基于計(jì)算機(jī)擬合的三棱鏡色散率測(cè)量

李進(jìn)龍，劉衛(wèi)松，劉紅星，田弘長(zhǎng)

（西南交通大學(xué)，四川成都 611756）

基于計(jì)算機(jī)擬合的三棱鏡色散率測(cè)量

李進(jìn)龍，劉衛(wèi)松，劉紅星，田弘長(zhǎng)

（西南交通大學(xué)，四川成都 611756）

利用分光計(jì)對(duì)三棱鏡頂角和汞光燈、鈉光燈的不同波長(zhǎng)光線的最小偏向角進(jìn)行測(cè)量，并且計(jì)算不同波長(zhǎng)光線的折射率，再利用計(jì)算機(jī)編程擬合實(shí)驗(yàn)曲線，得到關(guān)于三棱鏡的色散曲線，最后求導(dǎo)得到色散率函數(shù)。

最小偏向角；折射率；色散率；計(jì)算機(jī)擬合

在大學(xué)基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)中，一般用分光計(jì)來測(cè)量三棱鏡的折射率，幾乎沒有涉及到測(cè)量三棱鏡的色散率［1-3］。通過實(shí)驗(yàn)教學(xué)實(shí)踐，我們提出了用分光計(jì)來觀測(cè)汞光燈、鈉光燈的不同波長(zhǎng)光線的最小偏向角，并計(jì)算其折射率，同時(shí)利用計(jì)算機(jī)編程擬合三棱鏡的色散曲線，從而得到色散率函數(shù)。

1 實(shí)驗(yàn)原理

媒質(zhì)的折射率式中，A、B、C是和光學(xué)材料有關(guān)的常數(shù)，其數(shù)值由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定，其函數(shù)曲線稱為色散曲線。

將（1）式兩邊求導(dǎo)，則可以得到色散率函數(shù)為:

因此，只要在實(shí)驗(yàn)中定出式（1）中的常數(shù)A、B、C，便可由式（2）求出三棱鏡的色散率函數(shù)dn/dλ。

對(duì)于三棱鏡相對(duì)汞光燈、鈉光燈不同波長(zhǎng)入射光的折射率n，可以利用分光計(jì)分別測(cè)量其折射棱角δ min，則折射率n可由下式給出:

將實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的多組數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，將其轉(zhuǎn)化為二元線性回歸問題，利用計(jì)算機(jī)來擬合色散函數(shù)曲線，得到經(jīng)驗(yàn)公式中的系數(shù)，確定三棱鏡的色散率函數(shù)。

2 實(shí)驗(yàn)方法

2.1 用分光束法測(cè)三棱鏡的頂角

平行光管射出的光束照射在三棱鏡的兩個(gè)光學(xué)面上［4］，見圖1。將望遠(yuǎn)鏡轉(zhuǎn)到一側(cè)（如左邊）的反射方向上觀察，把望遠(yuǎn)鏡叉絲對(duì)準(zhǔn)狹縫像，此時(shí)讀出兩個(gè)窗口的方位角讀數(shù)θ1與θ2；再將望遠(yuǎn)鏡轉(zhuǎn)到另一側(cè)，把叉絲對(duì)準(zhǔn)狹縫像后讀出θ1'和θ2'，則三棱鏡的頂角為:

圖1 用平行光法測(cè)三棱鏡頂角

2.2 測(cè)三棱鏡對(duì)汞光燈、鈉光燈管中不同波長(zhǎng)光的最小偏向角δmin并計(jì)算折射率n

如圖2所示，用光源照亮平行光管狹縫，出射平行光由D方向照射到棱鏡AB折射面上，經(jīng)棱鏡二次折射由AC折射面出射，用眼睛觀察，微微轉(zhuǎn)動(dòng)游標(biāo)盤（帶動(dòng)載物平臺(tái)一起轉(zhuǎn)動(dòng)），觀察到出射光。再用望遠(yuǎn)鏡觀察譜線，繼續(xù)緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)游標(biāo)盤，使其向偏向角小的方向移動(dòng)，當(dāng)看到譜線移至某一位置而向反向移動(dòng)，則逆轉(zhuǎn)處即為最小偏向角的位置。用望遠(yuǎn)鏡分劃板豎直線對(duì)準(zhǔn)出射光，記錄兩游標(biāo)所示方位角度數(shù)θ和θ′。移去三棱鏡，將望遠(yuǎn)鏡對(duì)準(zhǔn)平行光管，使望遠(yuǎn)鏡分劃板豎直線與狹縫像重合，記錄兩個(gè)游標(biāo)的示數(shù)θ0和θ′0，則由式:

可計(jì)算出δmin的值。此時(shí)，三棱鏡的折射率可以隨之確定:

圖2 最少偏向角δmin測(cè)量示意圖

2.3 色散曲線的擬合

汞、鈉燈出射光光譜見表1。

表1 汞光燈、鈉光燈管出射光的光譜表

當(dāng)入射光不是單色光時(shí)，雖然入射角對(duì)各種波長(zhǎng)的光都相同，但出射角由于色散現(xiàn)象并不相同，因此利用分光計(jì)在出射端可以觀察到七條譜線，分別測(cè)量并記錄它們的最小偏向角，計(jì)算出折射率，作為擬合曲線的原始數(shù)據(jù)［5-6］。由（1）式可知，此問題為一元高次方程擬合問題。在此令y= n，x1=λ-2，x2=λ-4，則問題可轉(zhuǎn)化為二元線性回歸問題，利用計(jì)算機(jī)編程擬合色散曲線，得到（1）式中的待定系數(shù)，最終確定待測(cè)三棱鏡的色散率。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及數(shù)據(jù)處理

3.1 三棱鏡頂角的測(cè)量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

三棱鏡頂角原數(shù)據(jù)見表2。

表2 三棱鏡頂角原始數(shù)據(jù)

3.2 測(cè)量汞光燈的四條譜線和鈉光燈的最小偏向角和折射率

汞、鈉燈的最小偏向角與折射率見表3。

表3 汞光燈、鈉光燈的最小偏向角和折射率

3.3 編程進(jìn)行擬合，得出色散率函數(shù)如下

n=A+B/λ2+C/λ4

式中:n-折射率，λ為波長(zhǎng)

令y=n，x1=λ-2，x2=λ-4，則問題轉(zhuǎn)化為二元線性回歸問題，利用計(jì)算機(jī)編程擬合色散曲線，得到（1）式中的待定系數(shù)如下:

A=1.7112；B=-0.0248；C=0.0026

最終確定待測(cè)三棱鏡的色散曲線如下:

其中，擬合優(yōu)度R2=0.9552接近于1，擬合效果很好，波長(zhǎng)和折射率的擬合曲線如圖3所示:

圖3 波長(zhǎng)和折射率的擬合曲線

對(duì)兩邊求導(dǎo)數(shù)得色散率函數(shù)如下:

4 結(jié) 論

本文利用大物實(shí)驗(yàn)中心的常用儀器分光計(jì)、汞光燈、鈉光燈、三棱鏡等儀器設(shè)備，提出了一種測(cè)量媒質(zhì)色散率的簡(jiǎn)便的方法，同時(shí)利用計(jì)算機(jī)擬合實(shí)驗(yàn)過程中得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可快速得到該媒質(zhì)關(guān)于色散率的三個(gè)常數(shù)，并且可消除實(shí)驗(yàn)過程中存在的誤差。

致謝：感謝西南交通大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中心姜向東、周勛秀、吳文軍、徐利華等老師提供分光計(jì)、汞光燈、鈉光燈、三棱鏡等實(shí)驗(yàn)儀器，以及在實(shí)驗(yàn)過程中的細(xì)心指導(dǎo)。

［1］ 嚴(yán)達(dá)利，孫佩雄，寇晶.三棱鏡色散曲線擬合的MATLAB_GUI設(shè)計(jì)［J］.實(shí)驗(yàn)室科學(xué).2010（3）: 113-115.

［2］ 胡亞范，朱二礦，陳海良.測(cè)量棱鏡色散規(guī)律的方法改進(jìn)［J］.物理實(shí)驗(yàn).2010，1:28-29.

［3］ 陳憲鋒.三棱鏡折射率的測(cè)定［J］.江蘇石油化工學(xué)院學(xué)報(bào)，2001（1）:62-64.

［4］ 陳琳.三棱鏡色散仿真模型的設(shè)計(jì)［J］.電腦開發(fā)與應(yīng)用.2008，21:7-9.

［5］ 圣宗強(qiáng)，李成龍.反射法和自準(zhǔn)法測(cè)三棱鏡頂角比較［J］.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2014（5）:57-59.

［6］ 陳修芳.基于LSSVM加色散曲線擬合［J］.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2013（5）:101-102.

The Prism Dispersion Rate Measurement Based on the Computer Fitting

LI Jin-long，LIU Wei-song，LIU Hong-xing，TIAN Hong-chang
（Southwest Jiaotong University.Sichuan Chengdu 611756）

Using the spectrometer to measure prism's vertex angle and minimum deviation angle of different wavelength of light from mercury lamp light and natrium lamp light.Calculating the dispersion rate of different wavelength of light.Then using the computer programming to fit the experimental curves，get the prism dispersion curve and finally take a derivative with respect to the prism dispersion curve.

minimum deviation angle；refractive index；dispersion rate；computer programming fitting

O4-39

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2015.01.027

2014-08-03