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    具有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville問(wèn)題的Green函數(shù)

    2015-10-25 07:52:34
    關(guān)鍵詞:特征函數(shù)邊界條件特征值

    牡 丹

    (湖北民族學(xué)院理學(xué)院,湖北 恩施 445000)

    具有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville問(wèn)題的Green函數(shù)

    牡 丹

    (湖北民族學(xué)院理學(xué)院,湖北恩施445000)

    考慮了具有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville問(wèn)題,即在有限區(qū)間上具有轉(zhuǎn)移條件的問(wèn)題,并給出了具有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville問(wèn)題的Green函數(shù).

    Sturm-Liouville問(wèn)題;轉(zhuǎn)移條件;Green函數(shù)

    Sturm-Liouville(S-L)算子是常微分算子理論中一類十分重要的微分算子.S-L問(wèn)題起源于固體熱傳導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型的描述,自問(wèn)世以來(lái),S-L問(wèn)題在各種理論科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域里有著廣泛的應(yīng)用[1-3].近些年,算子域中的函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)具有不連續(xù)性的問(wèn)題引起了廣泛的關(guān)注[4-8].

    在文獻(xiàn)[9-10]中,作者考慮了具有轉(zhuǎn)移條件的S-L算子,并證明了自共軛性.本文中我們研究在相鄰兩個(gè)區(qū)間[-1,0)和(0,1]上具有分離型邊界條件和轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題,給出具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題的Green函數(shù)按特征函數(shù)的展開式.

    在經(jīng)典的S-L算子問(wèn)題中,可以利用S-L算子的Green函數(shù),把微分算子問(wèn)題轉(zhuǎn)化成積分算子問(wèn)題來(lái)進(jìn)行研究.因此微分算子的Green函數(shù)是研究算子問(wèn)題的主要工具之一.與經(jīng)典的S-L算子類似,可以構(gòu)造具有轉(zhuǎn)移條件的S-L算子的Green函數(shù),可以把具有轉(zhuǎn)移條件的S-L算子問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的積分算子問(wèn)題.

    在Naimark的著作[11]中作者討論了經(jīng)典的S-L算子以及其Green函數(shù)G(x,ξ,λ),并給出Green函數(shù)按特征函數(shù)的展開.本文中,考慮具有轉(zhuǎn)移條件的S-L算子,并給出具有轉(zhuǎn)移條件問(wèn)題的Green函數(shù)按特征函數(shù)的展開.

    考慮如下Sturm-Liouville方程:

    本文的結(jié)構(gòu)為:首先給出所考慮的Sturm-Liouville方程以及相應(yīng)的邊界條件和轉(zhuǎn)移條件.其次定義與轉(zhuǎn)移條件相關(guān)聯(lián)的內(nèi)積,得到一個(gè)新的Hilbert空間,在這一空間中研究具有分離型邊界條件和轉(zhuǎn)移條件的SL問(wèn)題;并構(gòu)造了S-L方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解.最后一節(jié)給出具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題的Green函數(shù),并利用具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題的特征值和特征函數(shù)對(duì)Green函數(shù)進(jìn)行展開.

    1 Sturm-Liouville方程的解

    在這一節(jié)首先定義與轉(zhuǎn)移條件(4)~(5)相關(guān)聯(lián)的內(nèi)積,得到一個(gè)新的Hilbert空間,在這一新空間中研究具有分離型邊界條件和轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題(1)~(6),再構(gòu)造S-L方程(1)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解.

    在L2(I)中定義一種依賴于轉(zhuǎn)移條件的新內(nèi)積:

    定理1 具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題(1)~(6)是自共軛的,且具有可數(shù)多個(gè)特征值;在相應(yīng)的Hilbert空間H上,S-L問(wèn)題的特征函數(shù)系是完備的.

    證明 見文獻(xiàn)[9-10].

    下面構(gòu)造S-L方程(1)的滿足轉(zhuǎn)移條件的兩個(gè)解.由文獻(xiàn)[10]中的定理1.5知:對(duì)于每個(gè)λ∈ CC,初值問(wèn)題:

    有唯一解φ1(x,λ),且對(duì)于每個(gè)固定的x∈[-1,0),φ1(x,λ)是關(guān)于λ的整函數(shù).設(shè)φ2(x,λ)為如下初值問(wèn)題:

    的解,則對(duì)于每個(gè)固定的x∈(0,1],φ2(x,λ)是關(guān)于λ的整函數(shù).令φ(x,λ)為:

    則φ(x,λ)是S-L方程(1)滿足邊界條件(2)和和轉(zhuǎn)移條件(4)~(5)的解.

    用類似的方法定義S-L方程(1)的另一解χ(x,λ).設(shè)χ2(x,λ)為初值問(wèn)題:

    的解,則對(duì)于每個(gè)固定的x∈(0,1],χ2(x,λ)是關(guān)于λ的整函數(shù).又設(shè)χ1(x,λ)為如下初值問(wèn)題:

    的解,則對(duì)于每個(gè)固定的x∈[-1,0),χ1(x,λ)是關(guān)于λ的整函數(shù).令:

    由式(9)~(10)知:χ(x,λ)是S-L方程(1)滿足邊界條件(3)和轉(zhuǎn)移條件(4)~(5)的解.

    2 Sturm-Liouville問(wèn)題的Green函數(shù)

    這一節(jié)我們構(gòu)造具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題(1)~(6)的Green函數(shù),并給出Green函數(shù)按特征函數(shù)的展開.

    考慮如下的非齊次的微分方程:

    賦予邊界條件和轉(zhuǎn)移條件(2)~(5),其中f∈H,非齊次的微分方程(11)的通解可以表示成:

    定理2 設(shè)f∈H,并設(shè)λ不是S-L問(wèn)題(1)-(6)的特征值,則S-L問(wèn)題(1)~(6)的Green函數(shù)為如下:

    滿足方程(11)及邊界和轉(zhuǎn)移條件(2)~(5),其中G(x,ξ,λ)是S-L問(wèn)題(1)~(6)的Green函數(shù).

    證明 見文獻(xiàn)[13-14].

    在本文中,假設(shè)λ=0不是S-L問(wèn)題(1)~(6)的特征值,那么:G(x,ξ)=G(x,ξ,0).

    引理2 具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題(1)~(6)等價(jià)于:

    證明 見文獻(xiàn)[14].

    在文獻(xiàn)[14]中,對(duì)具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題的Green函數(shù)按特征函數(shù)進(jìn)行展開,得到:其中λn是具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題(1)~(6)的特征值,φn(x)為相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)特征函數(shù).

    下面討論具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題(1)~(6)的Green函數(shù)的另一種展開形式.

    定理3 設(shè)λ不是具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題(1)~(6)的特征值,則:

    其中:λn是S-L問(wèn)題(1)~(6)的特征值,φn(x)為相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)特征函數(shù).

    在給出定理3的證明之前,先考慮下面的引理.

    引理3 設(shè)y,f∈H且滿足非齊次方程(11).設(shè)λ不是具有轉(zhuǎn)移條件的S-L問(wèn)題(1)~(6)的特征值,又設(shè)λn為S-L問(wèn)題(1)~(6)的特征值,則:

    [1]AZIZ A K,HUBBARD B E.Bounds for the solution of the Sturm-Liouville problem with application to finite difference methods[J].J Soc Indust Appl,1964,12:163-178.

    [2]BREUER S,GOTTLIEB D.Upper and lower bounds on eigenvalues of Sturm-Liouville systems[J].J Math Anal Appl,1971,36:465-476.

    [3]WILKENINY J,CENFON A.A spectral transform method for singular Sturm-Liouville problems with Applications to Energy diffusion in Plusma Physics[J].Siam J Appl Math,2013,75:350-392.

    [4]MUKHTAROV O S,AYDEMIR K.Eigenfunction expansion for Sturm-Linuille problems with tramsmission conditions at one ihterior point[J].Actu Muthematica Scientiu,2015,35(3):639-649.

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    [8]SH O,MUKHTAROVB,YAKUBOV S.Problems for ordinary differential equations with transmission conditions[J].Applicable Analysis,2002,81:1033-1064.

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    [10]王愛萍.關(guān)于Weidmann猜想及具有轉(zhuǎn)移條件微分算子的研究[D].呼和浩特:內(nèi)蒙古大學(xué),2006.

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    [13]牡丹.具有轉(zhuǎn)移條件的Sturm-Liouville算子和具有點(diǎn)作用的Schr?dinger算子譜分析的研究[M].呼和浩特:內(nèi)蒙古大學(xué),2014.

    [14]MUDAN Bai,JIONGSun,SIQIN Yao.The modified Parseval equality of Sturm-Liouville problem with transmission conditions[J].Journal of Applied Mathematics,[2015-09-20]2013(在線).http://www.hindawi.com/journals/jam/2013/619358/.

    責(zé)任編輯:時(shí) 凌

    Green′s Function of Sturm-Liouville Problem with Transmission Conditions

    MU Dan
    (School of Science,Hubei University for Nationalities,Enshi 445000,China)

    We consider the Sturm-Liouville problems with a very general transmission condition on a finite interval and give the eigenfunction expansion of Green′s function of the Sturm-Liouville problems with transmission conditions.

    Sturm-Liouville problems;transmission conditions;Green′s function

    0177.1;0175.3

    A

    1008-8423(2015)04-0379-05DOI:10.13501/j.cnki.42-1569/n.2015.12.006

    2015-10-13.

    湖北省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(B2015099);湖北民族學(xué)院博士啟動(dòng)基金項(xiàng)目(4148009).

    牡丹(1980-),女(蒙古族),博士,講師,主要從事常微分算子譜理論的研究.

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