如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)空間解析幾何的興趣

侯健　苑飛

【摘要】空間解析幾何是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)三大基礎(chǔ)課之一，在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著重要的作用。為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，本文從講好緒論課，將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化知識(shí)貫穿于幾何教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生多角度思考，以及有效運(yùn)用幾何畫(huà)板輔助教學(xué)等四個(gè)方面，舉例說(shuō)明了筆者在教學(xué)中的嘗試。

【關(guān)鍵詞】興趣 空間解析幾何 教學(xué)實(shí)踐

【Abstract】For mathematics major students， space analytic geometry plays an important role. In order to improve students interest in learning， we illustrate the practice in teaching from four aspects，such as，by interesting introduction， the mathematical history and culture knowledge throughout the geometry teaching， inspire students thinking， and effectively using the Geometers Sketchpad assisted teaching.

【Key words】interest； space analytic geometry； teaching practice

【中圖分類(lèi)號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）10-0157-02

空間解析幾何是國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)三大基礎(chǔ)課之一，它既是中學(xué)數(shù)學(xué)相應(yīng)課程的推廣和延伸；又是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)后續(xù)課程的必要基礎(chǔ)；同時(shí)也是其它自然科學(xué)、工程技術(shù)等所需的重要數(shù)學(xué)工具之一。同時(shí)，這門(mén)課程對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，空間想象能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著重要作用。因此它在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有極為重要的地位。筆者在空間解析幾何課程的教學(xué)過(guò)程中，感到學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)這門(mén)課程的重視不夠、學(xué)習(xí)興趣不高。為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)空間解析幾何的興趣，筆者在多年的教學(xué)過(guò)程中，以[1]為教材，在有關(guān)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化知識(shí)方面查閱文獻(xiàn)[2，3]，做了如下一些嘗試。

一、講好緒論課，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

1.介紹解析幾何的形成與發(fā)展的歷史淵源。

解析幾何產(chǎn)生的外部條件是社會(huì)生產(chǎn)發(fā)展和科技進(jìn)步的客觀(guān)要求。比如，隨著機(jī)械的廣泛應(yīng)用，建筑的興盛，航海事業(yè)的發(fā)展，火器的發(fā)展和使用，以及天文學(xué)發(fā)展，運(yùn)動(dòng)和變化的研究問(wèn)題促使解析幾何的產(chǎn)生。數(shù)學(xué)自身的發(fā)展所具備的條件是解析幾何產(chǎn)生的內(nèi)在條件，包括初等數(shù)學(xué)的日臻成熟和當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)觀(guān)和數(shù)學(xué)方法論的重大變化。

2.解析幾何大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用。

一方面，空間解析幾何是平面解析幾何的深入和發(fā)展。空間解析幾何不是高中教材的重復(fù)。在內(nèi)容上，它研究空間的幾何對(duì)象，即空間中的曲線(xiàn)和曲面的定義、性質(zhì)和應(yīng)用。在思想方法上，它用近代數(shù)學(xué)的思想方法——向量法、參數(shù)思想、變換思想、不變量思想等等。通過(guò)這門(mén)課程的學(xué)習(xí)，將開(kāi)始接受近代數(shù)學(xué)的理論、方法和思想，能逐步地站在較高的水平上，居高臨下地重新看待過(guò)去所學(xué)過(guò)的中學(xué)數(shù)學(xué)。另一方面，空間解析幾何是學(xué)習(xí)后續(xù)課程高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)。讓學(xué)生明白這門(mén)課程在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著承上啟下的作用，進(jìn)而提高他們的學(xué)習(xí)興趣。

3.解析幾何有著廣泛的應(yīng)用，而且是一門(mén)美學(xué)。

用巴塞羅那圣家族大教堂、鳥(niǎo)巢、悉尼歌劇院、廣州塔等建筑展示幾何元素的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱(chēng)美、和諧美、奇異美。

二、貫穿數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化知識(shí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

法國(guó)著名數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊曾說(shuō)：“如果我們想要預(yù)知數(shù)學(xué)的未來(lái)，最適合的途徑是研究這門(mén)科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀”。注重在教學(xué)過(guò)程貫穿數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化知識(shí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。更重要的是通過(guò)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化知識(shí)介紹，闡明數(shù)學(xué)思想、方法的形成。下面用兩個(gè)例子說(shuō)明在教學(xué)過(guò)程中的嘗試。

在緒論課后，啟發(fā)學(xué)生通過(guò)查閱資料，闡述笛卡爾和費(fèi)馬的解析幾何思想有何異同。通過(guò)學(xué)生自己的探索，一方面讓學(xué)生了解兩位數(shù)學(xué)家的生平。另一方面是讓學(xué)生了解兩位數(shù)學(xué)家的工作，費(fèi)馬繼承了希臘人的思想，并沿用了韋達(dá)以字母代表數(shù)類(lèi)的思想。笛卡兒則從改革希臘傳統(tǒng)出發(fā)，發(fā)展了更一般方法，使之適應(yīng)于更廣泛的曲線(xiàn)。費(fèi)馬從方程出發(fā)研究其軌跡，笛卡爾從軌跡出發(fā)建立其方程。前者從代數(shù)到幾何，后者從幾何到代數(shù)。更重要的是通過(guò)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生逐步建立起解析幾何就是用代數(shù)的方法去解決幾何問(wèn)題，同時(shí)又為代數(shù)提供幾何背景的思想。

在建立空間直線(xiàn)的點(diǎn)向式方程時(shí)，教材中承認(rèn)了幾何事實(shí)，過(guò)一點(diǎn)與非零向量平行的直線(xiàn)有且僅有一條。為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，給學(xué)生穿插了講述了歐氏幾何的平行公設(shè)，由平行公設(shè)演變發(fā)展導(dǎo)致了非歐幾何的誕生，以及幾何學(xué)得到了空前的發(fā)展，進(jìn)而推動(dòng)了科學(xué)的巨大發(fā)展。在傳授知識(shí)的過(guò)程，讓學(xué)生積極思考數(shù)學(xué)的本原性問(wèn)題，認(rèn)識(shí)到自然界的奧妙是不可窮盡的，人的認(rèn)識(shí)也應(yīng)該無(wú)止境的發(fā)展。逐步培養(yǎng)學(xué)生探索未知世界的好奇心，追求真理的耐心，嚴(yán)密的邏輯思維能力，洞察事物本質(zhì)的能力。

三、啟發(fā)學(xué)生多角度思考，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

在教學(xué)過(guò)程中設(shè)計(jì)一些一題多解的探究題目，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如 “證明三角形三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)”這個(gè)題目，學(xué)生通過(guò)積極思考以及查閱文獻(xiàn)資料，給出了十余種證明方法，不僅有常用的面積法、向量法、坐標(biāo)法，向量的線(xiàn)性表示法，也有在高等幾何課程中才要講授的方法，如用德薩格逆定理、對(duì)偶原理，建立射影坐標(biāo)系等方法去證明。通過(guò)一題多解，不僅提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性有著重要的作用。

四、有效運(yùn)用幾何畫(huà)板輔助教學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

在空間解析幾何的教學(xué)中，涉及到大量的圖形，如空間曲線(xiàn)、二次曲面，以及二次曲面與平面的交線(xiàn)等?？臻g圖形既難畫(huà)又費(fèi)時(shí)，僅利用板書(shū)準(zhǔn)確性比較差，學(xué)生看起來(lái)不夠清晰。針對(duì)這部分內(nèi)容，筆者在多年的教學(xué)中積極探討如何將兩者有機(jī)結(jié)合，有效運(yùn)用幾何畫(huà)板輔助教學(xué)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。對(duì)提高教學(xué)效率和培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力可起到事半功倍的效果。

1. 利用幾何畫(huà)板展示不動(dòng)點(diǎn)軌跡

通過(guò)學(xué)習(xí)[4]，自制了旋輪線(xiàn)、四點(diǎn)星形線(xiàn)、箕舌線(xiàn)、心臟線(xiàn)等軌跡。

2. 利用幾何畫(huà)板展示二次柱面與旋轉(zhuǎn)曲面形成過(guò)程

利用幾何畫(huà)板展示二次柱面與旋轉(zhuǎn)曲面，其實(shí)是一個(gè)以線(xiàn)運(yùn)動(dòng)成生面的過(guò)程。動(dòng)畫(huà)效果如下圖。

五、結(jié)語(yǔ)

空間解析幾何是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)三大基礎(chǔ)課之一，在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著重要的作用。為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，筆者從講好緒論課，將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化知識(shí)貫穿幾何教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生多角度思考，以及有效運(yùn)用幾何畫(huà)板輔助教學(xué)等四個(gè)方面，舉例說(shuō)明了筆者的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。這些實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)對(duì)于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣起到了一定的效果。但由于數(shù)學(xué)學(xué)科本身的特點(diǎn)，教師的教學(xué)能力，學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)等影響，這將是一個(gè)值得長(zhǎng)期關(guān)注的問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]呂林根，許子道. 解析幾何（ 第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]李文林. 數(shù)學(xué)史概論[M]. 北京： 高等教育出版社， 2002.

[3]梁宗臣， 王青建， 孫宏安. 世界數(shù)學(xué)通史[M] . 遼寧教育出版社，2000.

[4]劉勝利.幾何畫(huà)板課件制作教程（第二版）[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

作者簡(jiǎn)介：

侯?。?971.12-），教授，課程教學(xué)（數(shù)學(xué)），北京師范大學(xué)珠海分校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院。