周期函數(shù)和、差、積、商函數(shù)的最小正周期的計(jì)算方法

曾鳳 劉其

摘要：通過(guò)研究了若干個(gè)具有最小正周期的周期函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算后得到的周期函數(shù)的一個(gè)正周期的計(jì)算方法，但并沒(méi)有給出它們的最小正周期的計(jì)算方法，該文分別定義及基本原理、周期函數(shù)的四則運(yùn)算這幾個(gè)方面，從給出了如何求若干個(gè)具有最小正周期的周期函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算后得到的周期函數(shù)的最小正周期的一種計(jì)算方法，并給出了幾個(gè)實(shí)例。

關(guān)鍵詞：周期函數(shù) 四則運(yùn)算 最小正周期 計(jì)算方法

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）05（b）-0246-02

文獻(xiàn)[1]～[6]研究了若干個(gè)具有最小正周期的周期函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算后得到的周期函數(shù)的一個(gè)正周期的計(jì)算方法，但并沒(méi)有給出它們的最小正周期的計(jì)算方法，該文給出了如何求若干個(gè)具有最小正周期的周期函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算后得到的周期函數(shù)的最小正周期的一種計(jì)算方法，并給出了幾個(gè)實(shí)例。

1 定義及基本原理

定義1[1]：設(shè)是定義在數(shù)集上的函數(shù)，如果存在常數(shù)，對(duì)都有，且成立，則稱為周期函數(shù)，常數(shù)叫做的一個(gè)周期。

定義2[1]：周期函數(shù)的正周期中最小的一個(gè)，叫做函數(shù)的最小正周期。

周期函數(shù)不一定有最小正周期，如常函數(shù)，狄利克雷函數(shù)都是周期函數(shù)但沒(méi)有最小正周期，當(dāng)一個(gè)函數(shù)具有最小正周期時(shí)，研究它的性質(zhì)就可局限在最小正周期內(nèi)進(jìn)行討論。

下面給出兩個(gè)正實(shí)數(shù)的最小公倍數(shù)的定義。

定義3：設(shè)有正實(shí)數(shù)，及，若滿足，，，且，則稱為，的最小公倍數(shù)，記為.

注：1°。

定理1：正實(shí)數(shù)，有最小公倍數(shù)的充要條件是為有理數(shù)。

證充分性：因?yàn)闉橛欣頂?shù)，那么就存在，，使，即，現(xiàn)令，顯然有，，由定義3可知，為，的最小公倍數(shù)。

必要性：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，有最小公倍數(shù)，不妨設(shè)為，由定義3，存在，，使，，即，證得為有理數(shù)。

定理2[2]：設(shè)函數(shù)是不為常數(shù)的連續(xù)周期函數(shù)，則必有最小正周期。

定理3：如果函數(shù)具有最小正周期，則的任一正周期一定是的正整數(shù)倍，即存在一個(gè)正整數(shù)，使.

由定理3不難得到下列推論。

推論1：已知是的周期，若存在最小正周期（設(shè)為），那么，一定存在，使。

2 周期函數(shù)的四則運(yùn)算

兩個(gè)周期函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)未必是周期函數(shù)，如，那么哪種情況下才能使兩個(gè)周期函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)仍然是周期函數(shù)呢？

定理4[1]：設(shè)，分別是集合上以和為最小正周期的周期函數(shù)，那么，，，（）為周期函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)為有理數(shù)，若它們?yōu)橹芷诤瘮?shù)，則必為它們的一個(gè)周期。

注：2°兩個(gè)具有最小正周期的周期函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)既使是周期函數(shù)，也未必有最小正周期，如為常值函數(shù)，沒(méi)有最小正周期.

3 實(shí)例

例1：設(shè)函數(shù)，，為非零整數(shù)，那么，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)的最小正周期為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，其最小正周期為。

證：因?yàn)槭且詾樽钚≌芷诘闹芷诤瘮?shù)，由定理4可知，也是以為周期的周期函數(shù)，再由推論1可知，的最小正周期為（），m故對(duì)，有：

（1）

在（1）式中，取代入，得：

（2）

考慮②式，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，兩邊開(kāi)次方，得，只能，對(duì)應(yīng)的最小正周期就是。

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，兩邊開(kāi)次方，得，，當(dāng)時(shí)，，所以，是（為偶數(shù)）的一個(gè)周期，故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的最小正周期為。

例2求的最小正周期。

解：易知的最小正周期為，的最小正周期為，的最小正周期為，由定理4可知，為的一個(gè)周期，故由推論1可設(shè)的最小正周期為（），即，有

（3）

在（3）式中，取代入，得

（4）

當(dāng)≥6時(shí)，，不滿足（4）式.

容易檢驗(yàn)都不滿足（4）式；時(shí)，（4）式成立。

再取代入（3）式，得：

（5）

當(dāng)時(shí)，（5）式成立；當(dāng)時(shí)，容易檢驗(yàn)（5）式不成立.

綜上可知，，故的最小正周期為。

例3：求的最小正周期。

解：易知的最小正周期為，的最小正周期為，由定理4可知，為的一個(gè)周期.故由推論1可設(shè)的最小正周期為（）.下面我們來(lái)求。

因?yàn)闉榈闹芷?，那么，?duì)，有

即

（6）

取代入（6）式，得

（7）

時(shí)上式成立，當(dāng)時(shí)，對(duì)（6）式，有

上式顯然不是對(duì)任意的都是成立的，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，上式左邊趨近于，而右邊趨近于0.對(duì)，同理可知（6）（式不成立。

將代入（7）式，明顯不成立。

對(duì)于（7）式，現(xiàn)在我們來(lái)考慮≥7的情形。

不妨令 （8）

所以，（8）式對(duì)于當(dāng)≥7來(lái)說(shuō)是嚴(yán)格單調(diào)減少的，而，當(dāng)時(shí)，，所以，對(duì)任意的≥7來(lái)說(shuō)，。

綜上可知，只有當(dāng)時(shí)（6）式成立，故函數(shù)的最小正周期為。

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