淺談數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

馮利++++++王建

摘 要：數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識內(nèi)容和規(guī)律本質(zhì)的認(rèn)識，數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要思想方法之一。數(shù)形結(jié)合實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系，是抽象思維和形象思維的完美融合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美、統(tǒng)一美，有利于培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)學(xué)教學(xué)方法

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的數(shù)學(xué)思想有整體思想、特殊與一般思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等。數(shù)與形是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中兩個(gè)重要的內(nèi)容，而兩者又不是孤立存在的，數(shù)形結(jié)合思想就是聯(lián)系它們的重要紐帶。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說過：“數(shù)與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休?！庇纱丝梢?，數(shù)形結(jié)合的思想在初中教學(xué)中的重要性，它也是各市中考試題考查的重要內(nèi)容之一。下面我就數(shù)形結(jié)合思想在初中教學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用做以淺談。

一、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系是最簡單的數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合思想就是把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來去分析問題、解決問題，借助抽象的數(shù)、式關(guān)系反映圖形的準(zhǔn)確性，即以數(shù)輔形；或是借助圖形的形象和直觀的特點(diǎn)來反映抽象的數(shù)量關(guān)系，即以形助數(shù)。數(shù)與形既相互聯(lián)系又相互轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系。在學(xué)習(xí)了無理數(shù)后，初中階段的學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識拓展到了實(shí)數(shù)。生活中，學(xué)生對繩子、刻度尺、溫度計(jì)等已有了形的認(rèn)識，為了幫助學(xué)生對實(shí)數(shù)的正確分類和比較它們的大小，我引入了數(shù)軸。數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的一條直線，而直線可以看作是由無數(shù)個(gè)點(diǎn)排列在一起而構(gòu)成的。這樣把實(shí)數(shù)從小到大排列起來再與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，就建立了數(shù)與形的聯(lián)系，自此數(shù)與形就真的“形數(shù)”不離了。比如，不方便表示的無理數(shù)-也可以在數(shù)軸上找到與它對應(yīng)的點(diǎn)（見圖1），具體做法是：先在數(shù)軸上取OA=3，再過點(diǎn)A作BA⊥OA，垂足為A，截取AB=2，連接OB，根據(jù)勾股定理可得OB=，再以O(shè)為圓心，以O(shè)B長為半徑畫弧交X軸負(fù)半軸于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)表示的就是無理數(shù)-。

圖1

對兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小進(jìn)行比較時(shí)，可以根據(jù)它們的對應(yīng)點(diǎn)在數(shù)軸上所處的位置進(jìn)行判斷，數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大。

“數(shù)”找到了它外在的“形”變得更加形象，而“形”有“數(shù)”附體變得更有內(nèi)涵。學(xué)生初次接觸數(shù)形結(jié)合思想的時(shí)候，教學(xué)中應(yīng)結(jié)合具體的淺顯易懂的例子幫助學(xué)生體會理解，提高他們的形象思維和抽象思維能力。

二、勾股定理及其逆定理是“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化

數(shù)形結(jié)合思想是新課改后提出的重要教學(xué)理念，是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)。教師在教學(xué)中如能熟練地應(yīng)用這種理念進(jìn)行數(shù)和形的轉(zhuǎn)換，就可以順利地實(shí)現(xiàn)高效的數(shù)學(xué)教學(xué)。

在學(xué)習(xí)“勾股定理”一章內(nèi)容時(shí)，很多學(xué)生會被畢達(dá)哥拉斯的故事所吸引。正是因?yàn)楫呥_(dá)哥拉斯到朋友家的一次做客，成就了他對直角三角形三邊之間數(shù)量關(guān)系的重要發(fā)現(xiàn)。這位善于觀察和思考的數(shù)學(xué)家凝視著腳下這些排列規(guī)則而美麗的方形瓷磚，想到了它們和“數(shù)”之間的關(guān)系，他做出了大膽的假設(shè)：任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等于另兩條直角邊的平方和（見圖2）。

圖2

我們可以發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形的三邊之間有一種特殊的關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和。試想，如果當(dāng)初畢達(dá)哥拉斯僅僅停留在欣賞美麗的圖案上而沒有深入思考，那么圖形就不會轉(zhuǎn)化為數(shù)量上的關(guān)系。當(dāng)然這僅僅是一種假設(shè)，勾股定理被很多人稱為幾何學(xué)中的明珠，正因?yàn)橛腥绱说镊攘Γ瑥墓胖两駠@勾股定理證明的人趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家、業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者、普通老百姓、政要權(quán)貴，甚至還有國家總統(tǒng)。

勾股定理的逆定理是在學(xué)生研究了勾股定理的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)的內(nèi)容，它是初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一個(gè)重要定理，是對直角三角形的再認(rèn)識，也是判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形的重要方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。其證明的過程就是通過構(gòu)造一個(gè)三角形并證明與已知直角三角形全等來說明三邊滿足這一數(shù)量關(guān)系的三角形是直角三角形。在其應(yīng)用中也體現(xiàn)了數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，即以數(shù)輔形。例如下面的問題：一個(gè)零件的形狀如圖3所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角，工人師傅量得這個(gè)零件各邊的尺寸如圖所示，這個(gè)零件符合要求嗎？

圖3

因?yàn)?2+42=52，所以△ABD是直角三角形，BD為斜邊，∠A為直角；同理△BDC也是直角三角形，CD為斜邊，∠DBC為直角。因此，只要兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，這一數(shù)量關(guān)系成立，我們就可以判斷其為直角三角形，從而判斷出三角形中哪個(gè)角為直角。

上面的數(shù)學(xué)案例充分說明了初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想能夠有效地促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)效果的提高。針對數(shù)學(xué)知識的抽象性，數(shù)形轉(zhuǎn)換可以將抽象的知識具象化、直觀化。為學(xué)生解決問題提供了最佳途徑，進(jìn)而提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，發(fā)散了學(xué)生的思維。

數(shù)形結(jié)合思想以及其他數(shù)學(xué)思想貫穿于初中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，如何向?qū)W生滲透這些數(shù)學(xué)思想方法并使之靈活運(yùn)用，就需要我們教師不斷地積累經(jīng)驗(yàn)，凝結(jié)智慧，堅(jiān)持不懈地探索和創(chuàng)新。

參考文獻(xiàn)

[1]黃繼蓉，陳光喜，黃文韜.多媒體技術(shù)與數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009（2）.

[2]羅增儒.從幾個(gè)直覺到代數(shù)證明[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2000（3）.