并聯(lián)機構(gòu)承載能力分析

苑飛虎　趙鐵石,2　趙延治,2　翁大成

1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室，秦皇島，0660042.燕山大學(xué)先進鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室，秦皇島，066004

并聯(lián)機構(gòu)承載能力分析

苑飛虎1趙鐵石1,2趙延治1,2翁大成1

1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機器人與機電系統(tǒng)實驗室，秦皇島，0660042.燕山大學(xué)先進鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點實驗室，秦皇島，066004

采用顯式求解法計算最大外載荷的極大值，提出了一種基于拉格朗日函數(shù)的比例法來計算最大外載荷的極小值。為引入構(gòu)件重力和慣性力的影響，提出等效驅(qū)動力的概念，在此基礎(chǔ)上將并聯(lián)機構(gòu)用于運動模擬臺時的承載能力分為靜態(tài)承載能力和動態(tài)承載能力，并基于比例法給出承載能力的計算過程。最后以六自由度并聯(lián)機構(gòu)為例，分析了位姿對承載能力和承載性能指標(biāo)的影響。研究結(jié)果為重載并聯(lián)機構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計和性能評價提供了參考。

承載性能；承載能力；比例法；等效驅(qū)動力；運動模擬臺

0　引言

相比于串聯(lián)機構(gòu)，承載能力強是并聯(lián)機構(gòu)經(jīng)常被提及的突出優(yōu)點。對于重載并聯(lián)機構(gòu)，承載能力分析和評價更為重要。文獻[1-6]將機構(gòu)“廣義力橢球”的長徑和短徑看作機構(gòu)在該位姿處能承受廣義力的極大值和極小值，并以該極值作為評價機構(gòu)的承載能力的指標(biāo)，該方法對多個主動力之間的關(guān)系進行了限制，與實際情況不吻合，因此，承載能力評價結(jié)果不直觀。文獻[7-8]分別采用比例法和顯式求解法研究平面3RRR機構(gòu)所能承受的最大力極值。Garg等[9]將上述兩種方法應(yīng)用于空間3RRRS機構(gòu)的研究。比例法通過多次改變給定方向?qū)ふ易畲罅?力矩)的極值，計算量巨大；顯式求解法計算快捷，但不能得到最大力的極小值。此外，有學(xué)者根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)的具體應(yīng)用來研究其承載能力。文獻[10-14]以沿固定軌跡運動時機構(gòu)所能承載的最大負(fù)載質(zhì)量作為機構(gòu)的承載能力。

本文對并聯(lián)機構(gòu)的承載性能和承載能力進行了研究。定義了并聯(lián)機構(gòu)承載性能指標(biāo)，以指導(dǎo)或評價機構(gòu)的構(gòu)型設(shè)計，并給出了該極值計算方法?；诘刃?qū)動力的概念，研究了并聯(lián)機構(gòu)用于運動模擬臺時的靜態(tài)承載能力和動態(tài)承載能力。

1　承載能力與承載性能指標(biāo)的定義

宏觀上，承載能力指空間上的最大容量或力學(xué)上的最大限度。按照上述理解，并聯(lián)機構(gòu)的承載能力可定義為并聯(lián)機構(gòu)中輸出構(gòu)件所能承受的最大外載荷，根據(jù)用途的不同，此外載荷可以是力，也可以是在一定條件下與力有對應(yīng)關(guān)系的其他物理量，如質(zhì)量、加速度等。

由文獻[15]可得并聯(lián)機構(gòu)力平衡方程：

FG+FI+FE=Gff

(1)

式中，Gf為力映射矩陣；FG、FI分別為機構(gòu)構(gòu)件重力、慣性力；FE為外載荷；f為驅(qū)動力。

由式(1)可知，f取得極值時對應(yīng)的FE反映了并聯(lián)機構(gòu)的承載能力，F(xiàn)E與機構(gòu)構(gòu)型、構(gòu)件結(jié)構(gòu)、驅(qū)動器性能和機構(gòu)運動狀態(tài)有關(guān)，并不能直觀地反映機構(gòu)構(gòu)型設(shè)計的優(yōu)劣。

機構(gòu)在某一確定位姿下，F(xiàn)G、FI與構(gòu)件的具體結(jié)構(gòu)和機構(gòu)的運動狀態(tài)有關(guān)，而Gf固定不變。Gf由機構(gòu)構(gòu)型和結(jié)構(gòu)參數(shù)確定，能夠反映并聯(lián)機構(gòu)的本質(zhì)。因此，可以基于Gf研究機構(gòu)的承載性能，以指導(dǎo)和評價機構(gòu)構(gòu)型設(shè)計。

不考慮機構(gòu)構(gòu)件重力和慣性力，將式(1)中FE記為F，有

F=Gff

(2)

此時f取得極值，F(xiàn)的取值完全由機構(gòu)構(gòu)型和結(jié)構(gòu)參數(shù)確定，其值可以反映機構(gòu)構(gòu)型設(shè)計的優(yōu)劣，為機構(gòu)選型和參數(shù)優(yōu)化設(shè)計提供指導(dǎo)。

為具有通用性，驅(qū)動力中每個元素極值均設(shè)定為單位1，將此時機構(gòu)在某位姿下所有方向上所能承受最大外載荷的極值定義為并聯(lián)機構(gòu)的局部承載性能指標(biāo)(localcarryingperformanceindex,LCPI)。外載荷中力和力矩具有不同量綱，故應(yīng)分開處理。令

(3)

其中，‖maxFf‖、‖minFf‖分別為驅(qū)動力f取得極值時F的力極大值和力極小值。用ILCP(Fmax)、ILCP(Fmin)評價某一位姿下并聯(lián)機構(gòu)的力承載性能，其值越大，則機構(gòu)的力承載性能越好。當(dāng)ILCP(Fmax)=ILCP(Fmin)時，機構(gòu)在該位姿處力各向同性。令

(4)

其中，‖maxFτ‖、‖minFτ‖分別為驅(qū)動力f取得極值時F的力矩極大值和力矩極小值。用ILCP(τmax)、ILCP(τmin)評價某一位姿下并聯(lián)機構(gòu)的力矩承載性能，其值越大，則機構(gòu)的力矩承載性能越好。當(dāng)ILCP(τmax)=ILCP(τmin)時，機構(gòu)在該位姿處力矩各向同性。

LCPI僅能反映某確定位姿時機構(gòu)承載性能的好壞，而機構(gòu)往往在一個特定的工作空間內(nèi)運行，需要在一個工作空間范圍內(nèi)去評價機構(gòu)的承載性能。為此，將LCPI在整個可達工作空間內(nèi)的平均值定義為并聯(lián)機構(gòu)的全局承載性能指標(biāo)(globalcarryingperformanceindex,GCPI)。令

(5)

其中，W表示機構(gòu)的整個工作空間，w表示機構(gòu)的某一位姿。用IGCP(Fmax)、IGCP(Fmin)評價整個工作空間范圍內(nèi)機構(gòu)的力承載性能，其值越大，則機構(gòu)的力承載性能越好。令

(6)

用IGCP(τmax)、IGCP(τmin)評價整個工作空間范圍內(nèi)機構(gòu)的力矩承載性能，其值越大，則機構(gòu)的力矩承載性能越好。

并聯(lián)機構(gòu)的承載性能完全由機構(gòu)構(gòu)型和結(jié)構(gòu)參數(shù)確定，而這兩方面正是并聯(lián)機構(gòu)設(shè)計的基礎(chǔ)，LCPI和GCPI可以為并聯(lián)機構(gòu)，尤其是重載并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型選取和參數(shù)設(shè)計提供指導(dǎo)。

2　外載荷極值計算

研究并聯(lián)機構(gòu)的承載性能，即求取驅(qū)動力中每個元素極值均為1時最大外載荷的極大值和極小值。本節(jié)采用顯式求解法求最大外載荷的極大值，采用基于拉格朗日函數(shù)的比例法求最大外載荷的極小值。

2.1顯式求解法求極大值

將式(2)中F表示為力和力矩的組合形式：

(7)

其中，F(xiàn)f表示力，F(xiàn)τ表示力矩。

記Ff、Fτ的維數(shù)分別為k和d，則由式(7)得

(8)

其中，fr×1為f中任意r個元素組成的r×1列向量，fs×1為構(gòu)成fr×1后f中剩余的s個元素組成的列向量。hτ1、hf1由hτ、hf中與fr×1對應(yīng)的元素組成，hτ2、hf2由hτ、hf中與fs×1對應(yīng)的元素組成。Od×k為d×k型零矩陣，Ek×k為k×k型單位矩陣，Ok×1為k×1零向量。

記s+r=n，即f為n維列向量。若機構(gòu)的外力為純力，即Fτ=0，可認(rèn)為機構(gòu)不能轉(zhuǎn)動，只有k個移動自由度。任選d個主動關(guān)節(jié)并任意給定其驅(qū)動力的值，則其余k個驅(qū)動力與外力有唯一確定的對應(yīng)關(guān)系。當(dāng)最大外力取得極大值時，上述任選的d個主動關(guān)節(jié)的驅(qū)動力取得極值。

(9)

其中，hτ1、hf1、hτ2、hf2均可根據(jù)f1×s確定。

若外載荷為純力矩，由式(7)得

(10)

同理可得驅(qū)動力極值為1時機構(gòu)所能承受最大外力矩的極大值，該外力矩即maxFτ。

2.2基于拉格朗日函數(shù)的比例法求極小值

由式(7)得

(11)

若動平臺上外載荷為純力，由式(11)得

f=gfFf

(12)

對于f中第i個元素if，有

if=ia1x1+ia2x2+…+iakxk

(13)

當(dāng)FfTFf=1時，有

(14)

為求FfTFf=1時if的最大值，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

(15)

分別對x1,x2,…,xk和λ求偏導(dǎo)，并令其等于0，得

(16)

解得

q∈{1,2,…,k}

將xq代入式(13)，可得if的極值，由于xq可有兩個不同取值，故可得2k個if的值。令

ib=max(|if(1)|,|if(2)|,…,|if(2k)|)

(17)

則ib為FfTFf=1時if的最大允許取值，根據(jù)xq可確定此時外力載荷的方向，記為iFfq。令

maxb=max(1b,2b,…,nb)

(18)

maxb為FfTFf=1時驅(qū)動力所有元素的最大允許取值。若maxb=rb，其中，r∈{1,2,…,n}，則當(dāng)驅(qū)動力極值為1時，機構(gòu)在該位姿處所能承受的最大外力載荷的極小值minb=1/rb，方向為rFfq，minbrFfq即minFf。

同理可求得機構(gòu)所能承受的最大外力矩載荷的極小值，該外力矩即minFτ。

3　承載能力分析

并聯(lián)機構(gòu)應(yīng)用場合不同時，其外載荷類型也不相同。本節(jié)以運動模擬臺為應(yīng)用背景，研究機構(gòu)的承載能力。用于運動模擬臺時，并聯(lián)機構(gòu)的工作方式可分為兩種:一種是實現(xiàn)負(fù)載的期望位姿，而對運動參數(shù)無要求。若機構(gòu)從當(dāng)前位姿運動到期望位姿的運動時間足夠長，可認(rèn)為該過程中機構(gòu)的速度、加速度均為零，這種工作方式稱為靜態(tài)工作；另一種是帶動負(fù)載實現(xiàn)期望的運動規(guī)律，這種工作方式稱為動態(tài)工作。根據(jù)上述兩種工作方式，將用于運動模擬臺時并聯(lián)機構(gòu)的承載能力分為靜態(tài)承載能力和動態(tài)承載能力。

3.1等效驅(qū)動力

在設(shè)計重載并聯(lián)機構(gòu)時，機構(gòu)構(gòu)件的重力和慣性力不能忽略。由式(1)可知，并聯(lián)機構(gòu)可承受的外載荷由驅(qū)動力決定。將式(1)表示為

(19)

驅(qū)動力f表示為fI與fE之和，其中，fI對應(yīng)構(gòu)件重力和慣性力，fE對應(yīng)外載荷。當(dāng)動平臺運動規(guī)律確定后，構(gòu)件重力和慣性力FG+FI也是確定的，即fI是確定的，此時fE的取值范圍決定了FE的極限值。

fI中元素ifI的值可根據(jù)式(19)確定。由f=fI+fE可知，fE中元素ifE的取值極限為

(20)

為保證并聯(lián)機構(gòu)能夠運動，須滿足

-ifm≤ifI≤ifm

(21)

(22)

由式(20)和式(22)可以看出，ifE允許取值范圍的跨度與驅(qū)動器輸出力范圍跨度相同，但極限值超過了驅(qū)動器的輸出極限值。fE是驅(qū)動器與機構(gòu)構(gòu)件共同作用下可用于平衡外載荷的驅(qū)動力，此處將fE稱為等效驅(qū)動力。

3.2靜態(tài)承載能力

并聯(lián)機構(gòu)靜態(tài)工作時，外載荷只有負(fù)載的重力。機構(gòu)應(yīng)能夠帶動負(fù)載達到工作空間內(nèi)的任意位姿，因此，將整個工作空間范圍內(nèi)動平臺均能承受的負(fù)載重力的最大值稱為機構(gòu)的靜態(tài)承載能力。負(fù)載重力與質(zhì)量有確定的對應(yīng)關(guān)系，所以靜態(tài)承載能力也可以用負(fù)載質(zhì)量描述。

任意位姿w下負(fù)載的重力均保持不變，記重力的方向為eg，將Ff=eg代入式(12)，得

feg=gfeg

(23)

其中，feg表示該位姿下平衡重力方向的單位力所需的等效驅(qū)動力。

(24)

其中，ifeg為feg中第i個元素。

取ibeg的最小值

(25)

按上述方法可求得整個工作空間范圍內(nèi)每個位姿下機構(gòu)可承受的最大負(fù)載重力。求其最小值：

(26)

則并聯(lián)機構(gòu)的靜載承載能力為fg，其等價表述為機構(gòu)可承載的負(fù)載最大質(zhì)量為fg/g，g為重力加速度。

3.3動態(tài)承載能力

并聯(lián)機構(gòu)帶動負(fù)載運動時，負(fù)載對其作用力包括重力和慣性力。負(fù)載確定后，重力保持不變，慣性力主要由負(fù)載的加速度確定。因此，可用負(fù)載確定時機構(gòu)所能實現(xiàn)的最大加速度來衡量并聯(lián)機構(gòu)的動態(tài)承載能力。由并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)模型可知，加速度與機構(gòu)的位姿、速度有關(guān)，另外用于運動模擬臺時機構(gòu)是按照給定方向運動的，因此，評價并聯(lián)機構(gòu)的動態(tài)承載能力時應(yīng)指明其位姿、速度、負(fù)載和動態(tài)承載能力的方向。

記負(fù)載質(zhì)量為m，慣性矩陣為J。在某位姿w下，動平臺速度為V。并聯(lián)機構(gòu)分支構(gòu)件t速度Vt與動平臺速度的映射為

(27)

由動平臺速度產(chǎn)生的分支構(gòu)件t的加速度vAt與動平臺速度的映射為

(28)

則由動平臺速度產(chǎn)生的分支構(gòu)件t的慣性力為

(29)

其中mt、Jt分別為構(gòu)件t的質(zhì)量和慣量，vAta、vAt ε分別為vAt中線加速度分量和角加速度分量，Vt ω為Vt中角速度分量。

動平臺及負(fù)載由速度產(chǎn)生的慣性力為

(30)

其中，O為元素均為0的列向量，Vω為V的角速度分量，J0為動平臺和負(fù)載的慣量。

根據(jù)文獻[16]，由動平臺速度產(chǎn)生所有構(gòu)件和負(fù)載的慣性力等效到動平臺為

(31)

其中，GFt為構(gòu)件t到動平臺的力傳遞矩陣，T表示機構(gòu)分支構(gòu)件的個數(shù)。

記所求最大加速度方向為e，則該方向上負(fù)載單位加速度對應(yīng)的分支構(gòu)件t的加速度為

(32)

由動平臺單位加速度產(chǎn)生的分支構(gòu)件t的慣性力為

(33)

其中，aAta、aAt ε分別為aAt的線加速度分量和角加速度分量。

動平臺及負(fù)載由單位加速度產(chǎn)生的慣性力為

(34)

其中，m0為動平臺和負(fù)載的質(zhì)量和。

由動平臺加速度產(chǎn)生的所有構(gòu)件和負(fù)載的慣性力等效到動平臺為

(35)

將FE=aFI代入式(19)，可得給定方向上產(chǎn)生單位加速度所需的等效驅(qū)動力：

(36)

令

(37)

其中，ife為fe中第i個元素。

取ice的最小值

ce=min(1ce,2ce,…,nce)

(38)

則cefe中至少有一個元素取得極限值。由于fe與e成線性關(guān)系，故動平臺此時可產(chǎn)生的e方向最大加速度為ce，即在位姿w下，動平臺速度為V時，并聯(lián)機構(gòu)在e方向上的動態(tài)承載能力為ce。

4　數(shù)值算例

對于某六自由度并聯(lián)機構(gòu)，某位姿下其力映射矩陣為

Gf=

采用本文方法和文獻[7]方法分別求該位姿下機構(gòu)所能承受的最大外力矩載荷極值及其方向，見表1。

表1　最大外力矩載荷極值及方向

可以看出，兩種方法結(jié)果基本相同，從而驗證了本文方法的正確性。文獻[7]方法在搜索次數(shù)達3×106時結(jié)果穩(wěn)定，而本文方法求極大值、極小值分別需要搜索120次、48次即可，顯然本文方法效率更高。對于最大外力載荷極值的計算有相同結(jié)論，不再贅述。

針對某重型戰(zhàn)車的運動模擬需求，首先對備選構(gòu)型Stewart機構(gòu)、6-PUS機構(gòu)的承載性能進行比較。

結(jié)構(gòu)參數(shù)相同時，Stewart平臺與6-PUS機構(gòu)工作空間相似，在此條件下比較兩機構(gòu)的承載性能。給定動平臺鉸鏈點外接圓半徑為2.5m，動平臺鉸鏈點夾角θa=17°，基礎(chǔ)平臺鉸鏈點外接圓半徑為2.86 m，基礎(chǔ)平臺鉸鏈點夾角θb=13°，動平臺初始高度H=4.41 m，移動副長度變化范圍為-1.5～1.5 m。根據(jù)式(5)、式(6)求Stewart機構(gòu)和6PUS機構(gòu)的全局承載性能指標(biāo)IGCP，見表2。

表2　Stewart機構(gòu)和6-PUS機構(gòu)的全局承載性能指標(biāo)

由表2可以看出，兩種機構(gòu)的全局承載性能指標(biāo)相差不大，6-PUS機構(gòu)承載性能更好?；?-PUS機構(gòu)的并聯(lián)運動模擬臺及相關(guān)坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1　基于6-PUS機構(gòu)的并聯(lián)運動模擬臺

將動平臺繞x軸、y軸、z軸角位移分別記為rx、ry、rz，沿這三個軸的位移記為tx、ty、tz。改變其中一個角位移或位移而保持其他5個量不變，可得動平臺沿該方向轉(zhuǎn)動或移動時LCPI的變化規(guī)律，如圖2～圖7所示。

圖2　LCPI隨rx變化曲線

圖3　LCPI隨ry變化曲線

圖4　LCPI隨rz變化曲線

圖5　LCPI隨tx變化曲線

圖6　LCPI隨ty變化曲線

圖7　LCPI隨tz變化曲線

由圖2～圖7可以看出，機構(gòu)位姿對ILCP(τmax)影響最大，而對ILCP(Fmin) 、ILCP(τmin)、ILCP(Fmax)影響較小。在初始位姿處機構(gòu)的局部承載性能最好。

基于6-PUS機構(gòu)的并聯(lián)運動模擬臺支撐桿質(zhì)量為545kg，滑塊質(zhì)量為332kg，動平臺質(zhì)量為12.3t。電機額定扭矩為290N·m，絲杠導(dǎo)程為0.04m，減速器減速比為1∶4。根據(jù)式(26)，并聯(lián)機構(gòu)的靜態(tài)承載能力為57.2t。

負(fù)載質(zhì)量為36t，與動平臺固連后其整體對x軸、y軸、z軸轉(zhuǎn)動慣量均為16 386kg·m2。在初始位姿，動平臺速度為零時，機構(gòu)沿(繞)x軸、y軸、z軸的動態(tài)承載能力見表3。

表3　基于6-PUS機構(gòu)的并聯(lián)運動模擬臺動態(tài)承載能力

由表3可以看出，該模擬臺動態(tài)承載能力強，可以用于大、重型設(shè)備的運動模擬。6-PUS機構(gòu)豎直方向的移動動態(tài)承載能力大于其水平方向的移動承載能力，繞y軸的轉(zhuǎn)動動態(tài)承載能力大于其他兩個方向的轉(zhuǎn)動承載能力，而初始位姿處y軸正是該機構(gòu)的一條對稱軸線。

5　結(jié)論

(1)本文忽略機構(gòu)構(gòu)件重力和慣性力，將驅(qū)動力極值為1時并聯(lián)機構(gòu)所能承受的最大外載荷的極值定義為并聯(lián)機構(gòu)承載性能指標(biāo)，以反映機構(gòu)構(gòu)型設(shè)計的優(yōu)劣，為并聯(lián)機構(gòu)，尤其是重載并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型選取和參數(shù)設(shè)計提供了指導(dǎo)。

(2)計算并聯(lián)機構(gòu)承載性能指標(biāo)時采用基于拉格朗日函數(shù)的比例法，所得結(jié)果準(zhǔn)確，計算效率高。

(3)結(jié)構(gòu)參數(shù)相同時，6-PUS機構(gòu)承載性能優(yōu)于Stewart機構(gòu)。6-PUS機構(gòu)適用于大、重型設(shè)備的運動模擬。該機構(gòu)在初始位姿處局部承載性能最優(yōu)。用于運動模擬臺時，對于移動，豎直方向的動態(tài)承載能力大于水平方向；對于轉(zhuǎn)動，繞機構(gòu)對稱軸線的動態(tài)承載能力大于其他方向。

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(編輯陳勇)

Analysis of Load Carrying Capacity of Parallel Mechanism

Yuan Feihu1Zhao Tieshi1,2Zhao Yanzhi1,2Weng Dacheng1

1.Hebei Provincial Key Laboratory of Parallel Robot and Mechatronic System,Yanshan University, Qinhuangdao,Hebei,066004 2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science,Ministry of Education of China,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004

The explicit method was used to calculate the maximum extreme of the maximum external load. To get the minimum extreme of the maximum external load, a scaling foctor method was presented based on Lagrange function. Taking into account the effects of components’ gravities and inertial forces,the concept of equivalent driving force was presented.Based on this concept,the static carrying capacity and dynamic carrying capacity of parallel mechanism used as motion simulation platform was discussed. The calculation process was put forward based on scaling foctor method.Using a six DOF mechanism as an example,the effects of mechasim poses on carrying capacity and carrying performance indexes was analyzed.A reference to guide and evaluate the design and performance of heavy load parallel mechanism is put forward.

load carrying performance;load carrying capacity;scaling foctor method;equivalent driving force;motion simulation platform

2014-05-04

國家自然科學(xué)基金資助項目(51375420，50975244，51105322)

TP24< class="emphasis_italic">DOI

：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.07.004

苑飛虎，男，1986年生。燕山大學(xué)機械工程學(xué)院博士研究生。主要研究方向為并聯(lián)機器人理論與應(yīng)用。趙鐵石，男，1963年生。燕山大學(xué)機械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。趙延治，男，1981年生。燕山大學(xué)機械工程學(xué)院副教授。翁大成，男，1990年生。燕山大學(xué)機械工程學(xué)院碩士研究生。