階化平移Toroidal李代數(shù)的Boson表示

連海峰,葉從峰

(1.福建農(nóng)林大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院,福建福州350002;2.福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建福州350108)

階化平移Toroidal李代數(shù)的Boson表示

連海峰1*,葉從峰2

(1.福建農(nóng)林大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院,福建福州350002;2.福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建福州350108)

階化平移Toroidal李代數(shù)是Toroidal李代數(shù)的推廣,它們基本上都不是根階化的.利用Weyl代數(shù)和Clifford代數(shù)分別構(gòu)造了階化平移Toroidal李代數(shù)的一類帶參數(shù)λ的Boson表示和Fermion表示,這類表示是忠實(shí)的,并且證明這類表示是酉表示的充要條件是λ=

Toroidal李代數(shù);Boson表示;酉表示

Torodial李代數(shù)是仿射Kac-Moody代數(shù)的推廣,它是多元Loop代數(shù)的泛中心擴(kuò)張.所有的Toroidal李代數(shù)都是根階化的,關(guān)于它的發(fā)展歷史、結(jié)構(gòu)理論和表示理論可參閱文獻(xiàn)[1].階化平移Toroidal李代數(shù)最早出現(xiàn)在文獻(xiàn)[2]中,它是在研究TKK(Tits-Kantor-Koecher)代數(shù)的過程中發(fā)現(xiàn)的.隨后,文獻(xiàn)[3]推廣了這一類無窮維李代數(shù)(稱之為階化平移Toroidal李代數(shù)),并研究它們的導(dǎo)子、泛中心擴(kuò)張以及有限維不可約表示.這類代數(shù)的特點(diǎn)在于它們基本上不是根階化的.文獻(xiàn)[4]研究2個(gè)變量情況下該李代數(shù)的自同構(gòu)群,并構(gòu)造了一類Boson表示.文獻(xiàn)[5]指出了這類李代數(shù)的自同構(gòu)群與半格上的線性群的關(guān)系.

Boson場和Fermion場與頂點(diǎn)算子代數(shù)有著密切的關(guān)系.Frenkel等人最先利用Clifford代數(shù)中的元素和Weyl代數(shù)中的元素分別構(gòu)造了仿射正交李代數(shù)的Fermion表示和典型仿射李代數(shù)的Boson表示[6-7].文獻(xiàn)[8]構(gòu)造了擴(kuò)張仿射李代數(shù)的Boson表示和Fermion表示,并研究表示的酉性.本文構(gòu)造了李代數(shù)的一類帶參數(shù)λ的Boson表示和Fermion表示,并研究表示的酉性,主要結(jié)果見定理1和定理2.

1 階化平移toroidal李代數(shù)

設(shè)son(n≥3)是n階復(fù)正交李代數(shù).令aij=Eij-Eji,其中Eij是(i,j)元為1,其余元為0的n階矩陣.{aij|1≤i＜j≤n}是son的一組基,且當(dāng)i,j,k,l互不相同時(shí),有

其中,1≤i,j,k,l≤n且互不相同,g,h∈A.

引理1[3]son?關(guān)于上述擴(kuò)積運(yùn)算構(gòu)成李代數(shù),記作Ln(f1,…,fn).當(dāng)f1,…,fn都是中可逆元時(shí),Ln(f1,…,fn)?Ln(ts1,…,),其中s1,…,sn都是Zν中每個(gè)分量為0或1的元素.

其中,1≤i,j,k,l≤n且互不相同,α,β∈Zν.

括積運(yùn)算如下:

其中,βσ,ατ分別為β的第σ個(gè)分量和α的第τ個(gè)分量.定義Dσ(α)在李代數(shù)上的作用使得:

則Dσ(α)是李代數(shù)的導(dǎo)子.容易驗(yàn)證,Der A中的元素做為李代數(shù)的導(dǎo)子也滿足式(2).

2 Boson表示與Fermion表示

其中,ρ=±1,當(dāng)a=b時(shí)δab=1,當(dāng)a≠b時(shí)δab=0.

其中f∈M.對(duì)任意的λ∈C,定義線性映射ψλ:→gl(M)使得:

其中i,j∈{1,…,n},σ∈{1,…,ν},α∈Zν.

由式(5)、(6)可知,當(dāng)i,j,k互不相同時(shí),有

引理2 假設(shè)i,j,k,l∈{1,…,n}且互不相同, α,β∈Zν.則有

證明 由式(4)～(6),有

和

進(jìn)而有

(i)得證.同理可證(ii)和(iii).

引理3 對(duì)任意的σ,τ∈{1,…,ν},α,β∈Zν,都有

證明 由式(4)～(6),有

進(jìn)而有

引理4 假設(shè)i,j∈{1,…,n}且互不相同,σ∈{1,…,ν},α,β∈Zν.則有

證明 由式(4)～(6),有

和

進(jìn)而有

引理5 ψλ:→gl(M)是單射.

證明 假設(shè)x= ∑α∑i＜jcij,αXij(α)+∑α

∑σdσ,αDσ(α),使得ψλ(x)=0,其中cij,α,dσ,α∈C.下面證明x=0.?k∈{1,…,n},β∈Zν,由式(6),有

進(jìn)而有

cik,α=ckj,α=0, ?i,j:i＜k＜j,?α∈Zν;

于是,由k,β的任意性可得cik,α和dσ,α全為0,所以x= 0.因此ψλ是單射.

定理1 對(duì)任意復(fù)數(shù)λ,(M,ψλ)是李代數(shù)的忠實(shí)表示,并且Mm是子模直和.

證明 由引理2～5可知,(M,ψλ)是李代數(shù)的忠實(shí)表示.由式(4)～(7)可知,每一個(gè)Mm都是ψλ()的不變子空間,從而都是M的子模.因此Mm是子模直和.定理得證.

3 酉表示

證明 由ω的定義可知,ω共軛線性且ω2=id.對(duì)任意i,j,k,l∈{1,…,n}且互不相同,α,β∈Zν,σ,τ∈{1,…,ν},有

證明 假設(shè)(M,ψλ)是李代數(shù)關(guān)于反對(duì)合ω的酉表示,(·,·):M×M→C是滿足

的正定Hermite型.對(duì)任意的0≤i≠j≤n,α,β∈Zν,由ψλ和ω的定義,有

(i)(·,·)關(guān)于第一個(gè)分量R-線性,關(guān)于第二個(gè)分量復(fù)共軛線性; =1,…,n,α∈Zν.

由于M=S(V)或Λ(V),容易驗(yàn)證(·,·)是M上的正定Hermite型,且?u,v∈M,i=1,…,n,α∈Zν,有

于是?c∈C,有

所以式(8)成立,從而(M,ψλ)是李代數(shù)的酉表示.綜上所述,定理得證.

[1] 譚紹濱,陳福林.Toroidal李代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示[J].廈門大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,50(2):149-164.

[2] Lian H,Tan S.Stucture and representation for a class of infinite-dimensional Lie algebras[J].Journal of Algebra, 2007,307:804-828.

[3] 孔小麗.階化平移Toroidal李代數(shù)與Baby-TKK代數(shù)的表示[D].廈門:廈門大學(xué),2009.

[4] Chen C,Lian H,Tan S.Automorphism group and representation of a twisted multi-loop algebra[J].Acta Math, Sinica English Series,2010,26(1):143-154.

[5] Xia Z,Tan S,Lian H.Automorphism group of a class of gradation shifting toroidal Lie algebras[J].Algebra Colloquium,2010,17(4):705-720.

[6] Frenkel I.Spinor representations of affine Lie algebras [J].Proc Natl Acad Sci USA,1980,77:6303-6306.

[7] Feingold A,Frenkel I.Classical affine algebras[J].Adv Math,1985,56:117-172.

[8] Gao X.Fermionic and bosonic representations of the extended affine Lie algebra[J].Canad Math Bull,2002,45: 623-633.

Bosonic Representations for Gradation Shifting Toroidal Lie Algebras

LIAN Hai-feng1*,XE Cong-feng2
(1.School of Computer&Information Science,Fujian Agriculture and Forestry University,Fuzhou 350002,China; 2.College of Mathematics&Computer Science,Fuzhou University,Fuzhou 350108,China)

Gradation shifting Toroidal Lie algebras are generalization of Toroidal Lie algebras.In general,they are not graded by root systems.In this paper,using Weyl algebra and Clifford algebra,we construct a class of faithful Bosonic representations and Fermionic representations for the gradation shifting Toroidal Lie algebras with parameterλ.We prove that such a representation is unitary if and only if the parameterλ=

Toroidal Lie algebra;Bosonic representation;unitary representation

10.6043/j.issn.0438-0479.2015.02.012

O 153.5

A

0438-0479(2015)02-0224-05

2014-03-24 錄用日期:2014-08-25

國家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目(11302052);福建省自然科學(xué)基金(2010J05001)

*通信作者:hlian@fafu.edu.cn

連海峰,葉從峰.階化平移Toroidal李代數(shù)的Boson表示[J].廈門大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,54(2):224-228.

:Lian Haifeng,Xe Congfeng.Bosonic representations for gradation shifting toroidal lie algebras[J].Journal of Xiamen University:Natural Science,2015,54(2):224-228.(in Chinese)