淺談二次函數(shù)在高中階段的應(yīng)用

楊昌菊

中圖分類號：G634.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-8882（2015）04-051-01

在初中教材中，對二次函數(shù)作了較詳細的研究，由于初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機械的，很難從本質(zhì)上加以理解。進入高中以后，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，要對他們的基本概念和基本性質(zhì)（圖象以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）靈活應(yīng)用，對二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí)。

一、進一步深入理解函數(shù)概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點來闡明函數(shù)，這時就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來加以更深認識函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射?：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素X對應(yīng)，記為?（x）= ax2+ bx+c（a≠0）這里ax2+bx+c表示對應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對函數(shù)的概念有一個較明確的認識，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學(xué)生進一步處理如下問題：

類型I：已知?（x）= 2x2+x+2，求?（x+1），這里不能把?（x+1）理解為x=x+1時的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。類型Ⅱ：設(shè)?（x+1）=x2-4x+1，求?（x），這個問題理解為，已知對應(yīng)法則?下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對應(yīng)法則。

一般有兩種方法：（1）把所給表達式表示成x+1的多項式。?（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得?（x）=x2-6x+6.（2）變量代換：它的適應(yīng)性強，對一般函數(shù)都可適用。令t=x+1，則x=t-1 ∴（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6從而?（x）= x2-6x+6

二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖象

在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時，必須讓學(xué)生對二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間（-∞，-b2a ]及[-b2a ，+∞）上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時，進一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖象學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。類型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖象，并通過圖象研究其單調(diào)性。

（1）y=x2+2|x-1|-1（2）y=|x2-1|（3）= x2+2|x|-1這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖象。

類型Ⅳ設(shè)?（x）=x2-2x-1在區(qū)間[t，t+1]上的最小值是g（t）。

求：g（t）并畫出 y=g（t）的圖象.解：?（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1時取最小值-2

當(dāng)1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2，當(dāng)t>1時，g（t）=?（t）=t2-2t-1，當(dāng)t<0時，g（t）=?（t+1）=t2-2

首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個二次函數(shù)在實數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學(xué)生補充一些練習(xí)。如：y=3x2-5x+6（-3≤x≤-1），求該函數(shù)的值域。

三、二次函數(shù)的知識，可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

類型Ⅴ：設(shè)二次函數(shù)?（x）=ax2+bx+c（a>0）方程?（x）-x=0的兩個根x1，x2滿足0

（Ⅰ）當(dāng)X∈（0，x1）時，證明X

解題思路：本題要證明的是x

（Ⅰ）先證明x0，又a>0，因此?（x）>0，即?（x）-x>0.至此，證得x?（0），所以當(dāng)x∈（0，x1）時?（x）0）.函數(shù)?（x）的圖象的對稱軸為直線x=- b2a ，且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=-b2a ，因為x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根據(jù)違達定理得，x1+x2=-b-1a ，∵x2-1a <0，∴x0=-b2a =12 （x1+x2-1a ）

二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。