化歸思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

化歸是數(shù)學(xué)活動(dòng)中一種最基本、而又具有普遍應(yīng)用性的數(shù)學(xué)思想方法?；瘹w內(nèi)涵的核心就是“求變”，通過“求變”實(shí)現(xiàn)問題有效轉(zhuǎn)化。本文通過對(duì)五種常用化歸方法的分析，揭示化歸方法在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的普遍應(yīng)用性。

思想方法 ?化歸 ?轉(zhuǎn)化 ?數(shù)學(xué)活動(dòng)

數(shù)學(xué)從哲學(xué)中派生出來，成為最具有方法論價(jià)值的基礎(chǔ)性工具性學(xué)科。[1]在數(shù)學(xué)方法論中，數(shù)學(xué)思想是指向個(gè)體內(nèi)部的觀念，是數(shù)學(xué)知識(shí)與方法在更高層次上抽象與概括而成的數(shù)學(xué)觀點(diǎn);數(shù)學(xué)方法則指向個(gè)體外部的操作，是數(shù)學(xué)思想的具體化與程序化。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)思想與方法總是交融交織的。因此，常常不加區(qū)別地將它們統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法。就數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用而言，化歸是一種最基本、而又具有普遍應(yīng)用性的思想方法。

一、化歸思想方法原理分析

1.化歸的內(nèi)涵

化歸，即轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的科學(xué)概括，實(shí)現(xiàn)問題由未知到已知，由難到易，由復(fù)雜到簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化并解決。

從方法論的角度講，化歸是使原問題歸結(jié)為我們熟知的或簡(jiǎn)單的、直觀的問題，它著眼于通過求變實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化;從認(rèn)識(shí)論的角度講，化歸是用一種事物的普遍聯(lián)系與矛盾轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)問題，它著眼于揭示聯(lián)系實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。因此，化歸內(nèi)涵的核心就是“求變”，通過求變，實(shí)現(xiàn)方法創(chuàng)新、思維突破。

2.化歸的模式

運(yùn)用化歸方法解決問題的過程，可以歸結(jié)為：先通過某種途徑，將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)有成熟解決方案的問題*，然后通過對(duì)問題*的求解，得到原問題的解答?；瘹w的一般模式如圖1所示。

3.化歸的原則

化歸的目的在于實(shí)現(xiàn)問題的有效解決?；瘹w應(yīng)當(dāng)遵循以下三個(gè)原則。第一，熟知性原則，即將生疏問題轉(zhuǎn)化為熟悉而熟知的問題。第二，簡(jiǎn)單性原則，即將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單而容易的問題。第三，直觀性原則，即將抽象問題轉(zhuǎn)化為具體而形象的問題。

總之，化歸需要以已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法作為基礎(chǔ)與引領(lǐng)。

二、化歸與數(shù)學(xué)活動(dòng)

客觀事物是普遍聯(lián)系的，而矛盾是對(duì)立統(tǒng)一而又相互轉(zhuǎn)化的，這為化歸方法提供了哲學(xué)基礎(chǔ)。[2]數(shù)學(xué)內(nèi)部之間的邏輯聯(lián)系、數(shù)學(xué)與客觀世界之間的聯(lián)系、以及方法與方法之間的聯(lián)系等，為數(shù)學(xué)化歸提供了可能性。因此，數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)及其哲學(xué)基礎(chǔ)，使得化歸成為數(shù)學(xué)活動(dòng)中最基本而又具有普通應(yīng)用性的方法。

數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯性，存在著大量的演繹論證。而演繹論證則是將原問題歸結(jié)到某些已知定理（公理）上去，實(shí)質(zhì)上是一種化歸過程;數(shù)學(xué)高度的抽象性，具有形式化、符號(hào)化、模式化的特征，正是這些特征為化歸方法提供了便利條件;數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用性，在解決問題時(shí)，先是將其數(shù)學(xué)化、抽象化，創(chuàng)造出具有表現(xiàn)力的數(shù)學(xué)語言——數(shù)學(xué)模型，通過模型建立未知與已知之間的內(nèi)在聯(lián)系，從這種聯(lián)系中規(guī)劃解決問題的思路，是化歸思想的具體應(yīng)用。

數(shù)學(xué)活動(dòng)中，大量運(yùn)用觀察與聯(lián)想、歸納與類比、分析與綜合等科學(xué)方法，是人們探索數(shù)學(xué)規(guī)律、尋求問題解決途徑的重要方法。通過觀察與聯(lián)想，可以提出猜測(cè)、尋求原問題與熟知問題的內(nèi)在聯(lián)系，為問題轉(zhuǎn)化提供思路;通過歸納與類比，可以探索化歸的方向，為問題轉(zhuǎn)化提供目標(biāo);通過分析與綜合，可以從本質(zhì)上、從量與質(zhì)兩個(gè)方面把握問題的內(nèi)涵與外延，可以探求化歸的數(shù)學(xué)模式，為問題解決找到有效途徑。

三、數(shù)學(xué)教學(xué)中幾種常用的化歸方法

1.變換法

數(shù)學(xué)活動(dòng)中，變換法是較為常見的、實(shí)現(xiàn)由未知（難、復(fù)雜）向已知（易、簡(jiǎn)單）的化歸。常見的變換方法有：變式、變形、變條件、變結(jié)論等;有恒等變換、參數(shù)變換、坐標(biāo)變換、幾何變換等等。

例如，參數(shù)變換法通過引入?yún)?shù)（換元）常?？梢愿淖儐栴}的外部形式與內(nèi)部結(jié)構(gòu)，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何或三角問題，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題或三角問題等，因而適用于數(shù)學(xué)各分支學(xué)科。[3]變換化這種思維方式在數(shù)學(xué)活動(dòng)中是十分典型的。

2.特殊化與一般化方法

由特殊到一般，由一般到特殊，即由具體到抽象，由抽象到具體，它們相互制約，互為補(bǔ)充，是化歸的一種具體方法。[4]數(shù)學(xué)中，經(jīng)常使用的歸納法與演繹法就是特殊化與一般化思想的集中體現(xiàn)。

（1）從一般到特殊：特殊化

特殊化，即將所討論的數(shù)學(xué)問題“退”到屬于它的特殊狀態(tài)（數(shù)量或位置關(guān)系、原始狀態(tài)或最簡(jiǎn)單）下進(jìn)行研究，從特殊狀態(tài)下獲得啟發(fā)，從特例中抽象歸納出共性，從而獲得一般情形的解決途徑。

面對(duì)某個(gè)一般性數(shù)學(xué)問題，如果直面難以解決，則可先退一步，解決其特殊情況。特殊情形往往簡(jiǎn)單、直觀，并為我們所熟知，通過特例，可以給抽象的命題賦予具體內(nèi)容和現(xiàn)實(shí)意義。然后通過對(duì)特例的考察為由特殊到一般的抽象提供必要的素材，將解決特殊情況的方法或結(jié)論推廣到一般問題上，從而獲得一般性問題的解答。最后，必要時(shí)還需借助新的特例來對(duì)獲得的一般性結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。因此，特殊化的功能在于由隨意的特殊化，去了解問題;由系統(tǒng)的特殊化，為一般化提供基礎(chǔ);由巧妙的特殊化，去對(duì)一般性結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)。[5]

數(shù)學(xué)中，特殊化可以將抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)與形式化表達(dá)式具體化、數(shù)量化，也可以就“極端”情形進(jìn)行考慮，還包括作出具體的圖形等。

例如，探求n邊形內(nèi)角和時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為三角形便可輕易歸納出結(jié)論。這正是特殊化化歸的具體應(yīng)用。

（2）從特殊到一般：一般化

一般化，即將所討論的問題，放在更廣泛、更一般的狀態(tài)下進(jìn)行考察，先得出一般性的結(jié)論與處理方法。然后再把一般性結(jié)論或方法具體化到原問題上，從而實(shí)現(xiàn)問題解決。同時(shí)，也只有上升到一般的高度，才能更好引領(lǐng)人們深刻認(rèn)識(shí)和理解各個(gè)特例?？疾靻栴}時(shí)，有時(shí)“跳”出具體對(duì)象，尋求普遍性規(guī)律，反而能更快地解決問題。[6]

數(shù)學(xué)活動(dòng)中，經(jīng)常通過改變或弱化條件、用變量代替常量等來獲得更為一般的結(jié)論。數(shù)學(xué)是追求一般性的科學(xué)，正如法國(guó)數(shù)學(xué)家波萊爾指出的：知道13=1，13+23=9，13+23+33=36，這不是數(shù)學(xué)。你必須知道：13+23+…+n3=（1+2+…+n）2，這才是數(shù)學(xué)[7]。

3.RMI方法

RMI方法，即關(guān)系（relationship）、映射（mapping）、反演（inversion）方法的簡(jiǎn)稱，是由我國(guó)的徐利治教授首先提出的。

RMI方法的基本思想是：為了確定關(guān)系結(jié)構(gòu)S中的某一個(gè)未知性狀的對(duì)象x（稱為目標(biāo)原象），去尋求一個(gè)可逆映射？漬：S→S*，在S*中通過有限多步的數(shù)學(xué)手續(xù)將映象x*=？漬（x）（稱為目標(biāo)映象）唯一地確定下來，然后再通過逆映射？漬-1求得S中的目標(biāo)原象x=？漬-1（x*）（稱為反演）。這個(gè)可逆映射？漬稱為可定映映射;確定目標(biāo)映象x*？漬=？漬（x）稱為定映;將彼此之間具有某種或某些數(shù)學(xué)關(guān)系的數(shù)學(xué)對(duì)象的集合稱為關(guān)系結(jié)構(gòu)（如圖2所示）。

其過程可以概括為以下四個(gè)步驟：關(guān)系——映射——定影——反演（得解）

這種可逆映射具有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，能夠確保由此所獲得的結(jié)論的準(zhǔn)確性和可靠性。RMI方法是在現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中實(shí)現(xiàn)化歸的一種重要方法，與一般的化歸方法相比達(dá)到了更高的抽象程度[4]，是一種高層次的數(shù)學(xué)思想方法。能否巧妙地引進(jìn)恰當(dāng)?shù)挠成洌沁\(yùn)用RMI方法解決問題的關(guān)鍵所在。

（1）數(shù)學(xué)中常用的換元法、解析法、初等變換法、三角法、復(fù)數(shù)法、圖解法、構(gòu)造法、母函數(shù)法等具體方法，本質(zhì)上都是RMI方法在不同層次上的應(yīng)用[8]。

（2）RMI方法是集合論的一個(gè)基本方法，而集合論的基本概念成為全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

（3）“數(shù)學(xué)模型”方法是RMI方法的具體應(yīng)用。經(jīng)抽象化、數(shù)學(xué)化得到數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)抽象便可以理解為一種映射，把數(shù)學(xué)模型的有關(guān)結(jié)論回歸現(xiàn)實(shí)，給出實(shí)際問題的解答，可以理解為一個(gè)反演。

（4）RMI方法不僅可以得出問題肯定性解答，而且還可以得出問題否定性解答。例如，歷史上幾何三大難題（圓化方問題、倍立方問題、三等分任意角問題）不可解性的證明可以看成應(yīng)用RMI方法得出問題否定性解答的實(shí)例[5]。

（5）中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的RMI化歸方法有以下三種。

第一，對(duì)數(shù)計(jì)算方法。通過對(duì)數(shù)映射在正實(shí)數(shù)集R+與實(shí)數(shù)R這兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)之間建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)數(shù)運(yùn)算是一種降級(jí)運(yùn)算，這樣通過對(duì)數(shù)映射實(shí)現(xiàn)由復(fù)雜運(yùn)算向簡(jiǎn)單運(yùn)算的化歸。

第二，解析幾何方法。解析幾何的創(chuàng)立是RMI方法的一次成功應(yīng)用。通過引進(jìn)適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，在曲線與方程之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系。先把幾何問題映射成代數(shù)問題，用代數(shù)方法處理;再把所得的代數(shù)結(jié)果翻譯回去，變成幾何問題所需的答案。建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系就是選擇一種映射，去實(shí)現(xiàn)平面幾何向代數(shù)的化歸。

第三，直角坐標(biāo)平面到復(fù)數(shù)集上的映射。映射？漬：（a，b）？葑a+bi，將直角坐標(biāo)平面變成復(fù)平面。實(shí)現(xiàn)幾何問題與復(fù)數(shù)問題的互化。

4.分割法

分割法就是把一個(gè)問題分割成幾個(gè)簡(jiǎn)單的問題加以考慮，這樣便于深入內(nèi)部，弄清本質(zhì)。當(dāng)然，分割與組合總是相輔相成的。對(duì)問題分割求解時(shí)，要注意分割的幾個(gè)問題必須滿足互斥、不遺漏。分割法在數(shù)學(xué)活動(dòng)中大量存在。例如，用待定系數(shù)法把有理函數(shù)分成部分分式之和就是分割法的一個(gè)具體應(yīng)用。

5.反證法

反證法的邏輯原理是：A→B？圳A∧B→P∧P’，這里P’與P是兩個(gè)矛盾或?qū)α⒚}。即要證明命題A→B，只須從否定該命題的結(jié)論A∧B出發(fā)，去實(shí)現(xiàn)命題A→B到命題A∧B→P∧P’的轉(zhuǎn)化，推出一個(gè)邏輯矛盾（另一個(gè)已知真命題、或A的矛盾、或自相矛盾）結(jié)論，從而確立A→B的正確性。

可以看出，反證法實(shí)現(xiàn)問題解決的手段是否定原命題的結(jié)論，將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)新命題。這樣，往往可以改變研究問題的視角，不僅能使論證目標(biāo)更為簡(jiǎn)單明確。另外，由于否定結(jié)論將其轉(zhuǎn)化為推理前提，實(shí)現(xiàn)結(jié)論向條件的轉(zhuǎn)化，更加拓展了論證思路。因此，反證法顯然隸屬于化歸法的范疇[9]。其結(jié)構(gòu)如圖3所示。

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂與精髓，但又是隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的內(nèi)隱性知識(shí)，它是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中最富創(chuàng)造力、最為生動(dòng)的元素。教學(xué)中，作為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)思想方法，需要教師對(duì)附著在教學(xué)材料深處的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行充分的挖掘、提煉、概括，并將其滲透在教學(xué)過程中，作有意識(shí)、有計(jì)劃的揭示。

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參考文獻(xiàn)

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[9] 李玉琪.反證法的邏輯原理與思想方法[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1989（10）.

[作者：胡先富（1964-），男，重慶人，重慶城市管理職業(yè)學(xué)院電子工程學(xué)院教授，碩士。]

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