記憶阻尼力作用下非相對(duì)論吸積盤(pán)的隨機(jī)共振

汪志云，陳培杰

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記憶阻尼力作用下非相對(duì)論吸積盤(pán)的隨機(jī)共振

汪志云，陳培杰

(湖北文理學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，湖北襄陽(yáng)441053)

采用受記憶阻尼力和色關(guān)聯(lián)隨機(jī)力作用下的廣義朗之萬(wàn)方程描述黑洞吸積盤(pán)的垂向振蕩，用拉普拉斯變換的方法推導(dǎo)得到吸積盤(pán)隨機(jī)振蕩的光度和功率密度譜，并分析阻尼力的記憶時(shí)間和吸積盤(pán)系統(tǒng)參數(shù)對(duì)功率譜曲線的影響. 研究結(jié)果表明：隨著阻尼力記憶時(shí)間的增大，功率譜()隨頻率的變化從單調(diào)減小到出現(xiàn)極大值，曲線上出現(xiàn)了單峰和多峰的隨機(jī)共振現(xiàn)象．粘滯系數(shù)、吸積率和中心黑洞的質(zhì)量對(duì)曲線上共振峰的強(qiáng)度和位置都有較大的影響．

記憶阻尼力；廣義朗之萬(wàn)方程；吸積盤(pán)；功率密度譜；隨機(jī)共振

在天體物理中，包圍致密天體的吸積盤(pán)已經(jīng)成為解釋許多天文觀測(cè)現(xiàn)象的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模型，吸積盤(pán)作為類(lèi)星體和黑洞雙星系統(tǒng)等致密天體高能輻射的主要能源已被廣泛接受[1-2]．近來(lái)年，隨機(jī)力作用下的吸積盤(pán)振蕩引起了越來(lái)越多的關(guān)注，其研究理論也在不斷完善，并成功地解釋了一些天體的光變特性[3-9]．如Harko 和 Mocanu等用數(shù)值模擬方法，推導(dǎo)出廣義相對(duì)論框架下超大質(zhì)量黑洞吸積盤(pán)垂向振蕩光度，并分析了功率密度譜隨頻率變化[4]；Leung 等研究發(fā)現(xiàn)Blacc天體24小時(shí)內(nèi)的光度變化與吸積盤(pán)的隨機(jī)振蕩有關(guān)[5]. 這些研究均采用一個(gè)廣義朗之萬(wàn)方程來(lái)描述吸積盤(pán)的振蕩．基于此模型，我們分析了在相對(duì)論和非相對(duì)論兩種框架下吸積盤(pán)隨機(jī)振蕩光度的功率密度譜，并討論了功率密度譜曲線上的隨機(jī)共振現(xiàn)象，解釋黑洞雙星X射線的低頻準(zhǔn)周期振蕩[6-8]. 然而這些模型并不能解釋高頻準(zhǔn)周期振蕩，因?yàn)槠涔舱耦l率是小于１的，并且所采用朗之萬(wàn)方程中的阻尼力是固定不變的．最近研究表明，阻尼力的記憶因素對(duì)于吸積盤(pán)的動(dòng)力學(xué)行為有較大的影響[9-10]. 本文主要工作是在Leung等人在文獻(xiàn)[10]提出的模型基礎(chǔ)上，用考慮記憶阻尼力和色關(guān)聯(lián)隨機(jī)力共同作用的廣義朗之萬(wàn)方程描述黑洞吸積盤(pán)垂向隨機(jī)振蕩，并用拉普拉斯變換方法從理論上計(jì)算其振蕩光度的功率密度譜，討論系統(tǒng)參數(shù)對(duì)功率譜曲線的影響，分析其共振現(xiàn)象．

1 記憶阻尼力和隨機(jī)力作用下吸積盤(pán)振蕩的功率密度譜

考慮包圍一黑洞或中子星的標(biāo)準(zhǔn)吸積薄盤(pán)，將吸積盤(pán)作為整體，受記憶阻尼力和隨機(jī)力作用產(chǎn)生振蕩，其垂向振蕩可以用一廣義的朗之萬(wàn)方程描述[5]：

式(1)中，是盤(pán)的垂向振蕩位移，且隨時(shí)間變量和發(fā)生變化；是由黑洞雙星系統(tǒng)決定的常量；M是吸積盤(pán)質(zhì)量；阻尼核函數(shù)()的表示式為：

式(2)中，是阻尼力的強(qiáng)度，表示吸積盤(pán)能量耗散的強(qiáng)度；是阻尼力記憶時(shí)間. 式(1)中，()是與記憶阻尼力有關(guān)聯(lián)的隨機(jī)力，其平均值和在不同時(shí)間和的關(guān)聯(lián)滿(mǎn)足以下

式(3)中，是決定隨機(jī)力作用大小的常量.

式(4)中，()滿(mǎn)足統(tǒng)計(jì)性質(zhì)為,.

假設(shè)0時(shí)吸積盤(pán)垂向振蕩的位移和速度分別為. 通過(guò)拉普拉斯變換，可以求解方程(4)，并得到吸積盤(pán)在任意時(shí)刻的位移、速度和加速度分別為：

式中，1、A和3是由初始條件和系統(tǒng)參數(shù)所決定的積分常量，G1、G2和0是代數(shù)方程的3個(gè)根．

吸積盤(pán)垂向振蕩的總能量可以表示為

由于存在粘滯耗散和隨機(jī)力的作用，吸積盤(pán)的能量會(huì)損失．用單位時(shí)間內(nèi)損失的能量表示吸積盤(pán)的振蕩光度，則有

那么可以得到吸積盤(pán)振蕩平均光度的自關(guān)聯(lián)函數(shù)為

由以上推導(dǎo)可知，要得到受阻尼力和隨機(jī)力作用下吸積盤(pán)的功率密度譜，必須知道吸積盤(pán)的質(zhì)量、阻尼強(qiáng)度等物理量．對(duì)于一個(gè)包圍黑洞的流體吸積標(biāo)準(zhǔn)薄盤(pán)，其質(zhì)量可表示為[11-12]：

式中，R和R分別表示吸積盤(pán)的最內(nèi)邊緣半徑和外半徑，R是調(diào)整半徑，是面密度指數(shù).S和S0分別表示吸積盤(pán)內(nèi)部和邊界層的面密度．令R=3R，r=R/R，r=R/R，=/M，其中表示引力半徑，和分別為引力常量和光速. 則[12]，、分別為粘滯系數(shù)和以臨界吸積為單位的吸積率. 根據(jù)文獻(xiàn)[5]，吸積盤(pán)振蕩阻尼力的強(qiáng)度和頻率分別為：

2 吸積盤(pán)振蕩光度功率密度譜的隨機(jī)共振

通過(guò)以上分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)系統(tǒng)的物理參數(shù)選取一定值時(shí)，可以通過(guò)拉普拉斯變換方法求解吸積盤(pán)垂向振蕩的位移、速度和加速度，得到振蕩光度的功率密度譜(). 因此，將所有參量都采用無(wú)量綱量，并假設(shè)吸積盤(pán)面密度指數(shù)=3/5，調(diào)整半徑為R=3R、外半徑為R=104R，可求解式(8)即得到功率密度譜()隨譜頻率變化關(guān)系．下面討論各系統(tǒng)參數(shù)對(duì)功率密度譜曲線上隨機(jī)共振現(xiàn)象的影響.

2.1 阻尼力記憶時(shí)間τ對(duì)功率密度譜的影響

當(dāng)阻尼核函數(shù)的記憶時(shí)間τ取不同值時(shí)，吸積盤(pán)振蕩光度的功率密度譜曲線如圖1所示. 可以看出：功率密度譜隨頻率的變化曲線出現(xiàn)一截?cái)?，將其大致分為斜率不相同的兩部分，且?dāng)τ取不同值時(shí)，曲線上出現(xiàn)了不同數(shù)量的極大值，即出現(xiàn)了不同類(lèi)型的隨機(jī)共振現(xiàn)象. 當(dāng)τ取值較小(τ =0.01)時(shí)，(ν)隨譜頻率ν單調(diào)減小，并沒(méi)有出現(xiàn)極值，即無(wú)共振現(xiàn)象；當(dāng)τ取值從0.1到1之間時(shí)，曲線不再是單調(diào)變化，而是出現(xiàn)了一個(gè)極大值，這是典型的隨機(jī)共振現(xiàn)象. 隨著τ的增大，共振峰越來(lái)越尖銳，共振頻率越來(lái)越大，共振現(xiàn)象更加明顯；當(dāng)τ =10時(shí)，曲線上出現(xiàn)了3個(gè)共振峰，此為多峰隨機(jī)共振. 最高共振頻率對(duì)應(yīng)的共振峰相比較另外兩個(gè)共振峰，峰值更高，更尖銳，而較低頻率對(duì)應(yīng)的兩個(gè)共振峰靠得很近，高度幾乎相同，中間形成一個(gè)共振谷；而當(dāng)τ =50時(shí)，共振峰的數(shù)量卻減小到兩個(gè)，形成雙峰共振. 隨著記憶時(shí)間的延長(zhǎng)，系統(tǒng)的共振現(xiàn)象更加明顯，共振峰的位置向譜頻率增大的方向移動(dòng)，即共振頻率增大.

注：

圖1不同記憶時(shí)間阻尼力作用下吸積盤(pán)隨機(jī)振蕩光度的功率密度譜

以上現(xiàn)象說(shuō)明阻尼力的記憶時(shí)間對(duì)吸積盤(pán)振蕩光度功率密度譜的共振現(xiàn)象具有十分重要的影響，相比較固定阻尼作用下的情況[8]，產(chǎn)生的共振行為更加豐富，即產(chǎn)生多峰共振. 可以解釋為阻尼力的延遲記憶使更多的隨機(jī)力所做功轉(zhuǎn)換成粘滯耗散的能量，光度增強(qiáng)，共振現(xiàn)象更容易發(fā)生.

2.2 吸積盤(pán)的粘滯系數(shù)和吸積率對(duì)功率密度譜的影響

圖2表示的是產(chǎn)生阻尼力的粘滯系數(shù)和吸積盤(pán)的吸積率取不同值時(shí)，吸積盤(pán)振蕩光度的功率密度譜曲線. 可以清晰地看到：和對(duì))～ν曲線的影響是完全相同的. 當(dāng)它們?nèi)≈递^小時(shí)，曲線上現(xiàn)三個(gè)極大值，其特征如圖1所示一致；隨著的增大，低頻對(duì)應(yīng)的兩個(gè)共振峰不斷靠攏，且兩峰之間的共振谷位置不但上升，使兩峰最后合并成一個(gè)共振峰，形成雙峰共振；(ν)～ν曲線隨和的增大而上升，但共振現(xiàn)象減弱，共振峰的位置向頻率增大的方向移動(dòng).

從式(2)、(3)和(9)可以發(fā)現(xiàn)，粘滯系數(shù)和吸積率取值較大時(shí)，吸積盤(pán)邊界層的面密度S0減小，吸積盤(pán)的質(zhì)量越小，系統(tǒng)的固有頻率越大，則共振峰所對(duì)應(yīng)的頻率(共振頻率)越高，這與固定阻尼作用下的情況(和不影響共振峰的位置[8])是不相同的. 另外，由式(6)和(7)可以發(fā)現(xiàn)，吸積盤(pán)質(zhì)量的減小，導(dǎo)致吸積盤(pán)垂向振蕩的能量與光度都降低，使隨機(jī)共振現(xiàn)象減弱.

注：(a)(b)

圖2粘滯系數(shù)和吸積率取不同值時(shí)吸積盤(pán)隨機(jī)振蕩光度的功率密度譜

2.3 中心黑洞的質(zhì)量對(duì)功率密度譜的影響

為了討論黑洞雙星系統(tǒng)參數(shù)對(duì)功率密度譜的影響，圖3表示中心黑洞的質(zhì)量取不同值時(shí)吸積盤(pán)振蕩光度的功率密度譜. 這組曲線顯示出與前面相同的雙峰或三峰共振現(xiàn)象. 黑洞質(zhì)量對(duì)低頻率部分(<0.2)對(duì)應(yīng)的曲線沒(méi)有影響；當(dāng)黑洞質(zhì)量越大時(shí)，共振現(xiàn)象更加明顯；隨著黑洞質(zhì)量的減小，由三峰共振演變成為雙峰共振，峰值更高，且共振峰的位置卻向頻率增大的方向移動(dòng). 由式(10)可知，黑洞的質(zhì)量主要影響吸積盤(pán)振蕩的固有頻率，質(zhì)量越大，固有頻率越小，所以共振頻率也就越小.

注：

圖3 黑洞質(zhì)量取不同值時(shí)吸積盤(pán)隨機(jī)振蕩光度的功率密度譜

3 結(jié)語(yǔ)

本文用一個(gè)受記憶阻尼力和隨機(jī)力作用下的廣義朗之萬(wàn)方程表示吸積盤(pán)系統(tǒng)垂向振蕩，用拉普拉斯變換的方法求解振蕩的位移和速度，并求出其振蕩光度的功率密度譜. 通過(guò)討論不同參數(shù)對(duì)功率譜的影響可以發(fā)現(xiàn)：功率密度譜隨譜頻率的變化出現(xiàn)兩種不同形式的隨機(jī)共振現(xiàn)象，當(dāng)阻尼力記憶時(shí)間較短時(shí)，功率密度譜隨頻率單調(diào)減小，而隨著記憶時(shí)間的延長(zhǎng)，(ν)～ν曲線上出現(xiàn)了極大值，且其數(shù)量也由一個(gè)增加到三個(gè)，而后又減小到兩個(gè)，即存在單峰和多峰隨機(jī)共振現(xiàn)象. 系統(tǒng)的粘滯系數(shù)和吸積率對(duì)功率密度譜曲線的影響是相同. 而中心黑洞的質(zhì)量因?yàn)闆Q定了吸積盤(pán)垂向振蕩的固有頻率，所以其主要影響隨機(jī)共振的頻率，質(zhì)量越小，共振頻率越大，這與實(shí)際觀測(cè)的黑洞雙星系統(tǒng)X射線光變曲線的高頻準(zhǔn)周期振蕩頻率與質(zhì)量成比的關(guān)系相一致．

相對(duì)于文獻(xiàn)[8]所討論的固定阻尼力作用下吸積盤(pán)振蕩光度的功率密度譜，曲線上不僅出現(xiàn)了雙峰共振，而且其共振頻率也增加到幾十赫茲，這與觀測(cè)到黑洞雙星系統(tǒng)高頻準(zhǔn)周期振蕩(HFQPOs)相似．因此，考慮記憶阻尼力作用下的吸積盤(pán)模型可以作為解釋黑洞雙星系統(tǒng)的光變特性的理論依據(jù)．

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Stochastic Resonance of Non-relativistic Accretion Disks Driven by a Memory-Damped Friction

WANG Zhiyun, CHEN Peijie

(School of Physics and Electronic Engineering, Hubei University of Arts and Science, Xiangyang 441053, China)

By using a generalized Langevin equation to describe the vertical oscillations of a non-relativistic disk subjected to a memory-damped friction and a stochastic force, we derive the power spectrum density (()) of accretion disk oscillating luminosity by the method of Laplace transform, and discuss the influence of system parameters on the() curves. The results show that as the memory timeof the friction increase, the variation of() with spectrum frequencyfrom monotonous decreasing to occur maximums, and the phenomenon of a general stochastic resonance with single-peak and multi-peaks can be found in() curves. The viscidity coefficient, mass accretion rate and the massof black hole have significant influences on the SR phenomena in system of black hole binaries.

Memory-damped friction; Generalized Langevin equation; Accretion disk; Power spectrum density; Stochastic resonance

(責(zé)任編輯：饒 超)

P145. 8

A

2095-4476(2015)08-0005-05

2015-03-12;

2015-05-15

湖北省教育廳重點(diǎn)研究項(xiàng)目(D20132603)

汪志云(1973－), 男, 湖北浠水人, 湖北文理學(xué)院物理與電子工程學(xué)院副教授