非緊流形間一類映射的Banach流形

龔文敏

(北京師范大學數(shù)學科學學院,數(shù)學與復雜系統(tǒng)教育部重點實驗室,北京100875)

非緊流形間一類映射的Banach流形

龔文敏

(北京師范大學數(shù)學科學學院,數(shù)學與復雜系統(tǒng)教育部重點實驗室,北京100875)

基于Piccione的結果證明了復合映射comp(N,P)×(M,N)→(M,P)的可微性并給出了相應的求導公式,從而推廣了Eliasson關于comp第2個變量偏導數(shù)可微性結果至非緊流形M的情形.

Banach流形;整體分析;可微性

整體分析與幾何、低維拓撲、非線性分析與數(shù)學物理等學科中許多問題的研究需要考慮由流形間映射構成的Banach流形[1-2].對有限維的C∞流形M和N,如M緊致,則從M到N的Cr(0≤r≤+∞)可微映射構成的集合具有Banach流形結構(詳見文獻[3-4]);又兩個這樣的Banach流形之間的復合映射的可微性及求導公式也已得到(見文獻[5]).在M是非緊流形的情形,文獻[6]利用公理化的辦法解決了某類具有直到k階有界導數(shù)的可微映射全體(M,N)上Banach微分流形結構的存在性問題.進一步,為了得到其整體分析性質,需要研究這樣的Banach流形間復合映射的可微性.首先,給出了復合函數(shù)comp:(N,P)×(M,N)→(M,P)的求偏導公式.然后,通過引入假設條件(iii),證明了定理3,在此基礎上證明了復合函數(shù)comp的可微性并給出了具體的求導公式(定理2).

1 預備知識

設M為(非緊)拓撲空間,N是滿足Hausdorff公理和第二可數(shù)公理的Ck微分流形(k≥3).假設由某類函數(shù)f:M→R構成的線性空間(M,R)是一個可Banach空間,即(M,R)的拓撲是由裝備在其上的某個范數(shù)誘導的拓撲.令Cb(M,Rn)為從M到Rn所有像是有界的映射構成的集合.它在通常范數(shù)‖·‖∞下構成一個Banach空間.對Rn中任何開集U,易證是Cb(M,Rn)中的開集.

令

(ii)如果U是Rn中的開集,T:U→Rm是Cl映射,整數(shù)l≥0,則映射

有良好定義且連續(xù).

命題1[6]設M為拓撲空間,(M,R)為可Banach化空間且滿足公理(i)、(ii),U為Rn中開集且T:U→Rm為Ck映射(k≥l,整數(shù)l≥0如公理(ii)),則映射

是Ck-l的.

定理1[6]設M為拓撲空間,N是Rn的Ck+l(k≥2)子流形,則(M,N)為(M,Rn)的Ck-1Banach子流形且在任意f∈(M,N)處的切空間Tf(M,N)可表示為

注1 對任意Ck+l(k≥2)無邊流形N,根據(jù)Whitney定理有N到某個歐氏空間的Ck+l(k≥2)嵌入φ.利用上面的定理可知(M,φ(N))是一個Ck-1Banach流形,由φ為雙射可定義(M,N)上的Banach微分流形結構,且此Banach微分流形結構與嵌入映射的選取無關.

R)有界,?i=0,1,…,r}.

定義其上的范數(shù)‖·‖為

命題2[6]設V?Rm是開子集,T∈Cr+1(V,Rn),則

有良好定義且連續(xù),從而公理(ii)成立.

現(xiàn)在設M是Cr光滑無邊流形,不一定是緊致的;因歐式空間微分同胚于其中任意開球,為技術上方便我們總能假設該流形能被嵌入到某歐式空間Rd的有界子集中.設U是Rd中包含M的一個開子集,記(M,R)為限制映射

不難知道公理(i)成立.再由交換圖表

其中P1,P2為商映射,及命題1可知第1行ωT連續(xù),從而第2行ωT也是連續(xù)的,因此對于l=r+1公理(ii)成立.由定理1,(M,N)是Cs-2Banach流形.

本文的主要結果是:

定理2 設M,N,P為Cr+s光滑無邊流形(r≥1,s≥3),假設s≥3且M,N,P分別被嵌入到歐式空間的有界子集中,則映射

是Cs-2的且有

2 主要結果的證明

和

下面兩個引理表明它們都是Cs-2的.

證明 設V為N在Rn中的管狀鄰域:V→N為Cr+s-1類收縮映射→Rp為Cr+s類嵌入映射,則映射.由命題1

是C(s-2)的且有

引理2 αg是Cs-2的且Dαg(f):Tf(N,P)→Tf°g(M,P)可表示為

是Cs-2映射且有求導公式(3).

為證明定理2,先在前面公理(i)和公理(ii)的基礎上增加假設條件:

(iii)對于公理(ii)中l(wèi)及Rm和Rn中的任意兩個開集U,V映射

有良好定義且連續(xù).

是Cs且有求導公式

其中Ω?{(x,y)∈V×V|(1-t)x+ty∈V,?t∈[0, 1]},

易知Ω為V×V中開集且有θf(x,x)=0,?(x,x)∈Ω.當f∈(V,Rn)時,θf∈(Ω,Rn).從而由公理(ii),θf還定義了一個連續(xù)的映射

由假設條件(iii),式(4)可改寫為

其中τ1,τ2按假設條件(iii)分別定義為

和

由前面θf的性質可得,當η→0時,τ2(g+η,g)θf→0.再結合式(5)可知,

所以Dτ是Cs-1的,從而τ是Cs的.

下面考慮s=1時comp的微分.對充分小的X∈Cl+1(V,Rp),Y∈(U,Rn)有

其中第2個等式用到了ωf的可微性,第3個等式用到了τ的連續(xù)性.所以

最后采用歸納方式可證comp是Cs的.

其中C(g)是一個充分大的常數(shù),通過對r作歸納可得此常數(shù).由式(6)

表明τ是局部Lipschitz的,從而是連續(xù)的.

定理2的證明 令U,V分別是M和N在Rm和Rn中的管狀鄰域,對應收縮映射分別設為π:U→M和:V→N.又令:P→Rp和:N→V都為嵌入映射.則

復合映射comp可分解為:

其中,第2個等式用到了定理3,第4個等式用到引理2,第6個等式用到引理2,最后一個等式成立是因為將P視為包含于Rp中的子流形.

致謝 衷心地感謝盧廣存教授的悉心指導.

[1] Chang K C.Infinite dimensional morse theory and multiple solution problems[M].Boston:Birkhauser,1993.

[2] Lang S.Introdution to differentiable manifolds[M].New Xork:Interscience,1962.

[3] Eells J.A setting for global analysis[J].Bull Amer Math Soc,1966,72:751-807.

[4] Palais R.Foundations of global nonlinear analysis[M]. New Xork:Benjamin,1968.

[5] Elliasson H I.Geometry of manifolds of maps[J].J Diff Geom,1967,1:169-194.

[6] Paolo P,Daniel Tausk V.On the Banach differential structure for sets of maps on non-compact domains[J]. Nonlinear Analysis,2000,46:245-265.

Banach Manifolds of a Class of Maps Between Non Compact Manifolds

GONG Wen-min
(Laboratory of Mathematics and Complex Systems of Ministry of Education, School of Mathematical Sciences,Beijing Normal University,Beijing 100875,China)

Based on the result of Piccione P.,we prove the differentiability of the map comp:Cr+sb(N,P)×Crb(M,N)→Crb(M,P) and establish the formula of the derivative of comp,and so generalize Eliasson H.I.′s result regarding the differentiability of comp′s partial derivative with respect to the second variable to the case,in which M is a non-compact manifold.

Banach manifolds;global analysis;differentiability

10.6043/j.issn.0438-0479.2015.02.013

O 186

A

0438-0479(2015)02-0229-04

2014-02-26 錄用日期:2014-08-24

國家自然科學基金(10971014,11271044)

Email:gongwenmin0774@163.com

龔文敏.非緊流形間一類映射的Banach流形[J].廈門大學學報:自然科學版,2015,54(2):229-232.

:Gong Wenmin.Banach manifolds of a class of maps between non compact manifolds[J].Journal of Xiamen University: Natural Science,2015,54(2):229-232.(in Chinese)