個(gè)其上線段PQ為邊的等腰直角三角形，易使人聯(lián)想到等腰直角三角形的背景即正方形模型（本題模型之一），再把點(diǎn)M代入原拋物線解析式，有解即存在、找出了符合要求的M點(diǎn)！簡潔明快！

圖2

具體即不難知直線AC的解析式為y＝x-1．與x軸正方向夾的銳角為45°，設(shè)平移前的拋物線的頂點(diǎn)為P0，則由（1）可得P0的坐標(biāo)為（2，1），發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)P0在直線AC上．又點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng)，故可設(shè)P的坐標(biāo)為（m，m-1），則平移后的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為

當(dāng)PQ為斜邊時(shí)，即圖2中左上角的等腰Rt△PQM，不難知PM∥y軸、QM∥x軸，于是點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m-3），再把點(diǎn)M代入到原拋物線+2x-1中得m-3=，于是有，解得m=

當(dāng)PQ為直角邊時(shí)，即圖2中左邊的大等腰Rt△PQM（或上邊的大等腰Rt△PQM），同上，不難知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m-5）或點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m+2，m-3），再把點(diǎn)M代入到原拋物線中，可得到M3（4，-1），M4（-2，-7）.

綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M1（1+M4（-2，-7）.

對于（2）的第②問，命題者的解法沒有給人“所以然”的交代，計(jì)算量大，讓人理解起來沖淡了主題、有些晦澀之感！

真的有這么難嗎？同樣促使我們通俗化解讀之的動(dòng)機(jī)：盡管P、Q是動(dòng)點(diǎn)，但始終有PQ=是個(gè)定值不變量（求式的分子解決了）！轉(zhuǎn)而關(guān)注求式的分母NP+BQ取最小值時(shí)，必有有最大值；要NP+BQ取最小值最直接的聯(lián)想是“將軍飲馬”對稱應(yīng)用模型，但如何使用？是本問題的最大“障礙”點(diǎn)！

此時(shí)由PQ∥FN、PQ=FN，知四邊形PQFN為平行四邊形，于是求式分母中的PN項(xiàng)可由FQ替代了，即NP+ BQ=FQ+BQ，其中點(diǎn)B、點(diǎn)F是定點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為研究定直線AC上動(dòng)點(diǎn)Q的位置（它直接決定了動(dòng)點(diǎn)P的位置?。┯谑怯校?/p>

“將軍飲馬”模型（本題模型之二）：即“已知定點(diǎn)B、F和定直線AC，在直線AC上找一點(diǎn)Q，使得FQ+BQ（=NP+ BQ）取得最小值”（求式的分母解決了）！

圖3

圖4

具體即取點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B′，連接QF，QB′，如圖3，當(dāng)B′、Q、F三點(diǎn)共線時(shí)，F(xiàn)Q+B′Q（=NP+BQ）最小，最小值為線段B′F的長度！在Rt△B′FE中去求！

綜上可知，關(guān)注分子，關(guān)注分母，數(shù)值聯(lián)想，模型凸顯，方法實(shí)施，整體到局部，和諧流淌，如沐思維、思想之春風(fēng)，如乘模型之載體，如啟方法之動(dòng)力，彰顯靈氣之融融！要害之處仍是“模型出面”，發(fā)現(xiàn)“繁簡轉(zhuǎn)換”，方法、過程呼之既出！對比原解法、期刊對其研究已發(fā)之文，很快可知運(yùn)用上面的方法更簡單、更通俗、更本質(zhì)化！這也是我們畢業(yè)班老師和命題者自身要注意的問題.

1.陳金紅.習(xí)題磨練結(jié)構(gòu)謀法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2011（4）.

2.陳金紅.讓解法來得更自然一些［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2014（12）.

3.陳金紅.幾何“形”，代數(shù)“聲”，三角函數(shù)“心”——談2014年湖南省常德市中考?jí)狠S題［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中），2014（10）.

4.陳金紅.不要放棄更初等的想法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2012（1～2）.

*本文系全國教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度教育部規(guī)劃課題《生命課堂視野下的教學(xué)案例研究》（課題編號(hào)：FHB130512）的階段性成果之一.