彈性關節(jié)柔性操作臂的頻率及振型特性分析

劉玉飛　李　威　楊雪鋒　徐　晗

中國礦業(yè)大學，徐州，221116

彈性關節(jié)柔性操作臂的頻率及振型特性分析

劉玉飛李威楊雪鋒徐晗

中國礦業(yè)大學，徐州，221116

為了研究柔性操作臂關節(jié)彈性對頻率及振型的作用機理，建立了柔性操作臂的彈性約束模型。根據(jù)彈性約束模型，得到了彈性關節(jié)柔性操作臂的頻率方程及振型函數(shù)。采用數(shù)值方法，對彈性關節(jié)柔性操作臂的前三階頻率及振型特性進行了分析。結果表明：關節(jié)的彈性對柔性操作臂的頻率及振型具有明顯的影響，將關節(jié)視為理想剛性約束會產(chǎn)生明顯的誤差；由靈敏度分析可知，線性約束對頻率的影響大于扭轉約束，且高階頻率段表現(xiàn)較為明顯；扭轉約束對振型的影響比線性約束更為顯著，隨著扭轉約束的增大，振型發(fā)生改變，且高階振型表現(xiàn)較為明顯。通過實驗對建立的彈性約束模型進行驗證，實驗結果表明，所建立的彈性約束模型能夠合理地表征關節(jié)的彈性約束作用，分析結果更接近實際情況，誤差較小。

柔性操作臂；彈性關節(jié)；彈性約束；模態(tài)；振動控制

0　引言

柔性操作臂具有能耗低、輕質、操作靈活等特點，廣泛應用在航空航天、微操作機器人、精密制造加工等領域[1-2]。與此同時，由于柔性操作臂的模態(tài)較低，故在執(zhí)行任務的過程中極易出現(xiàn)低階諧振現(xiàn)象，影響運動的可靠性；當執(zhí)行機構到達預定位置時出現(xiàn)殘余振動，嚴重影響定位的精度。低階諧振和殘余振動對結構的使用壽命有一定的影響[3]。因此，研究柔性操作臂的振動特性具有重要的意義[4-5]。

柔性操作臂系統(tǒng)可表征為剛性運動基與柔性臂構成的剛柔耦合結構[5-6]。已有的關于柔性臂振動控制的研究，在建立動力學模型時所考慮的柔性主要是柔性臂的彈性振動，而將關節(jié)視為剛性約束[7-9]，實際上，完全剛性的約束是很難實現(xiàn)的。例如，對于焊接結構，關節(jié)的約束并非完全剛性，而是存在一定的彈性[10]。關節(jié)的柔性以及柔性臂運動過程中引起的彈性變形和振動將對系統(tǒng)的控制精度和穩(wěn)定性造成一定的影響[11]。因此，在分析柔性臂的動態(tài)特性以及設計振動控制策略時，應考慮關節(jié)彈性的作用。為此，本文考慮關節(jié)彈性的影響，對彈性關節(jié)進行表征，建立柔性操作臂系統(tǒng)的彈性約束模型，分析彈性關節(jié)作用下柔性臂的頻率及振型特性，對彈性關節(jié)的約束機理進行研究。

1　彈性約束模型及邊界條件

如圖1所示，柔性操作臂系統(tǒng)表征為剛性運動基與柔性臂構成的耦合結構，柔性臂連接在剛性運動基上?？紤]運動基與柔性臂間關節(jié)的彈性作用，采用線性彈簧和扭轉彈簧對關節(jié)進行表征，約束系數(shù)分別用k和kt表示，建立柔性操作臂系統(tǒng)的彈性約束模型，如圖2所示。

圖1　柔性操作臂系統(tǒng)示意圖

圖2　柔性操作臂系統(tǒng)的彈性約束模型

在運動基的驅動下，柔性臂運動過程中產(chǎn)生彎曲變形，變形的剪力Q和彎矩M分別為

(1)

(2)

式中，y(x,t)為柔性臂的橫向振動位移；E為柔性臂的彈性模量；I為柔性臂的慣性矩。

(3)

式中，k為線性彈簧的約束系數(shù)，N/m；kt為扭轉彈簧的約束系數(shù)，N·m/rad。

由此可得彈性關節(jié)柔性操作臂固定端(x=0)的邊界條件：

(4)

柔性臂彎曲變形時，自由端剪力和彎矩為零，因此，彈性關節(jié)柔性操作臂自由端(x=L)的邊界條件為

(5)

2　頻率方程及振型函數(shù)

假設在任意時刻t，運動基相對靜坐標系的位移為y0(t)，柔性臂上任意點P的橫向振動位移為y(x,t)，則P點的絕對位移Y(x,t)可以表示為

Y(x,t)=y0(t)+y(x,t)

(6)

根據(jù)歐拉-伯努利理論，忽略轉動慣量和剪切變形的影響，取柔性臂任一微元進行受力分析，如圖3所示。

圖3　柔性臂微元受力分析圖

由達朗貝爾原理可得[12]

(7)

式中，ρ為柔性臂的質量密度；A為柔性臂的橫截面面積。

將式(1)代入式(7)，化簡可得

(8)

聯(lián)立式(6)和式(8)，可得柔性臂的振動微分方程：

(9)

由式(9)可知，當運動基做勻速運動或到達定位終點位置時，柔性臂的振動微分方程為

(10)

式(10)為四階偏微分方程，采用分離變量法，令

y(x,t)=φ(x)T(t)

(11)

式中，φ(x)為振型函數(shù)；T(t)為關于時間t的函數(shù)。

將式(11)代入式(10)，整理可得

(12)

式中，ω為柔性臂的固有頻率。

式(12)可以寫成

(13)

式(13)的解為

φ(x)=B1cosβ x+B2sinβ x+B3coshβ x+B4sinhβ x

(14)

T(t)=C1cosω t+C2sinω t

(15)

β4=ρ A ω2/(EI)

式中，B1、B2、B3、B4為常量，由邊界條件確定；C1、C2為常量，由初始條件確定。

將式(11)分別代入式(4)和式(5)得

(16)

(17)

由式(14)和式(16)得

(18)

λ=β2EI

同理，由式(14)和式(17)可得

(19)

聯(lián)立式(18)和式(19)得

(20)

D5=-cosβ L-D1coshβ L+D2sinhβ L

D6=-sinβ L+D3coshβ L-D1sinhβ L

D7=sinβ L-D1sinhβ L+D2coshβ L

D8=-cosβ L+D3sinhβ L-D1coshβ L

要使式(14)存在非零解，系數(shù)Bi(i=1,2,3,4)不能全部為零，即式(20)存在非零解，系數(shù)行列式為零，則

(21)

通過求解行列式，可得彈性關節(jié)柔性操作臂的頻率方程:

D1cosβ Lcoshβ L-1=0

(22)

當k→∞，kt→∞時，式(22)簡化為cosβ Lcoshβ L=-1，即為理想剛性關節(jié)約束的情況，說明所得頻率方程同樣適用于一般情況。

通過對式(22)進行求解，可得彈性關節(jié)柔性操作臂的固有頻率：

ω=α β2

(23)

聯(lián)立式(14)、式(18)和式(20)，可得彈性關節(jié)柔性操作臂的振型函數(shù)：

φ(x)=cosβ x-D1coshβ x+D2sinhβ x+

ζ(sinβ x+D3coshβ x-D1sinhβ x)

(24)

3　數(shù)值仿真分析

本文采用數(shù)值方法對式(22)進行求解，對彈性關節(jié)柔性操作臂的前三階頻率及振型特性進行分析。選取柔性臂參數(shù)如下：長L=575 mm，截面尺寸為28 mm×1 mm，彈性模量E=197 GPa，密度ρ=7850 kg/m3，泊松比μ=0.26。

3.1頻率特性及靈敏度分析

柔性臂的前三階頻率與關節(jié)彈性的關系如圖4所示?？梢钥闯?，關節(jié)的彈性對柔性臂的頻率具有明顯的影響。隨著線性約束系數(shù)k的增大，頻率逐漸增大，且高階頻率表現(xiàn)較為明顯，當k>107N/m時，頻率變化較小，趨于穩(wěn)定；隨著扭轉約束系數(shù)kt的增大，頻率逐漸減小，且在kt=105N·m/rad與kt=107N·m/rad范圍內變化較為顯著，當kt>107N·m/rad時，頻率變化較小，趨于穩(wěn)定，由表1可知，頻率穩(wěn)定值為理想剛性關節(jié)約束的情況。由此可以說明，彈性關節(jié)約束作用下柔性臂的頻率大于理想剛性關節(jié)約束作用下柔性臂的頻率。

圖4　彈性關節(jié)柔性操作臂的前三階頻率

由頻率特性可知，隨著線性約束系數(shù)k的增大，頻率逐漸增大；隨著扭轉約束系數(shù)kt的增大，頻率逐漸減小。為了進一步分析k和kt對頻率的影響程度，分別對k和kt進行靈敏度分析[13-15]，如

表1　理想剛性關節(jié)約束下柔性操作臂的前三階頻率　Hz

圖5所示。由圖5可知，k的靈敏度明顯大于kt的靈敏度，說明線性約束對頻率的影響程度大于扭轉約束對頻率的影響程度，且高階頻率段表現(xiàn)明顯；同時，隨著約束系數(shù)的增大，低階頻率段的影響明顯減弱。

3.2振型特性分析

彈性關節(jié)柔性操作臂的前三階振型如圖6所示?？梢钥闯?，當kt=105N·m/rad時，k的變化對振型有一定的影響，且高階振型表現(xiàn)明顯；當kt=107N·m/rad時，k的變化對振型的影響較小。kt對振型特性具有明顯的影響，隨著kt的增大，振型發(fā)生變化，且高階振型表現(xiàn)較為明顯，約束狀態(tài)由鉸支約束轉化為固定約束。由此可以看出，與線性約束相比，扭轉約束對柔性臂振型的影響更為顯著。

(a)k=105 N/m，kt=105 N·m/rad

(b)k=105 N/m，kt=107 N·m/rad

(c)k=107 N/m，kt=105 N·m/rad

(d)k=107 N/m，kt=107 N·m/rad圖5　彈性關節(jié)約束靈敏度分析

4　實驗驗證及分析

為了驗證本文所建立的彈性約束模型及分析結果，搭建實驗系統(tǒng)進行驗證，如圖7所示。實驗過程中，柔性臂固定在基座上，柔性臂和基座之間采用螺栓連接，通過模態(tài)測試對柔性臂的模態(tài)特性進行分析。實驗選用柔性臂的參數(shù)如下：長L=575 mm，截面尺寸為28 mm×1 mm，彈性模量E=197 GPa，密度ρ=7850 kg/m3，泊松比μ=0.26；激勵方式采用力錘激勵；測試分析系統(tǒng)選用江蘇東華測試技術股份有限公司生產(chǎn)的DHDAS動態(tài)信號采集分析系統(tǒng)；電荷適調器型號為DH5857-1；傳感器采用應變片，應變適調器型號為DH3810-1。

(a)第一階振型

(b)第二階振型

(c)第三階振型1.固定約束　2.鉸支約束　3.k=105 N/m，kt=105 N·m/rad　4.k=105 N/m，kt=107 N·m/rad5.k=107 N/m，kt=105 N·m/rad6.k=107 N/m，kt=107 N·m/rad圖6　彈性關節(jié)柔性操作臂的前三階振型

圖7　柔性操作臂模態(tài)測試實驗系統(tǒng)

通過實驗測試，得到柔性臂的前三階頻率分別為2.66 Hz、16.35 Hz和45.46 Hz。理想剛性關節(jié)約束以及本文考慮的彈性關節(jié)約束下柔性臂的前三階頻率與實驗結果的對比分析見表2?？梢钥闯?，將關節(jié)視為理想剛性約束時柔性臂的前三階頻率分別為2.45 Hz、15.34 Hz和42.95 Hz，均小于實際頻率且存在明顯的誤差；根據(jù)本文的彈性約束模型，考慮關節(jié)的彈性約束作用，由圖4可知，當k=107N/m,kt=5×105N·m/rad時，柔性臂的前三階頻率分別為2.62 Hz、16.51 Hz和46.55 Hz，比較接近實際頻率且誤差明顯小于理想剛性約束的情況。由此說明，將柔性操作臂的關節(jié)視為理想剛性約束時，分析結果存在明顯的誤差，對柔性操作臂的動態(tài)特性具有一定的影響；而本文的彈性約束模型可合理表征關節(jié)的彈性約束作用，分析結果更接近實際情況。

表2　柔性操作臂的前三階頻率比較

5　結論

(1)本文考慮柔性操作臂關節(jié)的彈性約束作用，建立了柔性操作臂的彈性約束模型，所得頻率方程和振型函數(shù)適用于一般情況。

(2)關節(jié)彈性對柔性操作臂的頻率和振型具有明顯的影響：隨著線性約束的增大，頻率逐漸增大，且高階頻率表現(xiàn)較為明顯；隨著扭轉約束的增大，頻率逐漸減小。由靈敏度分析可知，線性約束對頻率的影響大于扭轉約束；與線性約束相比，扭轉約束對柔性臂振型的影響更為顯著，隨著約束系數(shù)的變化，約束狀態(tài)發(fā)生轉變且高階振型表現(xiàn)明顯。

(3)通過實驗驗證了本文所建立的彈性約束模型的正確性，結果表明：將柔性操作臂的關節(jié)視為理想剛性約束，分析結果存在明顯的誤差；彈性約束模型能夠合理表征關節(jié)的彈性約束作用，分析結果更接近實際情況，誤差較小。

(4)研究柔性操作臂的動態(tài)特性及振動控制策略時，應考慮關節(jié)的彈性約束作用。本文主要研究了關節(jié)彈性作用下柔性操作臂的模態(tài)特性，揭示了彈性關節(jié)的約束機理。彈性關節(jié)柔性操作臂的振動特性及控制是今后研究的內容。

[1]黃文虎，曹登慶，韓增堯.航天器動力學與控制的研究進展與展望[J].力學進展，2012，42(4)：367-394.

Huang Wenhu，Cao Dengqing，Han Zengyao.Advances and Trends in Dynamics and Control of Spacecrafts[J].Advances in Mechanics，2012，42(4)：367-394.

[2]李楊民，湯暉，徐青松，等.面向生物醫(yī)學應用的微操作機器人技術發(fā)展態(tài)勢[J].機械工程學報，2011，47(23)：1-13.

Li Yangmin，Tang Hui，Xu Qingsong，et al.Development Status of Micromanipulator Technology for Biomedical Applications [J].Journal of Mechanical Engineering，2011，47(23)：1-13.

[3]Dwivedy S K，Eberhard P.Dynamic Analysis of Flexible Manipulators，a Literature Review[J].Mechanism and Machine Theory，2006，41(7)：749-777.

[4]Kerem G，Bradley J B，Edward J P.Vibration Control of a Single-link Flexible Manipulator Using an Array of Fiber Optic Curvature Sensors and PZT Actuators[J].Mechatronics，2009，19(2)：167-177.

[5]邱志成.剛柔耦合系統(tǒng)的振動主動控制[J].機械工程學報，2006，42(11)：26-33.

Qiu Zhicheng. Active Vibration Control for Coupling System of Flexible Structures and Rigid Body[J].Journal of Mechanical Engineering，2006，42(11)：26-33.

[6]Mohsen D，Nader J，Zeyu L，et al.An Observer-based Piezoelectric Control of Flexible Cartesian Robot Arms：Theory and Experiment [J].Control Engineering Practice，2004，12(8)：1041-1053.

[7]洪昭斌，陳力.基于混合軌跡的柔性空間機械臂神經(jīng)網(wǎng)絡控制[J].中國機械工程，2011，22(2)：138-143.

Hong Zhaobin，Chen Li.Neural Network Control Based on Hybrid Trajectory of Space Flexible Manipulators[J].China Mechanical Engineering，2011，22(2)：138-143.

[8]王從慶，張承龍.自由浮動柔性雙臂空間機器人系統(tǒng)動力學建模與抑振控制將剛性運動基與柔性臂[J].機械科學與技術，2007，26(2)：192-196.

Wang Congqing,Zhang Chenglong.Dynamics Modeling and Vibration Suppression of a Free-floating Flexible Dual-arm Space Robotic System[J]. Mechanical Science and Technology，2007，26(2)：192-196.

[9]王樹新，員今天，石菊榮，等.柔性機械臂建模理論與控制方法研究綜述[J].機器人，2002，24(1)：86-92.

Wang Shuxin，Yuan Jintian，Shi Jurong，et al.A Roadmap of Research on Modeling and Control Strategy for Flexible Manipulators[J].Robot，2002，24(1)：86-92.

[10]Ibrahim R A，Pettit C L.Uncertainties and Dynamic Problems of Bolted Joints and Other Fasteners[J].Journal of Sound and Vibration，2005，279 (35) ：857-936.

[11]謝立敏，陳力.漂浮基柔性關節(jié)—柔性臂空間機器人運動非線性滑?？刂萍半p重彈性振動主動抑制[J].中國機械工程，2013，24(19)：2657-2663.

Xie Limin，Chen Li. Nonlinear Sliding Mode Motion Control and Double Elastic Vibration Active Suppression of Free-floating Flexible-joint and Flexible-link Space Robot[J].China Mechanical Engineering，2013，24(19)：2657-2663.

[12]Rao S S.機械振動[M].李欣業(yè)，張明路，譯，4版.北京：清華大學出版社，2009.

[13]林家浩.結構動力優(yōu)化中的靈敏度分析[J].振動與沖擊，1985，4(1)：1-6.

Lin Jiahao.Sensitivity Analysis in Structural Dynamic Optimization[J].Journal of Vibration and Shock，1985，4(1)：1-6.

[14]趙群，張義民，趙晉芳.振動傳遞路徑的功率流傳遞度靈敏度分析[J].振動與沖擊，2009，28(7)：183-186.

Zhao Qun，Zhang Yimin，Zhao Jinfang.Sensitivity Analysis of Powerflow Transfer Probability for a Vibration Transfer Path System[J].Journal of Vibration and Shock，2009，28(7)：183-186.

[15]毛為民，朱石堅，張振中.基于柔性基礎的雙層隔振系統(tǒng)概率靈敏度分析[J].海軍工程大學學報，2005，17(3)：52-56.

Mao Weimin，Zhu Shijian，Zhang Zhenzhong.Probabilistic Sensitivity Analysis of Double-stage Vibration Isolation System Based on Flexible Foundations[J].Journal of Naval University of Engineering，2005，17(3)：52-56.

(編輯陳勇)

Natural Frequencies and Modal Shape Characteristics of a Flexible Manipulator with Elastic Joints

Liu YufeiLi WeiYang XuefengXu Han

China University of Mining and Technology,Xuzhou,Jiangsu,221116

To investigate the effect mechanism of elastic joint on the natural frequencies and modal shapes of flexible manipulators, an elastic restraint model of the flexible manipulator was established. Based on the elastic restraint model, frequency equation and modal shape function of the flexible manipulator with elastic joint (FMEJ) were subsequently derived. Numerical method was conducted to investigate the first three natural frequencies and modal shapes of the FMEJ. The results demonstrate that the elasticity of the joint has considerable effect on the natural frequencies and modal shapes, and assuming the joint as an ideal fixed restraint a noticeable error will present. According to the sensitivity analysis, the linear restraints have a more considerable effect on the natural frequencies than torsional restraints, especially for the higher frequencies. The effect of torsional restraints on the modal shapes is more considerable, with the torsional restraint increases, the modal shapes change which is obvious for the higher modal shapes. Experiment was conducted to verify the elastic restraint model and the results indicate that the constructed model can characterize the elastic restraints of the joint, and approach to the actual situation which has a smaller error.

flexible manipulator；elastic joint；elastic restraint；mode；vibration control

2014-09-09

國家自然科學基金資助項目(51305444)；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20120095120013)；江蘇省科技計劃資助項目(BY2014028-06)；江蘇省研究生培養(yǎng)創(chuàng)新工程資助項目(KYLX_1375)；江蘇高校優(yōu)勢學科建設工程資助項目

TH112；TH113.1< class="emphasis_italic">DOI

：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.07.017

劉玉飛，男，1988年生。中國礦業(yè)大學機電工程學院博士研究生。主要研究方向為機構動力學及振動控制、精密定位平臺設計。發(fā)表論文3篇。李威，男，1964年生。中國礦業(yè)大學機電工程學院教授、博士研究生導師。楊雪鋒，男，1979年生。中國礦業(yè)大學機電工程學院副教授。徐晗，男，1989年生。中國礦業(yè)大學機電工程學院碩士研究生。