Diophantine方程x3+1=3Qy2的整數(shù)解

李潤(rùn)琪

（德宏師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)系，云南　芒市　678400）

Diophantine方程x3+1=3Qy2的整數(shù)解

李潤(rùn)琪

（德宏師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系，云南芒市678400）

是一類基本而重要的Diophantine方程，其整數(shù)解已有不少人研究過(guò).主要結(jié)論為：當(dāng)（Q不含6k+1形素因子時(shí)主要結(jié)論見(jiàn)文獻(xiàn)［1］；但當(dāng)（Q含6k+1形素因子同時(shí)還含6k-1形素因子時(shí)，方程的求解較為困難，主要結(jié)論見(jiàn)文獻(xiàn)［2-7］.本文主要對(duì)（Q含1個(gè)6k+1形素因子及至少含1個(gè)6k-1形素因子的情況進(jìn)行討論.

1　相關(guān)引理

引理1［8］設(shè)r≡5（mod 6）為奇素?cái)?shù)，（x，y）為x2-3y2=1的整數(shù)解，則x0（mod r）.

引理2［9］設(shè)p是一個(gè)奇素?cái)?shù)，則丟番圖方程4x4-py2=1除開(kāi)p=3，x=y=1和p=7，x=2，y=3外，無(wú)其他的正整數(shù)解.

引理3［9］設(shè)p是一個(gè)奇素?cái)?shù)，則丟番圖方程x4-py2=1除開(kāi)p=5，x=3，y=4和p=29，x=99，y=1 820外，無(wú)其他的正整數(shù)解.

2　主要結(jié)論及證明

證明 設(shè)（x，y）是方程（2）的整數(shù)解，則gcd（x+1，x2-x+1）=3，x2-x+1≡0（mod 9）.又ri≡-1（mod 6）（1≤i≤s）是彼此不相同的素?cái)?shù)，故x2-x+1≡0（mod ri）（1≤i≤s），則方程（2）可分解為以下兩種情形：

情形Ⅰ 由于u2≡0，1，4（mod 8），則由x+1=9Ru2得：x=9Ru2-1≡Ru2-1≡-1，R-1，4R-1（mod 8）；而由x2-x+1=3pv2及p≡1（mod 6）為奇素?cái)?shù)知v為奇數(shù)，則v2≡1（mod 8），故3pv2≡3p（mod 8）.

由R≡1，17（mod 24）得：R≡1（mod 8），則x≡-1，R-1，4R-1≡-1，0，3（mod 8），則x2-x+1≡1，3，7（mod 8）；又由p≡7（mod 24），得：p≡7（mod 8），則3pv2≡3p≡≡5（mod 8），則有：1，3，7≡x2-x+1=3qv2≡5（mod 8），矛盾，故在條件（i）下情形Ⅰ不成立.

同理在（ii）條件下有：3，5，7≡x2-x+1=3qv2≡1（mod 8），矛盾；在條件（iii）、（iv）下有3，7≡x2-x+1= 3qv2≡1，5（mod 8），矛盾.故在條件（ii）（iii）（iv）下情形Ⅰ不成立.

綜上有情形Ⅰ下方程（2）無(wú)整數(shù)解.

因此有：6Qu2-1=±yn（n∈Z），即有：6Qu2=±yn+1.又因?yàn)閥-n=-yn，所以只需考慮下式：由式（4）得：yn≡-1（mod 6）.

容易驗(yàn)證下列各式成立：

對(duì)遞歸序列（5）取模6，得周期為6的剩余類序列0，1，4，3，2，5，0，1，4，3，2，5，…，且僅當(dāng)n≡-1（mod 6），有yn≡-1（mod 6），故（4）成立需n≡-1（mod 6），即n≡-1（mod 12）或n≡5（mod 12）.

由式（7）及式（12）得：gcd（x6m-1，y6m）=gcd（2x6m-3y6m，y6m）=gcd（2x6m，y6m）=2.由式（11）得：x6m-1≡0（mod 3）.又因?yàn)閞i≡-1（mod 6）（i=1，2，…，n）為互異的奇素?cái)?shù)，則由引理1得：x6m-1≡0（mod ri）（i=1，2，…，n），則式（14）給出以下2種可能的分解：

在條件（i）下，R≡1，17（mod 24），p≡7（mod 24），則p+R≡0（mod 8），則有4≡0（mod 8），矛盾，故條件（i）下（21）式不成立.

同理，在條件（ii）下有4≡0（mod 8）；在條件（iii）、（iv）下有4≡±2（mod 8），矛盾，故條件（ii）、（iii）、（iv）下式（21）均不成立.

綜上有情形Ⅱ下方程（2）無(wú)整數(shù)解.

綜上所述，定理1成立.

［1］柯召，孫琦.關(guān)于丟番圖方程x3±1=3Dy2［J］.四川大學(xué)學(xué)報(bào)，1981，18（2）：1-5.

［2］曹玉書，郭慶儉.關(guān)于丟番圖方程x3±1=3Dy2［J］.黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，1989（4）：68-71.

［3］張淑靜，楊雅琳，賈曉明.關(guān)于Diophantine方程x3±1=3pD1y2［J］.山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，293（4）：31-33.

［4］杜先存，萬(wàn)飛，趙金娥.關(guān)于不定方程x3±1=1455y2的一個(gè)初等解法［J］.西南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014（4）：43-46.

［5］杜先存，孫映成，萬(wàn)飛.關(guān)于丟番圖方程x3±1=3·2αpD1y2［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2014，44（6）：255-258.

［6］杜先存.關(guān)于丟番圖方程x3±1=3qPy2的整數(shù)解［J］.鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2015，47（1）：38-41+45.

［7］普粉麗，張汝美，楊吉英.Diophantine方程x3+53=2pqy2的整數(shù)解［J］.湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，33（3）：264-265，270.

［8］萬(wàn)飛，杜先存.關(guān)于不定方程x3±1=2pDy2的整數(shù)解［J］.鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2015，47（1）：42-45.

［9］曹珍富.丟番圖方程引論［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2012：180，187.

責(zé)任編輯：時(shí) 凌

On Integer Solution of the Diophantine Equation x3+1=3Qy2

LI Runqi
（College of Mathematics，Dehong Normal College，Mangshi 678400，China）

Diophantine equation；integer solution；odd prime；recursive sequence；congruence；quadratic residue

O156.1

A

1008-8423（2015）04-0393-03DOI：10.13501/j.cnki.42-1569/n.2015.12.009

2015-10-31.

云南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目（2014Y462）.

李潤(rùn)琪（1965-），男，講師，主要從事初等數(shù)論及數(shù)學(xué)教育的研究.

解的性質(zhì)、同余式、平方剩余、遞歸序列等證明了Diophantine方程x3+1=3Qy2僅有平凡解（x，y）=（-1，0）.關(guān)鍵詞：Diophantine方程；整數(shù)解；奇素?cái)?shù)；遞歸序列；同余；平方剩余