基于換位思考的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)——以三維直角坐標(biāo)系下三重積分課堂教學(xué)為例

余曉娟，謝承蓉

?

基于換位思考的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)——以三維直角坐標(biāo)系下三重積分課堂教學(xué)為例

余曉娟，謝承蓉

(鄖陽(yáng)師范高等專(zhuān)科學(xué)校數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)系，湖北十堰 442000)

以三維直角坐標(biāo)系下的三重積分課堂教學(xué)為例，基于換位思考通過(guò)典型例題剖析、發(fā)現(xiàn)規(guī)律等步驟設(shè)計(jì)一堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生掌握“投影法”和“截面法”的使用步驟和使用技巧，達(dá)到掌握知識(shí)的目的.

教學(xué)設(shè)計(jì)；三重積分；投影法；截面法

1 問(wèn)題背景

在系統(tǒng)講完三維直角坐標(biāo)系下三重積分的定義、性質(zhì)及兩種計(jì)算方法(“先一后二”和“先二后一”)后，用一道習(xí)題檢測(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)效果，題目為：求，其中是由曲面和平面=0和=1圍成[1]. 要求學(xué)生盡可能詳細(xì)地寫(xiě)出解題過(guò)程，遇到困難可把原因標(biāo)注出來(lái). 結(jié)果顯示：筆者任教的鄖陽(yáng)師范高等專(zhuān)科學(xué)校2013級(jí)數(shù)學(xué)教育專(zhuān)業(yè)某班共57名學(xué)生(含19名男生、38名女生)僅有16名學(xué)生(含2名男生、14名女生)完成了該題求解的第一個(gè)步驟，即把被積函數(shù)展開(kāi)，拆成2項(xiàng)或3項(xiàng). 這其中的6名學(xué)生(含1名男生、5名女生)計(jì)算出正確結(jié)果，超過(guò)2/3學(xué)生不知所云. 問(wèn)題主要表現(xiàn)為：1)做題思路完全不清晰，未理解“先一后二”和“先二后一”兩種方法；2)方法未能完全掌握，如投影區(qū)域、曲頂曲底或截面區(qū)域不能正確表示；3)可以用這兩種方法正確表示，但未掌握三重積分計(jì)算；4)做題缺乏自信. 三重積分積分區(qū)域復(fù)雜、計(jì)算繁瑣，是重積分計(jì)算中的一大難點(diǎn)，學(xué)生剛學(xué)完新內(nèi)容就做題遇到這些問(wèn)題、正確率低是正常的，但需要引起重視，并對(duì)這些問(wèn)題根源進(jìn)行探析和改變教學(xué)方式.

2 解題過(guò)程反思

其次，積分區(qū)域是一個(gè)簡(jiǎn)單圓柱體，無(wú)論是“先一后二”找曲頂曲底和投影區(qū)域還是“先二后一”找截面區(qū)域，看似比較簡(jiǎn)單，但由于使用“先一后二”時(shí)的曲頂曲底和使用“先二后一”時(shí)的包圍立體的兩平面一樣，同時(shí)投影區(qū)域D和截面區(qū)域D的表達(dá)式也一樣，導(dǎo)致學(xué)生在使用這兩種方法時(shí)思路混亂從而造成累次積分計(jì)算順序混亂.

另外，相當(dāng)一部分學(xué)生反映做題時(shí)缺乏自信，不確信自己的解題正確與否，憑感覺(jué)答題.

基于上述教學(xué)分析，筆者以三維直角坐標(biāo)系下三重積分課堂教學(xué)為例，通過(guò)換位思考、典型例題剖析、發(fā)現(xiàn)規(guī)律等，同時(shí)調(diào)動(dòng)學(xué)生課堂參與積極性，達(dá)到熟練掌握知識(shí)的目的.

3 教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1 換位思考，了解學(xué)生思維盲區(qū)

現(xiàn)代教學(xué)理念提倡基于學(xué)生視角進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)[2]. 在這一理念下，教師需要與學(xué)生換位思考，把自己原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)替換成類(lèi)似學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，站在學(xué)生角度思考遇到問(wèn)題會(huì)經(jīng)歷怎樣的經(jīng)驗(yàn)碰撞、邏輯分析和推理論證等過(guò)程，對(duì)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行重新認(rèn)識(shí).

通過(guò)課后訪談和抽樣調(diào)查，筆者發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生糾結(jié)在不知道“先一后二”和“先二后一”具體是什么意思，只是機(jī)械地記住了公式. 這種被動(dòng)機(jī)械地接受的學(xué)習(xí)方式導(dǎo)致學(xué)生在獨(dú)立解決具體問(wèn)題時(shí)缺乏應(yīng)有的分辨能力和自信，不知道該用哪種方法，更不可能知道每種方法具體適用于什么題型.

基于學(xué)生視角進(jìn)行思考，筆者認(rèn)為學(xué)生的說(shuō)法不無(wú)道理，即“先一后二”和“先二后一”的表述確實(shí)比較抽象，且容易混淆，如果換成“投影法”和“截面法”[3]更加具體生動(dòng)，也更容易理解. 鑒于此，筆者把計(jì)算公式改寫(xiě)為：

顯然，經(jīng)過(guò)更換方法后，對(duì)公式的理解更加直觀. 學(xué)生自己總結(jié)這兩種方法的解題步驟，然后筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)，其解題思路清晰，全班對(duì)公式理解效果比較好.

3.2 典型例題剖析，熟悉公式應(yīng)用

此題為華東師大數(shù)學(xué)系主編的《數(shù)學(xué)分析》下冊(cè)第21章第5節(jié)例2的一個(gè)變式，但此時(shí)被積函數(shù)和積分區(qū)域已有變化，且建立在“投影法”和“截面法”下，勢(shì)必會(huì)給學(xué)生帶來(lái)新的變化. 故應(yīng)站在學(xué)生角度，在學(xué)生普遍的思維框架下加以引導(dǎo). 可按以下方式設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)：

圖1 拋物面三維視圖

首先，不妨先畫(huà)出積分區(qū)域，然后觀察其特點(diǎn)，最后再確定方法. 如圖1所示，可從兩個(gè)途徑描述：

此時(shí)，部分學(xué)生思路開(kāi)始清晰：用不同方式描述，就意味著用不同方法求解. 對(duì)于這部分學(xué)生老師應(yīng)給予極大肯定，并鼓勵(lì)其寫(xiě)出不同方法下累次積分的表達(dá)式. 正確表達(dá)式如下：

3.3 及時(shí)總結(jié)規(guī)律，深化理論認(rèn)識(shí)

由上例可以看出，一些問(wèn)題可以用兩種方法解決，但是不同的方法有沒(méi)有針對(duì)性呢？

一部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)，此題使用截面法計(jì)算異常簡(jiǎn)單，原因在于被積函數(shù)只與相關(guān)，而二重積分的變量又是,，故可提到積分符號(hào)外面，二重積分就變成了求截面區(qū)域的面積，而截面區(qū)域可看成以為半徑的圓，問(wèn)題就迎刃而解.

教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生分組討論總結(jié)規(guī)律：若被積函數(shù)只和相關(guān)，可用平面=去截積分區(qū)域，使用截面法可簡(jiǎn)化運(yùn)算. 并引導(dǎo)學(xué)生，繼續(xù)思考若被積函數(shù)只和或相關(guān)的情況，并出示以下練習(xí)：

注：此練習(xí)的目的一為鞏固上述結(jié)論，二為復(fù)習(xí)積分的線性性質(zhì)，為下面的講解做好鋪墊.

3.4 循序漸進(jìn)，強(qiáng)調(diào)公式應(yīng)用細(xì)節(jié)

有了上述鋪墊，面對(duì)此問(wèn)題，學(xué)生可以自然會(huì)想到利用三重積分的線性性質(zhì)將被積函數(shù)拆成兩部分和，并分別使用“投影法”和“截面法”來(lái)完成. 同時(shí)有些學(xué)生在解題過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于1來(lái)說(shuō)，這兩種方法的難易度和計(jì)算復(fù)雜度區(qū)別不大，這是因?yàn)榇祟}中的積分區(qū)域是柱體，即投影區(qū)域和截面區(qū)域是相同的.

對(duì)于這一發(fā)現(xiàn)，教師可在肯定其善于思考的同時(shí)也應(yīng)進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)，雖然這兩種方法只是積分順序不一樣，但其蘊(yùn)涵了兩種不同的解題思想，在具體解題過(guò)程中不能混為一談.

3.5 橫向拓展，激發(fā)學(xué)生發(fā)散思維

和例3相比，例4的被積函數(shù)多了2一項(xiàng)，也即只需求出就知道此題答案. 根據(jù)全樣本調(diào)查發(fā)現(xiàn)，有4/5的學(xué)生得到正確答案為0，使用這兩種方法的比例接近1:1. 教師可根據(jù)此特殊結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生思考積分與被積函數(shù)以及積分區(qū)域形式的關(guān)系.

從而引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：1)如果積分區(qū)域在O面不易投影或不便運(yùn)算，可將其投影到O或O面上進(jìn)行運(yùn)算，計(jì)算公式也將相應(yīng)變化. 2)如果被積函數(shù)關(guān)于(或)是奇函數(shù)，積分區(qū)域關(guān)于投影平面對(duì)稱，則積分為零.

3.6 增強(qiáng)自信，綜合應(yīng)用知識(shí)解決復(fù)雜問(wèn)題

通過(guò)上述課堂設(shè)計(jì)教學(xué)和引導(dǎo)，然后對(duì)文章開(kāi)頭的例題重新對(duì)學(xué)生解題進(jìn)行調(diào)查. 經(jīng)現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：全班57名學(xué)生，除2名學(xué)生基礎(chǔ)太差外，其他55名學(xué)生均能準(zhǔn)確寫(xiě)出第一步，其中40名學(xué)生得到了正確的結(jié)果，正確率較之前提高了60%. 關(guān)于非認(rèn)知因素方面，經(jīng)課后訪談?wù){(diào)查，之前表現(xiàn)出不自信、缺乏成就感、對(duì)題目抱有畏難甚至恐懼情緒的學(xué)生也大大減少.

4 結(jié)語(yǔ)

本課堂設(shè)計(jì)建立在從教師與學(xué)生換位思考的角度對(duì)學(xué)生課后習(xí)題表現(xiàn)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，效果比較好，學(xué)生比較容易掌握新知識(shí). 因此，課堂教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該注重以下幾點(diǎn)：一是遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，由易到難、由簡(jiǎn)到繁、由特殊到一般循序漸進(jìn). 二是換位思考，站在學(xué)生的立場(chǎng)看待問(wèn)題，了解其需要和難點(diǎn). 三是反思貫穿教學(xué)過(guò)程每個(gè)環(huán)節(jié). 邊教學(xué)邊思考，促使了教學(xué)預(yù)設(shè)目標(biāo)和生成目標(biāo)的共同達(dá)成. 四是，盡可能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，及時(shí)鼓勵(lì)和贊揚(yáng)學(xué)生也是至關(guān)重要的. 最后就是充分信任學(xué)生，相信他們可以自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下可以獨(dú)立解決問(wèn)題.

[1] 錢(qián)吉林. 數(shù)學(xué)分析解題精粹[M]. 武漢: 崇文書(shū)局, 2003: 523-545.

[2] 周永凱, 王文博, 田紅艷. 現(xiàn)代大學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與案例[M]. 北京: 中國(guó)輕工業(yè)出版社, 2010.

[3] 李 昆, 趙 剛. 三重積分中兩種計(jì)算方法的比較[J]. 孝感學(xué)院學(xué)報(bào), 2010(6): 23-25.

[4] 華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M]. 4版. 北京: 高等教育出版社, 2010: 255-259.

[5] 王策三. 教學(xué)論稿[M]. 2版. 北京: 人民教育出版社, 2005.

[6] 周 浚. 三重積分求解方法的深入研究[J]. 荊楚理工學(xué)院學(xué)報(bào), 2010(7): 38-41.

[7] 林 謙. 直角坐標(biāo)系下三重積分計(jì)算法的探討[J]. 云南師范大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 1999(5): 67-72.

(責(zé)任編輯：饒 超)

A Teaching Design Based on Transpositional Consideration: Taking Triple Integral in Right Angle Coordinate System as an Example

YU Xiaojuan, XIE Chengrong

(Mathematics and Financial Department, Yunyang Teachers’ College, Shiyan 442000, China)

Taking classroom teaching for triple integral in right angle coordinate system as an example, based on transpositional consideration, it focuses on analyzing typical examples and looking for rules to make the students master projection method and section method.

Teaching design; Triple integral; Projection method; Section method

G642.421

A

2095-4476(2015)05-0081-04

2015-03-12;

2015-04-08

鄖陽(yáng)師專(zhuān)校級(jí)科研項(xiàng)目(2013C07)

余曉娟(1981— ), 女, 湖北鄖縣人, 鄖陽(yáng)師范高等專(zhuān)科學(xué)校數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)系講師.