中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法探析

曾艷

[摘 要] 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，它對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題具有重要的指導(dǎo)作用。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法的本質(zhì)體現(xiàn)。數(shù)學(xué)思想能促進(jìn)學(xué)生思維變通性、廣闊性發(fā)展，能有效提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。課堂教學(xué)中教師在要求學(xué)生掌握相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，也要有意識(shí)地滲透一些數(shù)學(xué)思想，以增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)；數(shù)學(xué)思想；滲透

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要結(jié)合新課程新教材要求，不斷創(chuàng)新教學(xué)方法，在講解知識(shí)和習(xí)題訓(xùn)練中，不斷引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)類(lèi)比、歸納、推理、轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思維方法，形成解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本策略，不斷提高對(duì)滲透思想方法重要性的認(rèn)識(shí)。

一、在構(gòu)建課堂教學(xué)情境中滲透數(shù)學(xué)思想

中學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中公式多，概念多，符號(hào)多，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，往往感到吃力、枯燥。用傳統(tǒng)的教學(xué)模式教學(xué)，很難激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。此時(shí)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)積極轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，更新教學(xué)模式。新授教學(xué)內(nèi)容需創(chuàng)設(shè)一定的教學(xué)情境時(shí)，若有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想，能吸引學(xué)生學(xué)習(xí)的注意力，使學(xué)生較快地投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬(wàn)事休?！睌?shù)形結(jié)合，直觀顯現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合的思想主要是構(gòu)建數(shù)與形之間的關(guān)系，通過(guò)以形助數(shù)、以數(shù)助形和數(shù)形互助的方式，充分地將直觀和抽象的知識(shí)統(tǒng)一融合，達(dá)到靈活解題的目的。向量具有“數(shù)”與“形”的雙重特征，向量“數(shù)”的特征表現(xiàn)在其具有大小、良好的運(yùn)算特征；向量“形”的特征表現(xiàn)在其具備方向、長(zhǎng)度、夾角等特征。平面幾何中的許多問(wèn)題，如平行、垂直、長(zhǎng)度、夾角等都可用向量法探析。

在應(yīng)用向量解決物理問(wèn)題時(shí)，需要將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)用數(shù)學(xué)模型解釋有關(guān)的物理現(xiàn)象。平面向量的應(yīng)用較為廣泛，已經(jīng)成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交會(huì)點(diǎn)，同時(shí)也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)。之后引出“平面向量在平面幾何中的應(yīng)用”，用向量知識(shí)解決平面幾何中證明線(xiàn)段相等或平行問(wèn)題，一般是轉(zhuǎn)化為相對(duì)應(yīng)的向量（或它的長(zhǎng)度）等來(lái)解決。

二、在數(shù)學(xué)概念解讀過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)的概念多且難于理解，在概念教學(xué)中可適時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想來(lái)加以解讀。建模思想就是通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的一種思維方法。如，在講“導(dǎo)數(shù)的概念”時(shí)，可給予兩種模式：一種是變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，另一種是非恒定電流的電流強(qiáng)度。對(duì)于這里提到的兩種不同的模型，如果能拋開(kāi)其實(shí)際的意義，只看數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它們具有相同的形式，同樣可以歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)模型。換言之，就是函數(shù)的自變量與改變量之間的比值。當(dāng)其中的自變量以及改變量都趨向零時(shí)，就突破形式的極限，這在數(shù)學(xué)的定義上為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。當(dāng)有了導(dǎo)數(shù)的定義之后，前面的兩個(gè)模型就容易解決，這不僅衍生了導(dǎo)數(shù)的概念，也可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力。

函數(shù)和方程是兩個(gè)最基本的數(shù)學(xué)概念，兩者都是含有未知數(shù)的等式，我們可以說(shuō)它們是同根生的一棵并蒂蓮。函數(shù)和方程的關(guān)系是：所有的函數(shù)解析式都是方程，而所有的方程并非都是函數(shù)解析式，只有滿(mǎn)足函數(shù)定義的方程才是函數(shù)?；谶@種同根性，兩者可以互相轉(zhuǎn)化。

三、在數(shù)學(xué)問(wèn)題推導(dǎo)過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想

在實(shí)際生活中，普遍存在著利潤(rùn)最大、面積最小、距離最短等最優(yōu)化問(wèn)題，常常需要構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)模型，將待解決的問(wèn)題納入模型的范圍，并運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去解決問(wèn)題。如：某種商品，當(dāng)商品進(jìn)貨單價(jià)為45元時(shí)，若按50元一個(gè)售出，能賣(mài)出50個(gè)。如果銷(xiāo)售單價(jià)每漲一元，銷(xiāo)售數(shù)量減少2個(gè)，為獲得最大利潤(rùn)，此商品的最佳銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

設(shè)銷(xiāo)售單價(jià)漲x元，則每個(gè)售價(jià)為（50+x）元。每個(gè)商品的利潤(rùn)為（5+x）元，此時(shí)售出（50-2x）個(gè)，其利潤(rùn)函數(shù)為y=（5+x）（50-2x）=-2（x-10）2+450。此題是構(gòu)建二次函數(shù)模型的數(shù)學(xué)方法，并求最大值的應(yīng)用類(lèi)型，結(jié)合“利潤(rùn)=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷(xiāo)售量”就能推導(dǎo)出最佳銷(xiāo)售單價(jià)為60元。

四、在數(shù)學(xué)習(xí)題訓(xùn)練過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想

常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想有：比較、類(lèi)比、分類(lèi)、方程、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模思想和變與不變等思想。數(shù)學(xué)思想對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高解題效率具有明顯的指導(dǎo)作用。在平時(shí)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)及習(xí)題訓(xùn)練中，教師一定要有意識(shí)地重視對(duì)常用數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)與提煉，并在解題中不斷滲透，它們是解題的指導(dǎo)思想，可以提高數(shù)學(xué)教學(xué)及解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效性。

如：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并確定每一單調(diào)區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性。

（1）y=|x-2|；

（2）y=x2-3|x|+1/4。

在對(duì)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的研究上，恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，能使問(wèn)題化難為簡(jiǎn)，達(dá)到事半功倍的效果。例題中可將這兩個(gè)函數(shù)的圖像畫(huà)出來(lái)，根據(jù)圖像即可判斷函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間。在高中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的也比比皆是，“數(shù)”與“形”是相互依賴(lài)、相互滲透的。數(shù)形結(jié)合思想是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和直觀圖形結(jié)合起來(lái)，發(fā)揮直觀對(duì)抽象的支撐作用。在解決“與奇偶性有關(guān)的問(wèn)題”時(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可以把抽象的函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膱D形。利用圖形的直觀性發(fā)現(xiàn)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性之間的關(guān)系，以達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱為顯的目的，使問(wèn)題簡(jiǎn)捷地得以解決。在高中數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中，時(shí)常會(huì)碰到“三角函數(shù)”的問(wèn)題，這些數(shù)學(xué)問(wèn)題往往都能利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解答；在初中階段的“不定式與不等式組”“數(shù)據(jù)的分析”等問(wèn)題的訓(xùn)練中，數(shù)形結(jié)合思想也是常用的思維方式。數(shù)形結(jié)合思想的探討主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是“以數(shù)解形”，即借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性；二是“以形助數(shù)”，即借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的關(guān)系。

又如：一塊電路板的AB線(xiàn)段之間有60個(gè)串聯(lián)的焊接點(diǎn)，知道電路不通是由焊口脫落造成的，要想一定能檢測(cè)出哪處焊口脫落，至少需要檢測(cè)的次數(shù)是（ ）

A.4 B. 6 C. 8 D. 30

在審題后，我們利用二分法的思想，就可以解決這一類(lèi)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，省時(shí)省力，提高效率。每查一次，待查的工作量就會(huì)縮減一半。就例題而言，利用二分法的思想，不斷二分焊接點(diǎn)。第一次縮小到需要檢測(cè)30個(gè)焊接點(diǎn)；第二次縮小到需要檢測(cè)15個(gè)焊接點(diǎn)；第三次縮小到需要檢測(cè)8個(gè)焊接點(diǎn)；第四次縮小到需要檢測(cè)4個(gè)焊接點(diǎn)；第五次縮小到需要檢測(cè)2個(gè)焊接點(diǎn)；第六次檢測(cè)出焊口脫落處。故選B。二分法是求方程根的一種算法，其理論依據(jù)是零點(diǎn)存在的結(jié)論。利用二分法，我們可以探求零點(diǎn)，尋找零點(diǎn)所在區(qū)間，利用二分法的思想，可以提高工作效率，使同學(xué)們學(xué)會(huì)碰到問(wèn)題時(shí)用數(shù)學(xué)思維去思考，進(jìn)而使同學(xué)們變得更聰明，更具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)。再如“一元一次方程”和“一元二次方程”的解法，同學(xué)們都已經(jīng)學(xué)過(guò)，但是一元三次或更高次的方程應(yīng)該怎樣求解呢？這里也就可以滲透“二分法”的思想，應(yīng)用二分法求方程的近似解。在確定近似解時(shí)，要注意精確度的要求，必須是二分區(qū)間內(nèi)的所有數(shù)值達(dá)到精確度要求后的值為同一個(gè)值，這個(gè)值才為方程的近似解。

總之，數(shù)學(xué)思想的了解和認(rèn)識(shí)看起來(lái)簡(jiǎn)單，但是只有經(jīng)過(guò)反復(fù)的練習(xí)和應(yīng)用，通過(guò)一題多解、一題多變，多題歸類(lèi)、分類(lèi)變化，在討論與探究中讓學(xué)生展開(kāi)思維，進(jìn)行觀察、分析、推理、歸納等，不斷加深對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)和理解并結(jié)合習(xí)題靈活運(yùn)用，才能真正提高解題效率。

責(zé)任編輯 王 慧