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    小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想及培養(yǎng)策略

    2016-05-28 21:03:06韓焱龍
    廣西教育·A版 2016年1期
    關(guān)鍵詞:四則運(yùn)算模型思想教學(xué)策略

    韓焱龍

    【關(guān)鍵詞】模型思想 《四則運(yùn)算》教學(xué)策略

    【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

    【文章編號(hào)】0450-9889(2016)01A-0021-02

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》提出了十個(gè)核心概念,“模型思想”是新增的核心概念之一,并且是唯一以“思想”指稱的概念。模型思想的基本內(nèi)涵是什么?數(shù)學(xué)建?;顒?dòng)有哪幾個(gè)基本環(huán)節(jié)?其教育價(jià)值體現(xiàn)在哪些方面?怎樣培養(yǎng)學(xué)生的模型思想?本文試圖結(jié)合《四則運(yùn)算》這一單元的教學(xué)實(shí)例談一些認(rèn)識(shí)。

    一、模型思想的基本內(nèi)涵

    人民教育出版社課程教材研究所王永春老師在《小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理(三)》一文中這樣闡述:“數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義角度講,數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系等都是數(shù)學(xué)模型。”

    學(xué)生通過抽象,在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則,通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展,然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。在義務(wù)教育階段,模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界的基本途徑。也就是說,我們應(yīng)建立這樣的認(rèn)識(shí):數(shù)學(xué)與外部世界是緊密聯(lián)系的,連接它們之間的“橋梁”是數(shù)學(xué)模型。

    二、數(shù)學(xué)建模過程的三個(gè)主要環(huán)節(jié)

    王永春老師認(rèn)為,建立和求解模型的活動(dòng)應(yīng)體現(xiàn)“問題情境→建立模型→求解驗(yàn)證”的過程。模型思想的建立首先要“從現(xiàn)實(shí)生活或具體的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題”,這表明現(xiàn)實(shí)的生活原型或情境是建模的源點(diǎn),從中抽象出數(shù)學(xué)問題是建模的起點(diǎn),此“從情境到問題”的環(huán)節(jié)可稱為“建模準(zhǔn)備”。然后“用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”,學(xué)生要通過觀察、分析、抽象、判斷、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)完成模式抽象,得到模型,這是建模的關(guān)鍵環(huán)節(jié),可稱為“構(gòu)建模型”。最后是“求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義”,要對(duì)模型進(jìn)行分析、檢驗(yàn),看模型在別的同類問題中是否合理可用,如不合理,就要再次假設(shè)、修改、完善,這是模型檢驗(yàn)、應(yīng)用和拓展的過程,此“求解驗(yàn)證”的過程可稱為“求解模型”。

    三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想的價(jià)值取向

    在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想的價(jià)值取向可歸咎為三個(gè)層面?;A(chǔ)層面是有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì),通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,能使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與外部世界是緊密聯(lián)系的,建模的過程是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界“數(shù)學(xué)化”的過程。核心層面是有利于學(xué)生解決問題和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升,數(shù)學(xué)建模是一種縝密的推理活動(dòng),感悟模型思想的過程是一種思維不斷演進(jìn)與發(fā)展的過程,能更好地落實(shí)數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、幾何直觀、推理能力、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等課程目標(biāo),增強(qiáng)其數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。發(fā)展層面是有利于學(xué)生的后續(xù)發(fā)展,建模是初中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容,在小學(xué)階段滲透模型思想能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí),同時(shí)能更好地與初中課程銜接,有利于學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)。

    四、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)模型思想的策略

    (一)從生活問題到數(shù)學(xué)問題

    數(shù)學(xué)源于生活,又用于生活,數(shù)學(xué)教學(xué)要從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的認(rèn)識(shí)水平出發(fā),聯(lián)系生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。

    【案例1】《加、減法的意義和各部分間的關(guān)系:逆推》教學(xué)片段

    教師提供一個(gè)現(xiàn)實(shí)的生活情境引入新課,提問:(1)早上上學(xué)怎么走?(2)放學(xué)回家怎么走?(3)上學(xué)和放學(xué)所走的路線有什么關(guān)系?(4)怎樣才能原路返回?

    上述教學(xué)片段,教師從一個(gè)現(xiàn)實(shí)的生活情境引入,讓學(xué)生調(diào)用已有的舊知識(shí)(方向和路程)和生活經(jīng)驗(yàn),在思考解決“怎樣原路返回”這一問題的過程中感悟到“要回去就得逆向走”,初步感知互逆關(guān)系和逆推策略。這樣引入新課,充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn),并有效遷移,有利于學(xué)生領(lǐng)悟加減法和乘除法的互逆關(guān)系,為今后繼續(xù)探索逆推策略作好心理準(zhǔn)備。

    (二)從數(shù)學(xué)問題到數(shù)學(xué)模型

    數(shù)學(xué)模型是溝通數(shù)學(xué)與外部世界之間的橋梁。數(shù)學(xué)模型來自于現(xiàn)實(shí)世界,從現(xiàn)實(shí)抽象出數(shù)學(xué)問題,從數(shù)學(xué)問題出發(fā)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,數(shù)學(xué)模型又用于解決類似的問題。如何幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型?這就需要教師指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)和思想方法一步一步建立數(shù)學(xué)模型。

    【案例2】《租船問題:優(yōu)化思想與有序思考》教學(xué)片段

    怎樣租船最省錢?

    師:要最省錢,應(yīng)該選擇租什么船?怎么租?

    生1:租小船,因?yàn)?2÷4=8(條)。剛好,不浪費(fèi)座位。

    生2:租大船,因?yàn)榇蟠咳烁?元,小船每人要付6元,所以要租6條大船。

    生3:租6條大船,浪費(fèi)4個(gè)座位,所以要盡量多租大船,再租小船,并且要盡量沒有空位。

    師:這3種方案都各有理由,究竟哪種最省錢,需要通過計(jì)算來比較。

    學(xué)生通過一系列計(jì)算、比較得出方案三最省錢后,教師讓學(xué)生討論如何快速有序找出最佳方案并計(jì)算費(fèi)用:32=6×5+2,32=6×4+4×2,30×4+24×2=168(元),再引導(dǎo)學(xué)生建立初步的數(shù)學(xué)模型:總?cè)藬?shù)=大船限乘人數(shù)×大船數(shù)量+小船限乘人數(shù)×小船數(shù)量,租大船是最佳選擇,應(yīng)該優(yōu)先考慮,且要省錢就不能有空位。

    上述案例,教師從租船這一生活情境引入,讓學(xué)生聯(lián)系已經(jīng)學(xué)習(xí)過的“有序思考”或“逆推策略”尋找問題中隱含的二元一次方程4x+2y=32的解,在思考和解決“怎樣租船最省錢”這一問題的過程中初步感知優(yōu)化策略與有序思考。“有序思考”還要“有序表達(dá)”,學(xué)生在教師的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)“有序表達(dá)”,在運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和符號(hào)分析問題的同時(shí)理解模型結(jié)構(gòu)化。

    (三)從數(shù)學(xué)模型到數(shù)學(xué)問題

    學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型大致有兩種途徑:一是基本模型的學(xué)習(xí),即學(xué)習(xí)教材中以例題為代表的新知識(shí),這是一個(gè)探索的過程;二是利用基本模型去解決各種問題,這是一個(gè)應(yīng)用、拓展的過程。

    【案例3】《解決問題的策略:逆推》教學(xué)片段

    學(xué)生獨(dú)立解答后交流自己的思考過程,教師即時(shí)板書,使學(xué)生明確自己使用的是逆推策略:從右往左逆推時(shí),加法要變減法,乘法要變除法,逆推策略可以幫助我們解決一些數(shù)學(xué)問題。

    學(xué)生在初步建立逆推模型(已知現(xiàn)在求原來的基本策略是要‘回去就得‘倒著走)后,就可以應(yīng)用、拓展到習(xí)題中,幫助學(xué)生初步形成模型思想,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和應(yīng)用意識(shí)。上述案例中,教師沒有直接提出讓學(xué)生應(yīng)用逆推策略進(jìn)行推算,而是結(jié)合學(xué)生的交流思考過程演變成一個(gè)顯性的逆推題圖,使學(xué)生獲得更為深刻的感性認(rèn)識(shí):逆推策略和“回家的路”很相似,已知現(xiàn)在求原來,可以“倒著算”。

    (四)從數(shù)學(xué)問題到生活問題

    數(shù)學(xué)家華羅庚說過:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之變,生物之謎,日用之繁,無處不用數(shù)學(xué)。”這段話闡述了這樣一個(gè)觀點(diǎn):現(xiàn)實(shí)世界中的“故事”可以用數(shù)學(xué)來闡述,數(shù)學(xué)可以幫助我們解決生活問題。

    【案例4】《解決問題的策略:逆推和有序思考》在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用

    1.基本應(yīng)用。

    師:剛才我們以租船為例,學(xué)習(xí)了用優(yōu)化、有序思考和逆推的方法解決問題,你能用這種方法快速計(jì)算出練習(xí)三中的第4題嗎?

    春游:我校共有老師14人,學(xué)生326人。大車可坐40人,租金900元;小車可坐20人,租金500元。怎樣租車最省錢?

    解答:14+326=340人,340=40×8+20,900×4+500=4100(元)。

    2.拓展應(yīng)用。

    ①王叔叔要購買220千克大米,怎樣買合算?一共要多少元?(注:20千克,96元/袋;30千克,135元/袋。)解答:220=30×7+10,220=30×6+20×2,135×6+96×2=1002(元)。

    ②現(xiàn)在有一批貨物,重50噸,準(zhǔn)備用大貨車和小貨車運(yùn)輸。怎樣安排最省錢?(注:小貨車載重量5噸,運(yùn)輸費(fèi)80元/次;大貨車載重量8噸,運(yùn)輸費(fèi)110元/次。)解答:50=8×6+2,50=8×5+5×2,110×5+80×2=710(元)。

    上述案例,讓學(xué)生對(duì)基本模型(總?cè)藬?shù)=大船限乘人數(shù)×大船數(shù)量+小船限乘人數(shù)×小船數(shù)量)分層次地進(jìn)行檢驗(yàn)、拓展。以購物、載貨等現(xiàn)實(shí)原型為背景,對(duì)模型進(jìn)行逐步完善,抽象出二次模型:總數(shù)=最佳選擇×數(shù)量+次佳選擇×數(shù)量。這些習(xí)題,加深了學(xué)生對(duì)有序思考和逆推策略的認(rèn)識(shí),也使學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)和生活的密切聯(lián)系,有助于學(xué)生初步形成模型思想,提高學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用意識(shí)。

    特級(jí)教師徐斌老師在《為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)》講座中指出:數(shù)學(xué)要從生活出發(fā)培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí),數(shù)學(xué)與生活緊密關(guān)聯(lián),它們之間的關(guān)系可以理解為:

    顯然,本文所敘策略正是對(duì)徐老師所揭示的生活與數(shù)學(xué)的關(guān)系的理解和具體運(yùn)用。

    一個(gè)單元必定有幾個(gè)串聯(lián)的主要知識(shí)節(jié)點(diǎn),“四則運(yùn)算”的節(jié)點(diǎn)是從生活問題入手揭示四則運(yùn)算各部分間的關(guān)系,再運(yùn)用這種關(guān)系和順向、逆向的計(jì)算方法有效解決問題。當(dāng)然,從“四則運(yùn)算”這一單元中的計(jì)算和問題解決兩個(gè)方面來探索模型思想的培養(yǎng)策略只是一個(gè)小小的視覺。模型思想涵蓋于各數(shù)學(xué)領(lǐng)域,在教學(xué)中,需要教師在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四大領(lǐng)域的教學(xué)中進(jìn)行有機(jī)滲透。讓學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的過程中體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程,這個(gè)過程有助于學(xué)生初步形成模型思想,也有助于教師在現(xiàn)實(shí)中探尋培養(yǎng)策略,從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)模型思想的形成和發(fā)展,最終提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。(責(zé)編 林 劍)

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