AANA序列的半?yún)?shù)模型的強相合性

張鴿，胡宏昌，張宇

（湖北師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石　435000）

AANA序列的半?yún)?shù)模型的強相合性

張鴿，胡宏昌，張宇

（湖北師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 黃石435000）

討論漸近幾乎負相依序列的半?yún)?shù)模型，利用最小二乘法和非參數(shù)加權的估計方法，得到參數(shù)、非參數(shù)和誤差方差的估計，并在合適的條件下得到這些估計量的強相合性，推廣了負相依序列的半?yún)?shù)模型的相應結論.

半?yún)?shù)模型；漸近幾乎負相依；強相合性

1　引言

討論如下半?yún)?shù)模型：

其中 （xi，ti）為隨機設計點列，β為待估的未知參數(shù)，g（·）是定義在閉區(qū)間 ［0，1］上未知的可測函數(shù)，隨機誤差序列 ｛εi｝為漸近幾乎負相依序列 （簡記為 AANA，定義見定義 1.1），且

假設存在定義在［0，1］上的某一函數(shù)h（·），有［1］

其中｛ηi｝是獨立同分布序列，Eηi=0，且｛ηi｝與｛εi｝相互獨立.

定義 1.1［2］稱隨機變量序列 ｛Xn，n≥1｝是 AANA序列，如果存在非負實數(shù)序列對所有n，k≥1滿足：

其中f和g是對所有方差存在且對每個變元均非降連續(xù)的函數(shù).

NA序列［2］在八十年代被引入，由于其在可靠性理論、滲透理論及多元統(tǒng)計分析中的廣泛應用而備受關注，對于誤差為NA序列的半?yún)?shù)回歸模型，目前已經得到了許多重要的結果.例如：文獻［3］研究了NA樣本半?yún)?shù)回歸模型的矩相合性；文獻［4］研究了NA序列下半?yún)?shù)模型中小波估計的收斂速度；文獻［5］研究了NA樣本下半?yún)?shù)模型的漸近性質；文獻［6］研究了誤差為NA的半?yún)?shù)模型的弱相合性等.由此可見對于NA序列的半?yún)?shù)模型的研究具有一定的意義.AANA序列是一類廣泛的負相依序列，對其研究具有一定的價值.目前，已經有大量的文獻研究AANA序列，如文獻［7］研究了Marcinkiewicz和Zygmund因變量的強大數(shù)定律的擴展；文獻［8］研究了漸近幾乎負相依隨機變量的Rosenthal型不等式及其應用.若隨機變量序列是NA序列，則它們一定是AANA序列，反之不真［7］.因此，AANA誤差的半?yún)?shù)回歸模型是NA誤差的半?yún)?shù)回歸模型的一個自然推廣，從而研究前者將具有重要的意義.目前誤差為AANA序列的半?yún)?shù)回歸模型的研究還沒有開始，因此本文初步研究模型（1）和模型（2）.

2　估計方法及主要結果

注2.1相對于獨立隨機誤差而言，結論中的矩條件要減弱.但要減弱以上結論中關于｛εi｝的矩條件，則需要減弱下文引理3.2和引理3.3中的矩條件.然而減弱引理3.2和引理3.3中的矩條件也許是一件非常困難的事，因此實質性地減弱以上結果的條件并非易事.若｛εi｝為NA序列，則以上結論仍成立，由此可知，這些結論推廣了NA序列的半?yún)?shù)模型的相應結論.另外，上述結論很容易推廣到多維的情形.

3　主要結果的證明

為了證明的需要，先給出如下引理：

引理3.1［9］隨機變量｛Xn，n≥1｝是AANA序列，其混合系數(shù)為｛q（n），n≥1｝，｛fi，i≥1｝是非增（或非減）的函數(shù)，則｛fn（Xn），n≥1｝仍是混合系數(shù)為｛q（n），n≥1｝的AANA序列.

引理 3.2假定｛εi；1≤i≤n｝是混合系數(shù)為｛q（n），n≥1｝的AANA序列，且滿足

引理 3.3假定｛εi；1≤i≤n｝是混合系數(shù)為｛q（n），n≥1｝的AANA序列，且滿足

又設定義在閉區(qū)間［0，1］上的實函數(shù)序列｛ani（·），1≤i≤n，n≥1｝滿足：

引理3.4當條件A1和A2滿足時，有

引理 3.5［10］設｛ηi；1≤i≤n｝是相互獨立的隨機變量，又設Wnj（t）是定義在［0，1］的權函數(shù)，且滿足下述條件：

定理2.1的證明由（3）式和模型（1），可得

定理2.2的證明由（4）式和模型（1）可得

定理2.3的證明由（5）式和模型（1）可得

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The strong consistency of semiparametric model with AANA errors

Zhang Ge，Hu Hongchang，Zhang Yu

（College of Mathematics and Statistics，Hubei Normal University，Huangshi435002，China）

We consider the semiparametric model with almost asymptotically negatively dependent errors.Using the least squares estimate and the weight function method，we obtain estimators of parameter，nonparameter and error variance，and discuss their strong consistency under some suitable conditions.We generalize the corresponding conclusion about semiparametric regression models with negatively associated random errors.

semiparametric model，asymptotically almost negatively associated，strong consistency

O212.2

A

1008-5513（2015）03-0296-11

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.011

2014-12-01.

國家自然科學基金（11471105，11471223）.

張鴿（1990-），碩士生，研究方向：應用概率統(tǒng)計.

胡宏昌（1971-），博士，教授，研究方向：應用概率統(tǒng)計.

2010 MSC：65U05