引入數(shù)學(xué)史重構(gòu)初中負(fù)數(shù)教學(xué)的嘗試

韋震南

【內(nèi)容摘要】數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化，初步了解人類社會(huì)發(fā)展和數(shù)學(xué)這門學(xué)科的相互作用。在課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，數(shù)學(xué)史逐漸走進(jìn)課堂。

【關(guān)鍵詞】引入 數(shù)學(xué)史 負(fù)數(shù) 重構(gòu)

數(shù)學(xué)史具有強(qiáng)大的教學(xué)功能，如何有效地將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)并發(fā)揮其作用，這是數(shù)學(xué)教師所面臨的一大難題。將數(shù)學(xué)史運(yùn)用到課堂教學(xué)中的方式有四種，分別是附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式。具體來(lái)說(shuō)，怎樣有效運(yùn)用數(shù)學(xué)史來(lái)給學(xué)生講解“負(fù)數(shù)”呢？筆者將運(yùn)用文獻(xiàn)研究法，通過(guò)搜集、篩選和整理相關(guān)研究成果和優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)后，將運(yùn)用數(shù)學(xué)史進(jìn)行負(fù)數(shù)的重構(gòu)式教學(xué)做了如下兩點(diǎn)總結(jié)。所謂重構(gòu)式教學(xué)就是借鑒數(shù)學(xué)史料所記載的負(fù)數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的真實(shí)過(guò)程，將教科書(shū)中所展現(xiàn)的負(fù)數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程進(jìn)行適當(dāng)?shù)馗木?、重?gòu)，從而將負(fù)數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的真實(shí)過(guò)程展示給學(xué)生，幫助學(xué)生更好的理解和接受“負(fù)數(shù)”，有效地將新知識(shí)歸納到原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中。

一、學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)概念之前

在引入負(fù)數(shù)的概念之前，教師可以帶著同學(xué)一起回顧小學(xué)時(shí)接觸的第一次數(shù)的擴(kuò)充，即分?jǐn)?shù)的引入。從生產(chǎn)生活方面和數(shù)學(xué)內(nèi)部（特別是解方程）這兩方面舉例說(shuō)明分?jǐn)?shù)引入的背景、原因以及解決了哪些原來(lái)無(wú)法解決的問(wèn)題，為思維的類比做好鋪墊。從生產(chǎn)生活中舉例，讓同學(xué)們發(fā)現(xiàn)在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)，當(dāng)減數(shù)大于被減數(shù)時(shí)，原有數(shù)系內(nèi)出現(xiàn)了不夠減的情況，可以將這一情況類比分?jǐn)?shù)引入中有些數(shù)不能被整除的情況。從數(shù)學(xué)內(nèi)部來(lái)說(shuō)，引入負(fù)數(shù)后，解決類似x+15=10的方程時(shí)，由無(wú)解變?yōu)橛薪?，?shù)學(xué)所研究的范圍擴(kuò)大了，減法運(yùn)算暢通無(wú)阻?？梢詫⑦@一情況類比引入分?jǐn)?shù)后解決如3x=4這類方程時(shí)，由無(wú)解變?yōu)橛薪?，除法運(yùn)算暢通無(wú)阻。

若教學(xué)時(shí)間充裕，還可以向同學(xué)們展現(xiàn)不同時(shí)空的數(shù)學(xué)家對(duì)同一問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。在解方程方面古代中國(guó)有輝煌的成就，在解方程組等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，數(shù)學(xué)家會(huì)運(yùn)用一種叫“算籌”的計(jì)算工具，將解方程組的過(guò)程可見(jiàn)化、具體化。當(dāng)兩列數(shù)同時(shí)相減時(shí)，在算籌操作中就會(huì)出現(xiàn)“兩算得失相反”的情況，即同時(shí)出現(xiàn)以多減少和以少減多的情況，而正是這一情況的出現(xiàn)讓中國(guó)古代數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了負(fù)數(shù)。

二、從數(shù)學(xué)史中預(yù)見(jiàn)學(xué)生認(rèn)識(shí)和接受負(fù)數(shù)存在的困難

中國(guó)很早就認(rèn)識(shí)到正負(fù)數(shù)，并且由于算法的高度發(fā)達(dá)和算籌將計(jì)算過(guò)程具體化和機(jī)械化，中國(guó)數(shù)學(xué)家自然而然地接受了負(fù)數(shù)的存在。但當(dāng)阿拉伯人將負(fù)數(shù)傳播到歐洲后，西方數(shù)學(xué)家對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)和接受卻歷經(jīng)了漫長(zhǎng)而曲折的過(guò)程。如：法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡就認(rèn)為從0中減去4是天方夜譚；另一位叫阿爾諾的數(shù)學(xué)家還提出了論據(jù)來(lái)駁斥負(fù)數(shù)，即-1：1=1：-1，他提出如下質(zhì)疑，既然-1比1小，那么較小的數(shù)與較大的數(shù)的比和較大的數(shù)與較小的數(shù)的比怎么可能相等；德國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾在《整數(shù)算術(shù)》中稱負(fù)數(shù)是荒謬的數(shù)，因?yàn)樗J(rèn)為從零中減去一個(gè)大于零的數(shù)所得到的結(jié)果是一個(gè)“小于一無(wú)所有”的數(shù)；笛卡爾還將負(fù)數(shù)看作是不合理的數(shù)?？梢?jiàn)西方數(shù)學(xué)家們?cè)趧傞_(kāi)始認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的時(shí)候，存在著一定的困難，這些困難阻礙了他們對(duì)負(fù)數(shù)的接受。如美國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家M·克萊因所說(shuō)，課堂上學(xué)生所遇到的困難，在歷史上數(shù)學(xué)家們同樣也會(huì)遇到過(guò)。因此，數(shù)學(xué)家們?cè)谡J(rèn)識(shí)和接受負(fù)數(shù)的過(guò)程中所遇到的困難及困難的解決對(duì)于讓學(xué)生真正認(rèn)識(shí)和欣然接受負(fù)數(shù)無(wú)疑具有重要的借鑒意義。

人類在建構(gòu)對(duì)負(fù)數(shù)的理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程中，所遇到的最大的困難就是如何跨越原有的認(rèn)識(shí)從而進(jìn)一步擴(kuò)展已有的認(rèn)識(shí)，換而言之就是如何在負(fù)數(shù)的意義和之前對(duì)0的認(rèn)識(shí)兩者之間架起一座溝通的橋梁?？v觀歷史上那些數(shù)學(xué)家對(duì)負(fù)數(shù)的困惑，從中我們可以進(jìn)一步看到數(shù)學(xué)家們認(rèn)識(shí)整數(shù)的內(nèi)在邏輯是：1表示一件物體、2表示兩件物體、3表示三件物體……那0就表示什么都沒(méi)有，而負(fù)數(shù)比0還小，換而言之就是負(fù)數(shù)比“什么都沒(méi)有”還小，“什么都沒(méi)有”就已經(jīng)到了盡頭了，這樣的數(shù)怎么可能存在呢？

三、借鑒數(shù)學(xué)史讓學(xué)生理解負(fù)數(shù)及其數(shù)學(xué)本質(zhì)

因此，在引入負(fù)數(shù)的概念之后，教師就可以引導(dǎo)同學(xué)們自主探索，讓他們?cè)趯?duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)中產(chǎn)生如上述數(shù)學(xué)家一樣的矛盾（即：負(fù)數(shù)比0小，怎么可能存在比“什么都沒(méi)有”還要少的數(shù)）。從而讓同學(xué)們深刻地認(rèn)識(shí)到，在原來(lái)的數(shù)系中引入負(fù)數(shù)后，數(shù)不再僅僅表示實(shí)際物體的量，對(duì)正負(fù)數(shù)的概念要通過(guò)互為相反意義的量來(lái)理解。其次，0的意義不再僅僅是“什么都沒(méi)有”了，0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)同時(shí)也是正數(shù)和負(fù)數(shù)這對(duì)矛盾統(tǒng)一體彼此轉(zhuǎn)化和過(guò)渡的橋梁。不要讓學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)停留在實(shí)際生活層面，要讓其對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)提升到數(shù)學(xué)的本質(zhì)層面，要通過(guò)結(jié)合數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)系擴(kuò)充的思路與方法的分析與梳理，使學(xué)生體會(huì)到人們遇到需要時(shí)可以創(chuàng)造新的數(shù)，并且每次創(chuàng)造的新數(shù)都解決了數(shù)學(xué)內(nèi)部和實(shí)際生活中原先無(wú)法解決的問(wèn)題，而創(chuàng)造新數(shù)的難點(diǎn)在于突破原有的思維方式與認(rèn)知心理，將凝結(jié)在數(shù)學(xué)史發(fā)展中的數(shù)學(xué)家思維打開(kāi)，使之成為引領(lǐng)學(xué)生探究的燈塔與路標(biāo)。

結(jié)束語(yǔ)

實(shí)際上，數(shù)學(xué)這門學(xué)科本身的發(fā)展歷程就是人類數(shù)學(xué)思想的發(fā)展歷程。教師不僅可以利用某一知識(shí)點(diǎn)的歷史背景來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且最重要的是，通過(guò)數(shù)學(xué)家所遇到的困難來(lái)預(yù)見(jiàn)和解釋學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，借鑒歷史發(fā)展的順序來(lái)合理安排學(xué)習(xí)層次的順序，正如波利亞在著作《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書(shū)中所提到的：“只有理解人類如何獲得某些事實(shí)或概念的知識(shí)，我們才能對(duì)人類的孩子應(yīng)該如何獲得這樣的知識(shí)做出更好的判斷?！币虼?，數(shù)學(xué)教師在設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)不能完全拋開(kāi)數(shù)學(xué)史而只以教育學(xué)和心理學(xué)的一般規(guī)律為依據(jù)。

（作者單位：江西省贛州市南康區(qū)第八中學(xué)）