兩類量子力學(xué)壓縮相干態(tài)密度算符的討論

王震等

【摘要】鑒于量子力學(xué)教科書和相關(guān)文獻(xiàn)對兩類壓縮相干態(tài)的論述比較模糊，本文利用外爾編序下相似變換不變性以及外爾——魏格納量子化方案，推導(dǎo)出了第一類壓縮相干態(tài)正規(guī)乘積形式的密度算符的解析表達(dá)式 。同時(shí)，利用壓縮算符的正規(guī)乘積形式，推導(dǎo)出了第二類壓縮相干態(tài)密度算符的解析表達(dá)式。通過對比第一類和第二類密度算符，發(fā)現(xiàn)兩類壓縮相干態(tài)密度算符形式上很相似，但是存在一定的差異，并不是一般的教材和文獻(xiàn)里論述的二者是完全等同的。

【關(guān)鍵詞】密度算符 壓縮相干態(tài) 正規(guī)乘積

【中圖分類號】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）10-0161-02

一、引言

量子力學(xué)是在19世紀(jì)末20世紀(jì)初建立和發(fā)展起來的一門科學(xué)，它的建立是20世紀(jì)劃時(shí)代的成就之一。量子力學(xué)與我們的生活密切相關(guān)，可以毫不夸張的說，沒有量子力學(xué)，就沒有人類的現(xiàn)代物質(zhì)文明。量子力學(xué)規(guī)律已成功地運(yùn)用于包括材料、化學(xué)、生命、信息和制藥等領(lǐng)域，對于物理專業(yè)的本科生來說，量子力學(xué)是物理學(xué)專業(yè)最重要的基礎(chǔ)課程之一，它是學(xué)習(xí)固體物理、材料科學(xué)、材料物理與化學(xué)、激光原理、激光物理與技術(shù)等專業(yè)課程的重要基礎(chǔ)[1，2]。通過量子力學(xué)的學(xué)習(xí)，使得學(xué)生能夠熟練地掌握量子力學(xué)的基本理論，具備利用量子力學(xué)基本理論分析和解決問題的能力。在物理學(xué)課程當(dāng)中，量子力學(xué)的教學(xué)既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)。

相干態(tài)[3，4]作為量子力學(xué)中的一個(gè)核心概念，不僅是量子物理學(xué)中的一個(gè)有效方法，而且是激光理論的重要支柱，對了解量子力學(xué)理論具有重要的意義，在教學(xué)和科研中都具有基礎(chǔ)性的作用。相干態(tài)的概念最初是薛定諤在1926年提出的[3]，對于諧振子位勢，他找到了這樣的態(tài)。直到1963年格勞伯等人系統(tǒng)地建立起光子相干態(tài)，并研究它的相干性與非經(jīng)典性，同時(shí)又證明相干態(tài)是諧振子湮滅算符的本征態(tài)[4]?，F(xiàn)在相干態(tài)已被廣泛地應(yīng)用于物理學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。實(shí)際上，相干態(tài)是最小測不準(zhǔn)態(tài)，而且兩個(gè)正交位相振幅算符有著相同的起伏，在相空間中，相干態(tài)的起伏呈圓形，相干態(tài)在相空間平移或者轉(zhuǎn)動時(shí)此圓保持不變。對于壓縮態(tài)而言，它是泛指一個(gè)正交相位振幅算符的起伏比相干態(tài)相應(yīng)分量的起伏小的量子態(tài)，其代價(jià)是另一個(gè)正交相位振幅算符的起伏增大，但兩者的乘積等同于相干態(tài)的相應(yīng)量。壓縮態(tài)是一類非經(jīng)典光場，呈現(xiàn)出非經(jīng)典性質(zhì)，例如反聚束效應(yīng)、亞泊松分布等. 壓縮態(tài)由于其在光通訊、高精度干涉測量以及微弱信號檢測方面具有廣泛的應(yīng)用前景使得對它的研究成為量子力學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

理論上，產(chǎn)生壓縮相干態(tài)的方式主要有對真空態(tài)先平移后壓縮（第一類壓縮相干態(tài)）和先壓縮后平移（第二類壓縮相干態(tài)）兩種方式，鑒于很多教材上認(rèn)為這兩種方式產(chǎn)生的壓縮相干態(tài)完全等同，考慮到壓縮算符與平移算符的不對易，而且各量子力學(xué)教科書上每提及這兩種壓縮態(tài)的區(qū)別時(shí)闡述都比較模糊，不能向廣大讀者提供一個(gè)清晰的結(jié)論，又考慮到密度算符包含了某一個(gè)量子態(tài)的全部信息，所以有必要推導(dǎo)出這兩種壓縮相干態(tài)的密度算符并做分析比較，以闡明二者的異同。

二、第一類壓縮相干態(tài)

對比式（10）和（14）可知，由于產(chǎn)生壓縮相干態(tài)的方式不同，壓縮算符和平移算符之間不對易，得出的兩類壓縮相干態(tài)密度算符也有差異，并不是之前一些教科書里闡述的二者是完全等同的。

四、結(jié)論

本文利用外爾編序下相似變換不變性、外爾-魏格納量子化方案以及正規(guī)乘積形式的壓縮算符，推導(dǎo)出了第一類和第二類壓縮相干態(tài)密度算符的正規(guī)乘積形式解析式。通過對比二者密度算符可以發(fā)現(xiàn)，第一類壓縮相干態(tài)和第二類壓縮相干態(tài)密度算符形式上很相似，但是存在一定的差異，并不是一般的教材和文獻(xiàn)里論述的二者完全等同。所以在量子力學(xué)教學(xué)過程中有必要澄清這一既定的事實(shí)，不能似是而非，模棱兩可。