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    四維Filiform李超代數(shù)的譜序列及上同調(diào)

    2015-10-14 05:44:15馬穎超劉文德
    關(guān)鍵詞:李超維數(shù)代數(shù)

    馬穎超,劉文德

    (哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150025)

    四維Filiform李超代數(shù)的譜序列及上同調(diào)

    馬穎超,劉文德

    (哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江 哈爾濱150025)

    利用復(fù)數(shù)域上四維 Filiform李超代數(shù)的分類,通過計(jì)算,刻畫了所有四維Filiform李超代數(shù)的譜序列,進(jìn)而得到所有四維Filiform李超代數(shù)的上同調(diào).

    Filiform李超代數(shù);譜序列;上同調(diào)

    1 引言

    在同調(diào)代數(shù)中,譜序列是一個(gè)非常重要的概念,它既是一種理論,也是研究同調(diào)模的有效方法.二戰(zhàn)期間,J.Leray在研究代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)時(shí),引入了層的概念,從而面臨著計(jì)算層上同調(diào)的問題,為此,他提出了一種計(jì)算方法稱為L(zhǎng)eray譜序列[1].不久,很多數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn),Leray譜序列只是一個(gè)特例,譜序列還應(yīng)用于解決纖維化等幾何問題.抽象地說,對(duì)合成函子取導(dǎo)函子也會(huì)得到譜序列,這樣的譜序列稱為Grothendieck譜序列[2].1947年,J.L.Koszul將譜序列與代數(shù)理論有機(jī)的結(jié)合起來[3].隨著研究范圍的擴(kuò)大,譜序列成為計(jì)算同調(diào)的重要方法,備受國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注,現(xiàn)已成為同調(diào)代數(shù)、代數(shù)拓?fù)洹⒋鷶?shù)幾何、環(huán)論及群論等學(xué)科的一種有力的工具.1991年,J.A.Dixon利用譜序列計(jì)算了BRS的上同調(diào)[4].2001年,D.W.Barnes證明了李代數(shù)的擴(kuò)張的譜序列的長(zhǎng)度最多是其商代數(shù)的維數(shù)加一,當(dāng)代數(shù)是冪零的且擴(kuò)張是可裂的時(shí),譜序列的有界性能夠得到一個(gè)任意大的商代數(shù)[5].2004年,K.Kuribayashi利用Eilenberg-Moore譜序列計(jì)算了函數(shù)空間的上同調(diào)[6].2006年,A.Romero、J.Rubio和F.Sergeraert優(yōu)化了J.L.Koszul給出的計(jì)算譜序列的程序,這些程序能夠計(jì)算Serre譜序列,Eilenberg-Moore譜序列等[7].2012年,B.Edalazadeh計(jì)算了李代數(shù)的Hochschild-Serre譜序列,進(jìn)而得到其上同調(diào)并給出了簡(jiǎn)化計(jì)算譜序列的方法[8].2013年,V.J.Barco闡述了簡(jiǎn)化計(jì)算李代數(shù)譜序列的一些性質(zhì)并計(jì)算了低維冪零李代數(shù)的譜序列[9].

    1970年,M.Vergne在計(jì)算冪零李代數(shù)的上同調(diào)時(shí),提出了Filiform李代數(shù)的概念[10].2001年,M.Gilg對(duì)復(fù)數(shù)域上維數(shù)小于等于8的Filiform李超代數(shù)進(jìn)行了分類并給出了Filiform李超代數(shù)Ln,m的形變[11-12].2006年,A.Fialowski和D.Millionschikov計(jì)算了H?(m0)和H?(m1)的上同調(diào)并討論了與表示論的關(guān)系[13].

    事實(shí)上,大多數(shù)代數(shù)方面的譜序列是與濾過復(fù)形相關(guān)的.本文利用這種方法并受文獻(xiàn)[9]的啟發(fā),計(jì)算了四維Filiform李超代數(shù)的譜序列,進(jìn)而得到其上同調(diào).

    2 基本概念

    設(shè)V,W 為超空間,σ:V→W 是一個(gè)線性映射.σ稱為偶的,如果σ(Vα)?Wα;σ稱為奇的,如果

    Z2-分次向量空間具有雙線性乘法[,]:g×g→g,稱g是李超代數(shù),如果滿足以下三條:

    定義 2.1[11]設(shè)是冪零李超代數(shù),稱g的超冪零指數(shù)為(p,q),如果但但其中設(shè)且稱g是Filiform李超代數(shù),如果它的超冪零指數(shù)是(n,m),記為F(n,m).

    引理 2.1[11]四維Filiform李超代數(shù)在同構(gòu)意義下分為如下三類(用{X0,X1|Y1,Y2}表示它的一個(gè)齊次基):

    定義 2.2[14]譜序列是一個(gè)雙分次Abel群族連同微分算子滿足其中r∈N,p,q∈Z.

    3 四維 Filiform李超代數(shù)的譜序列及上同調(diào)

    利用文獻(xiàn)[9]中的思想,即由F1,2降中心列的零化子空間構(gòu)造F1,2如下濾過,令

    進(jìn)而有表1,表2成立.

    表1 V(n,1)的基及其維數(shù)

    表2 V(n,2)的基及其維數(shù)

    其中j≥0,u=0,1.下文不加注釋的用V(n,v)表示ΛnV(1,v),v=1,2,簡(jiǎn)記F1,2=g.

    表3 E0的基及其維數(shù)

    其中j≥0,u=0,1,v=1,2.

    證明由(6)式知,表6,表7成立.

    表6 的基及其維數(shù)

    表6 的基及其維數(shù)

    n E0,n0的基 dimE0,n00??0 1 ?Y?2 1 2 X?0∧Y?2,X?1∧Y?2 Y?1 ∧Y?2,Y?2∧Y?2 4 ≥3 X?u∧j1Y?1∧n-j1-1Y?2 X?0∧X?1∧j2Y?1∧n-j2-2Y?2 4n-4 ∧j3Y?1 ∧n-j3Y?2

    表7 的基及其維數(shù)

    表7 的基及其維數(shù)

    n E1,n-10  的基 dimE1,n-100 i ?1 1 X?0,X?1 Y?1 3 ≥2 X?u∧n-1Y?1 X?0∧X?1∧n-2Y?1,∧nY?1 4

    其中0≤j1≤n-2,0≤j2≤n-3,0≤j3≤n-1,u=0,1.

    由(7)式知,表8,表9成立.

    表8 的基及其維數(shù)

    表8 的基及其維數(shù)

    n E0,n1  的基dimE0,n10??0 1 ?Y?2 1 2 X?0∧Y?2,X?1∧Y?2 Y?1 ∧Y?2 3 ≥3 X?0∧n-1Y?2,X?1∧n-2Y?1∧Y?2 ∧n-1Y?1∧Y?2,X?0∧X?1∧n-3Y?1∧Y?2 4

    表9 的基及其維數(shù)

    表9 的基及其維數(shù)

    n E1,n-11  的基 dimE1,n-110 i ?1 1 X?0,X?1 Y?1 3 ≥2 X?u∧n-1Y?1 X?0∧X?1∧n-2Y?1,∧nY?1 4

    由(8)式知,表10,表11成立.

    表10 =的基及其維數(shù)

    表10 =的基及其維數(shù)

    n E0,n2 =E0,n∞ 的基 dimE0,n2 =E0,n∞0,1 ? ? 0 2 X?0∧Y?2 ?1 ≥3 X?0∧n-1Y?2 X?0∧X?1∧n-2Y?2 2

    表11 =的基及其維數(shù)

    表11 =的基及其維數(shù)

    n E1,n-1 2 =E1,n-1∞ 的基 dimE1,n-1 2 =E1,n-1∞0 i ?1 1 X?0,X?1 Y?1 3 2 X?1∧Y?1 X?0∧X?1,Y?1∧Y?1 3 ≥3 X?1∧n-1Y?1 ∧nY?1 2

    表12 E0的基及其維數(shù)

    表13 E1的基及其維數(shù)

    表14 E2=E∞的基及其維數(shù)

    其中j≥0,u=0,1,v=1,2.

    證明類似定理3.1的證明可得表12,表13,表14.

    表15 E0的基及其維數(shù)

    表16 E1的基及其維數(shù)

    表17 E2=E∞的基及其維數(shù)

    證明類似定理3.1的證明可得表15,表16,表17.

    注3.1當(dāng)n為奇(偶)數(shù)時(shí),文中所有的表格的第2列為偶(奇)元素,第三列為奇(偶)元素.

    由(9)式,可得到四維Filiform李超代數(shù)的任意階同調(diào)群,于是有如下推論.

    表18 的基及其維數(shù)

    表18 的基及其維數(shù)

    n Hn(F(1)1,2)的基 dimHn(F(1)1,2)0 i ?1 1 X?0,X?1 Y?1 3 ≥2 X?0∧n-1Y?2,X?1∧n-1Y?1 X?0∧X?1∧n-2Y?2,∧nY?1 4

    表19 的基及其維數(shù)

    表19 的基及其維數(shù)

    n Hn(F(2)1,2)的基 dimHn(F(2)1,2)0 i ?1 1 X?0,X?1 Y?1 3 ≥2 X?0∧n-1Y?1,X?0∧n-1Y?2-X?1∧n-1Y?2 X?0∧X?1∧n-2Y?2,∧nY?1 4

    表20 的基及其維數(shù)

    表20 的基及其維數(shù)

    n Hn(F(3)1,2)的基dimHn(F(3)1,2)0 i ?1 ≥1 X?0∧n-1Y?2 (n-1)X?0∧X?1∧n-2Y?2+Y?1∧n-1Y?2 2

    [1]Leray J.L′anneau d′homologie d′une représentation[J].C.R.Acad.Sci.,1946,222:1366-1368.

    [2]Weibel C A.An Introduction to Homological Algebra[M].Cambridge:Cambridge University Press,1994.

    [3]Koszul J L.Sur les opérateurs de dérivation dans un anneau[J].C.R.Acad.Sci.Paris.,1947,225:217-219.

    [4]Dixon J A.Calculation of BRS cohomology with spectral sequences[J].Commun.Math.Phys.,1991,139:495-526.

    [5]Barnes D W.On the length of the spectral sequence of a Lie algebra extension[J].Proc.Amer.Math.Soc.,2001,129:347-350.

    [6]Kuribayashi K.Eilenberg-Moore spectral sequence calculation of function space cohomology[J].Manu.Math.,2004,114:305-325.

    [7]Romero A,Rubio J,Sergeraert F.Computing spectral sequence[J].J.Sym.Compu.,2006,41:1059-1079.

    [8]Edalatzadeh B.On Hochschild-Serre spectral sequence of Lie algebras[J].J.Math.,2012,355:61-66.

    [9]Viviana J B.On a spectral sequence for the cohomology of a nilpotent Lie algebra[J].J.Alg.App.,2015,14,ID:145007817;arXiv:1204.4123v3.

    [10]Vergne M.Cohomologie des algèbres de Lie nilpotentes.Applicationà l′étude de la varièté des algèbres de Lie nilpotentes[J].Bull.Soc.Math.France,1970,178:81-116.

    [11]Gilg M.Low-dimensional Filiform Lie superalgebras[J].Rev.Math.Compu.,2001,14:463-478.

    [12]Gilg M.On deformation of Filiform Lie superalgebra Ln,m[J].Commun.Alg.,2004,32:2099-2115.

    [13]Fialowski A,Millionschikov D.Cohomology of graded Lie algebra of maximal class[J].J.Alg.,2006,269:157-176.

    [14]Musson I.Lie Superalgebras and Enveloping Algebras[M].Rhode Island:Amer.Math.Soc.,2012,355-361.

    Spectral sequences and cohomology of four-dimensional Filiform Lie superalgebras

    Ma Yingchao,Liu Wende

    (Department of Mathematics,Harbin Normal University,Heilongjiang150025,China)

    In this paper,employing the classification of Filiform Lie superalgebras of dimension 4 over the complex field,we determine all spectral sequences of four-dimensional Filiform Lie superalgebras by means of computation.As a result,we obtain all cohomology of four-dimensional Filiform Lie superalgebras.

    Filiform Lie superalgebras,spectral sequences,cohomology

    O154.2

    A

    1008-5513(2015)03-0282-09

    10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.009

    2015-01-01.

    國(guó)家自然科學(xué)基金(11171055,11471090);黑龍江省杰出青年基金(JC201004).

    馬穎超(1990-),碩士生,研究方向:李代數(shù)與李超代數(shù).

    劉文德(1965-),博士,教授,研究方向:李代數(shù)與李超代數(shù).

    2010 MSC:17B30,16E40,55T99

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