Fourier分析中的幾個核函數(shù)研究

王志珍

（上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，上海 200234）

Fourier分析中的幾個核函數(shù)研究

王志珍

（上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，上海 200234）

研究Fourier分析中的Dirichlet核函數(shù)、Fejér核函數(shù)和Poisson核函數(shù)，介紹優(yōu)核的概念.證明Dirichlet核函數(shù)不是優(yōu)核，F(xiàn)ejér核函數(shù)和Poisson核函數(shù)是優(yōu)核.

優(yōu)核；Dirichlet核函數(shù)；Fejér核函數(shù)；Poisson核函數(shù)

1　引言

Fourier分析是分析領(lǐng)域的重要基礎(chǔ)和組成部分，隨著數(shù)學(xué)與科技的不斷發(fā)展，F(xiàn)ourier分析也在越來越多的領(lǐng)域展示出其重要性.Fourier分析既可以應(yīng)用于純數(shù)學(xué)領(lǐng)域（如數(shù)論）［1］，又是應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域（如信號與圖像處理）的重要工具［2］.文獻(xiàn)［3-4］通過構(gòu)建基于Fourier分析的濃度動量法對濕地環(huán)境進(jìn)行研究，得到濕地灘涂流的解析解，從而給出濕地環(huán)境彌散現(xiàn)象的細(xì)節(jié)描述.

給定一以2π為周期的可積函數(shù)f（x），其Fourier級數(shù)展開為：

一個自然的問題是：如果f（x）在某一點(diǎn)x處連續(xù)，其Fourier級數(shù)能否在這一點(diǎn)收斂到f（x）？更進(jìn)一步，如果f（x）處處連續(xù)，其Fourier級數(shù)能否一致收斂到f（x）？實(shí)際上關(guān)于Fourier級數(shù)收斂性的研究很早就開始了，早在十九世紀(jì)，Dirichlet就給出了著名的Dirichlet收斂定理［5］，但其結(jié)果只是針對Fourier級數(shù)常規(guī)求和而言的.如果只考慮常規(guī)求和，一個連續(xù)函數(shù)的Fourier級數(shù)展開甚至可能不收斂.Zygmund曾構(gòu)造出一個在區(qū)間［-π，π］連續(xù)的函數(shù)，但其Fourier級數(shù)在［-π，π］上可列個點(diǎn)處發(fā)散的例子［6］.之后人們注意到級數(shù)的求和方法可以不拘泥于常規(guī)求和，并引入Cesàro求和與Abel求和以豐富級數(shù)求和理論.文獻(xiàn)［7］研究了這三種求和方式優(yōu)缺點(diǎn)，指出常規(guī)求和適用范圍最小，Abel求和適用范圍最廣.本文將通過改變Fourier級數(shù)的求和方式并引入相應(yīng)的核函數(shù)概念，研究Fourier級數(shù)在不同求和方式下其收斂性會有哪些有趣的結(jié)果.

2　核函數(shù)概念

定義Dirichlet核函數(shù)如下：

則f（x）的Fourier級數(shù)的部分和可寫為：

即f（x）的Fourier級數(shù)的部分和可視為f（x）與Dirichlet核函數(shù)作卷積.

定義2.1給定一族函數(shù)｛Kn（x）｝，如果滿足如下三個條件：

注2.1文獻(xiàn)［1］給出了關(guān)于優(yōu)核的非常重要而有用的結(jié)論：如果｛Kn（x）｝是一族優(yōu)核，則若f（x）在點(diǎn)x處連續(xù)，必有

若f（x）處處連續(xù)，則極限是一致收斂的.

接下來，以這個結(jié)論為出發(fā)點(diǎn)，考察f（x）的Fourier級數(shù)在不同求和方式下的收斂問題.

3　三類核函數(shù)研究

首先考察Dirchlet核函數(shù)，有如下結(jié)論.

定理 3.1Dirichlet核函數(shù)不是優(yōu)核.

如果函數(shù)f（x）只滿足連續(xù)性條件，那么其Fourier級數(shù)不能保證收斂到f（x），這與定理2.1的結(jié)論相符.那么如何去改進(jìn)呢？文獻(xiàn)［7］指出對級數(shù)采用不同的求和方式可能會使發(fā)散的級數(shù)變得收斂，Abel可和的適用范圍要大于Cesàro可和，而Cesàro可和要比常規(guī)可和的適用范圍更廣.受這個結(jié)論啟發(fā)，本文首先研究將Fourier級數(shù)由常規(guī)求和改為Cesàro求和會得到什么結(jié)論.由（1）式知Sn（f）=f?Dn，現(xiàn)在對Fourier級數(shù)取N階Cesàro平均，得

這樣可將Fourier級數(shù)在Cesàro求和方式下的收斂性問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)f（x）與Fejér核函數(shù)做卷積的收斂性問題.關(guān)于Fejér核函數(shù)，有如下結(jié)論.

定理 3.2Fejér核函數(shù)是優(yōu)核.

注3.1根據(jù)注2.1和定理3.1可知，若函數(shù)f（x）在點(diǎn)x處連續(xù)，則其Fourier級數(shù)的Cesàro和會在點(diǎn)x處收斂到f（x）；如果函數(shù)f（x）是處處連續(xù)的，則其Fourier級數(shù)的Cesàro和會一致收斂到f（x）.

最后研究將Fourier級數(shù)求和方式改為適用范圍最廣的Abel求和會有什么結(jié)果.

定理 3.3Poisson核函數(shù)是優(yōu)核.

注3.2根據(jù)注2.1和定理3.3可得結(jié)論：若函數(shù)f（x）在點(diǎn)x處連續(xù)，則其Fourier級數(shù)的Abel和會在點(diǎn)x處收斂到f（x），如果函數(shù)f（x）是處處連續(xù)的，則其Fourier級數(shù)的Abel和會一致收斂到f（x）.

4　結(jié)論

函數(shù)f（x）的Fourier級數(shù)展開可視為f（x）與某個核函數(shù)作卷積，對Fourier級數(shù)采用不同的求和方式相當(dāng)于讓f（x）與不同的核函數(shù)作卷積.本文首先介紹了優(yōu)核的概念并指出，一個優(yōu)核可以讓卷積運(yùn)算具有好的收斂性.通過這一點(diǎn)可以指出：若對Fourier級數(shù)采用常規(guī)求和，即讓f（x）與Dirichlet核函數(shù)做卷積，并不能保證級數(shù)一致收斂到連續(xù)函數(shù)f（x）；若對Fourier級數(shù)采用Cesàro求和或者Abel求和，即讓f（x）與Fejér核函數(shù)或Poisson核函數(shù)作卷積，則可以保證級數(shù)一致收斂到連續(xù)函數(shù)f（x）.

［1］Stein E M，Shakarchi R.Fourier Analysis，an Introduction［M］.Princeton：Princeton Univ.Press，2011.

［2］Blackledge J M，Digital Image Processing.Mathematical and Computational Methods［M］.Chichester：Horwood Publishing，2005.

［3］Wu Z，Zeng L，Chen G Q，et al.Environmental dispersion in a tidal flow through a depth-dominated wetland［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2012，17：5007-5025.

［4］Zeng L，Chen G Q，Wu Z，et al.Flow distribution and environmental dispersivity in a tidal wetland channel of rectangular cross-section［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2012，17：4192-4209.

［5］Dirichlet G L.Sur la convergence des séries trigonomentriques qui serventà representer une fonction arbitraire entre des limites données［J］.Crelle，Journal für die reine angewandte Mathematik，1829，4：157-169.

［6］Zygmund A.Trigonomentical Series［M］.Cambridge：Cambridge Univ.Press，1959.

［7］張立柱.級數(shù)的常規(guī)可和，Cesàro可和與Abel可和的幾點(diǎn)討論［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2013，29（6）：565-571.

［8］陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析［M］.2版.北京：高等教育出版社，2004.

Studies on several kernels in Fourier analysis

Wang Zhizhen
（Mathematics&Science College，Shanghai Normal University，Shanghai200233，China）

Dirichlet kernel，F(xiàn)ejér kernel and Poisson kernel in Fourier analysis are studied in this paper，the concept of good kernel is introduced and we proved that Dirichlet kernel is not a good kernel but Fejér kernel and Poisson kernel are good kernels.

good kernel，Dirichlet kernel，F(xiàn)ejér kernel，Poisson kernel

O173.1

A

1008-5513（2015）03-0238-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.003

2014-08-23.

上海市一級學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目.

王志珍（1974-），博士，副教授，研究方向：魯棒控制，圖像處理，數(shù)學(xué)分析.

2000 MSC：40C99