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    向量優(yōu)化問題C(ε)-真有效解的Kuhn-Tucker最優(yōu)性條件

    2015-10-14 05:44:24張萬里趙克全
    關(guān)鍵詞:最優(yōu)性星型標(biāo)量

    張萬里,趙克全

    (重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,重慶 401331)

    向量優(yōu)化問題C(ε)-真有效解的Kuhn-Tucker最優(yōu)性條件

    張萬里,趙克全

    (重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,重慶401331)

    在實(shí)局部凸Hausdorff拓?fù)渚€性空間中基于co-radiant集提出了C(ε)-真有效性概念.用實(shí)例證明其與相關(guān)文獻(xiàn)中提出的真ε-有效性不同,且包含Benson真有效性作為其特例.此外,在鄰近C(ε)-次似凸性假設(shè)下獲得了Kuhn-Tucker型必要條件,利用標(biāo)量化定理得到了Kuhn-Tucker型充分條件.

    向量優(yōu)化;C(ε)-真有效解;Kuhn-Tucker最優(yōu)性條件

    1 引言及預(yù)備知識

    在向量優(yōu)化問題研究中,真有效性概念起著十分重要的作用[1-2].近年來,引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注,并取得了一系列重要的研究成果.1979年,文獻(xiàn)[3]提出了一類改進(jìn)的真有效性—-Benson真有效性.2000年,文獻(xiàn)[4]利用Benson真有效性的思想,提出了ε-Benson真有效性,并建立了標(biāo)量化定理、ε-Lagrange乘子定理、ε-真鞍點(diǎn)定理和ε-真對偶定理.2006年,文獻(xiàn)[5]引進(jìn)了co-radiant集這類新的工具,提出了新的ε-有效性概念,推廣并且統(tǒng)一了很多現(xiàn)有的真有效性及近似真有效性概念.2011年,文獻(xiàn)[6]借助于Gutiérrez等人的思想引進(jìn)了Benson意義下近似真有效解的概念并包含了Benson真有效解作為其特例,利用非線性標(biāo)量化函數(shù)建立了最優(yōu)性條件,并在錐次似凸假設(shè)下建立了線性標(biāo)量化定理.2012年,文獻(xiàn)[7]提出了與文獻(xiàn)[6]等價的C(ε)-真有效解概念,并在鄰近錐次似凸假設(shè)下建立了標(biāo)量化定理,獲得了近似真鞍點(diǎn)定理.其它類型的近似真有效解概念可參見文獻(xiàn)[8-9]等.

    受文獻(xiàn)[6-8]的啟發(fā),本文在實(shí)局部凸Hausdorff拓?fù)渚€性空間中基于co-radiant集提出了C(ε)-真有效性概念,它包含了Benson真有效性作為其特例.通過例子說明了C(ε)-真有效性概念與文獻(xiàn)[6]中提出的真ε-有效性概念不同.進(jìn)一步在鄰近C(ε)-次似凸假設(shè)下,獲得了C(ε)-真有效解的Kuhn-Tucker型最優(yōu)性必要條件,并利用標(biāo)量化定理得到了C(ε)-真有效解的Kuhn-Tucker型最優(yōu)性充分性條件.此外,給出了與向量優(yōu)化問題等價的無約束優(yōu)化.

    假設(shè)X為拓?fù)渚€性空間,Y,Z為實(shí)局部凸Hausdorff拓?fù)渚€性空間,K和P分別表示Y 和Z中的閉凸點(diǎn)錐.若K∩(-K)={0},則稱K為點(diǎn)的.令C?Y、int C、cl C、cone C分別表示C的內(nèi)部、閉包和錐包.稱C是真的,若?≠C≠Y.若αc∈C,?c∈C,?α>1,則稱C為co-radiant集.稱C是星型集,如果存在q∈C使得

    引理 1.1[5]設(shè)ε>0,C?Y為真星型co-radiant集且int(kern C)≠?,則

    引理1.2[10]設(shè)閉凸錐K1,K2?Y且K1∩K2={0}.若K2是點(diǎn)錐且是局部緊的,則

    引理1.3[11]設(shè)V是實(shí)局部凸空間,凸集M,N?V滿足

    則存在V中的超平面分離M和N.

    引理1.4[12]設(shè)A,B?Y,則A+int B?int(A+B).

    引理1.5[13]設(shè)A,B?Y,int A=A.若B是凸集且int B≠?,則A+B=A+int B.

    2 C(ε)-真有效點(diǎn)的定義及性質(zhì)

    本節(jié)基于星型co-radiant集,提出C(ε)-真有效點(diǎn)的定義,通過具體例子說明它與文獻(xiàn)[6]中提出的真ε-有效點(diǎn)的概念不同,并包含Benson真有效點(diǎn)作為其特例.此外,還給出了關(guān)于C(ε)-真有效點(diǎn)性質(zhì)的一個定理.

    定義 2.1設(shè)ε≥0,C?Y為真星型co-radiant集且int(kern C)≠?,A?Y.若

    則稱a∈A是C(ε)-真有效點(diǎn).C(ε)-真有效點(diǎn)的全體記為PE(A,C,ε).

    注2.1(i)當(dāng)C?K,cl cone(kern C)=K時與文獻(xiàn)[7]中的定義是一致的;

    (ii)當(dāng)cl cone(kern C)=K時,PE(A,C,0)就退化為經(jīng)典的Benson真有效性;

    (iii)本文的定義與文獻(xiàn)[6]中的定義不等價,以下例子可以說明這一點(diǎn).

    例2.1令

    例2.2令

    定理2.1 (i)PE(A,C,0)?PE(A,C,ε),?ε>0;

    (ii)PE(A,C,ε1)?PE(A,C,ε2),?ε2>ε1>0;

    (iii)若x∈PE(A,C,ε),則x∈PE(A,C,aε),?a>1,?ε>0;

    證明根據(jù)定義2.1及C(ε)的性質(zhì),容易得到定理2.1的結(jié)論成立.

    3 C(ε)-真有效解的Kuhn-Tucker最優(yōu)性條件

    向量優(yōu)化問題在各種解意義下的最優(yōu)性條件是最優(yōu)化理論及應(yīng)用的重要組成部分,是建立現(xiàn)代算法的重要基礎(chǔ).下面給出C(ε)-真有效解的Kuhn-Tucker型最優(yōu)性必要條件和充分條件.

    本文考慮集值優(yōu)化問題:

    其中集值映射F:X?Y,G:X?Z具有非空值且D≠?.定義

    這里μ∈Y?,C?X.(F,G)表示從X到Y(jié)×Z的集值映射,記作(F,G)(x)=F(x)×G(x).

    設(shè)ε≥0,x0∈D稱為(VP)的C(ε)-真有效解,如果F(x0)∩PE(A,C,ε)≠?;(x0,y0)稱為(VP)的C(ε)-真有效點(diǎn),如果x0∈D且y0∈F(x0)∩PE(A,C,ε).

    基于文獻(xiàn)[14]的思想,文獻(xiàn)[7]提出了如下的鄰近C(ε)-次似凸性概念,相似的廣義凸性概念也參見文獻(xiàn)[8-9].

    定義 3.1[7]設(shè)ε≥0,S?X.稱集值映射F:S?Y在S上是鄰近C(ε)-次似凸的,若cl cone(F(S)+C(ε))是凸集.

    引理 3.1設(shè)C?Y為真星型co-radiant集滿足kern C≠?,則kern C是凸集.

    引理 3.2設(shè)ε>0,C?Y為真星型co-radiant集,int(kern C)≠?,則

    引理3.3設(shè)C?Y為真星型co-radiant集滿足int(kern C)≠?,μ∈(cl cone(kern C))+s,則μC也是真星型co-radiant集滿足int(kernμC)≠?且int(μC(ε))=μint C(ε).

    定理 3.1設(shè) ε>0,C?Y為真星型 co-radiant集且 int(kern C)≠?.如果 μ∈(cl cone(kern C))+s,(F,G)在X上是鄰近(C(ε)×P)-次似凸的,則(μF,G)在X上是鄰近(μC(ε)×P)-次似凸的.

    證明由引理3.3易得定理3.1成立.

    定理 3.2設(shè) ε>0,C?Y為真星型 co-radiant集,int(kern C)≠?.F:D? Y,y0∈F(D).如果存在μ∈(cl cone(kern C))+s滿足則y0∈PE(F(D),C,ε).

    接下來,建立C(ε)-真有效解的Kuhn-Tucker型最優(yōu)性必要條件和充分條件.

    定理 3.3設(shè)ε>0,C?Y為真星型co-radiant集,int(kern C)≠?.假設(shè)以下條件成立:

    (i)(x0,y0)是(VP)問題的C(ε)-真有效點(diǎn);

    (ii)(F-y0,G)在X上是鄰近(C(ε)×P)-次似凸的;

    (iii)cl cone(G(X)+P)=Z,

    則存在μ∈(cl cone(kern C))+s和φ∈P+,使得

    定理 3.4設(shè)ε>0,C?Y為真星型co-radiant集滿足int(kern C)≠?.若x0∈D,且存在y0∈F(x0),μ∈(cl cone(kern C))+s和 φ∈P+滿足

    則(x0,y0)是(VP)的C(ε)-真有效點(diǎn).

    根據(jù)定理3.3和定理3.4下面的結(jié)論是顯然的.

    推論 3.1設(shè)ε>0,C?Y為真星型co-radiant集,且int(kern C)≠?.假設(shè)以下條件成立:

    (i)(x0,y0)是(VP)的C(ε)-真有效點(diǎn);

    (ii)(F-y0,G)在X上是鄰近(C(ε)×P)-次似凸的;

    (iii)cl cone(G(X)+P)=Z,

    則(x0,y0)是(VP)的C(ε)-真有效點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)存在μ∈(cl cone(kern C))+s和φ∈P+,使得

    [1]Jahn J.Vector Optimization:Theory,Applications,and Extensions[M].Berlin:Springer,2004.

    [2]Chen G Y,Huang X X,Yang X Q.Vector Optimization[M].Vol 541,Lecture Notes in Economics and Mathematical Sciences.Berlin:Springer,2005.

    [3]Benson H P.An improved definition of proper efficiency for vector maximization with respect to cones[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1979,71(1):232-241.

    [4]Rong W D,Ma Y.ε-Properly efficient solutions of vector optimization problems with set-valued maps[J].Operations Research Transactions,2000,4(4):21-32.

    [5]Gutiérrez C,Jiménez B,Novo V.A unified approach and optimality conditions for approximate solutions of vector optimization problems[J].SIAM Journal on Optimization,2006,17(3):688-710.

    [6]Gao Y,Yang X M,Teo K L.Optimality conditions for approximate solutions of vector optimization problems[J].Journal of Industrial and Management Optimization,2011,7(2):483-496.

    [7]Gutiérrez C,Huerga L,Novo V.Scalarization and saddle points of approximate proper solutions in nearly subconvexlike vector optimization problems[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2012,389(2):1046-1058.

    [8]Zhao K Q,Yang X M.E-Benson proper efficiency in vector optimization[J].Optimization,2013,64(4):1-4.

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    [11]Tiel J V.Convex Analysis[M].New York:John Wiley and Sons,1984.

    [12]Tanaka T,Kuroiwa D.The convexity of A and B assures int A+B=int(A+B)[J].Applied mathematics letters,1993,6(1):83-86.

    [13]Tanaka T,Kuroiwa D.Another observation on conditions assuring int A+B=int(A+B)[J].Applied Mathematics Letters,1994,7(1):19-22.

    [14]Yang X M,Li D,Wang S Y.Near-subconvexlikeness in vector optimization with set-valued functions[J].Journal of Optimization Theory and Applications,2001,110(2):413-427.

    Kunh-Tucker optimality conditions for vector optimization problem in the sense of C(ε)-properly efficient solutions

    Zhang Wanli,Zhao Kequan

    (College of Mathematics Science,Chongqing Normal University,Chongqing401331,China)

    In this paper,a kind of proper efficiency,named as C(ε)-proper efficiency,is proposed via co-radiant sets in a real locally convex Hausdorff topological linear spaces.By means of examples we illustrate that the C(ε)-proper efficiency is different from the proper ε-efficiency.and contains Benson proper efficiency as a special case.Furthermore,under the assumption of nearly C(ε)-subconvexlikeness,a Kuhn-Tucker necessary condition is derived,and by using scalarization theorem,a sufficient condition is also obtained.

    vector optimization,C(ε)-proper efficiency,Kuhn-Tucker optimality condition

    O221.6

    A

    1008-5513(2015)03-0323-08

    10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.014

    2014-11-18.

    國家自然科學(xué)基金(11301574;11171363);第二批重慶市高等學(xué)校青年骨干教師資助計劃;重慶市研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目(CYS14136).

    張萬里(1987-),碩士生,研究方向:最優(yōu)化理論與方法.

    2010 MSC:90C26,90C29,90C30

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