變式探求本源，提升主觀幸福

李小峰

1.積極心理學(xué)中對(duì)主觀幸福感的闡述

積極心理學(xué)是指利用心理學(xué)目前已比較完善和有效的實(shí)驗(yàn)方法與測量手段，研究人類的力量和美德等積極方面的一個(gè)心理學(xué)思潮。積極心理學(xué)的研究對(duì)象是平均水平的普通人，它主張促進(jìn)個(gè)人和社會(huì)的發(fā)展，是幫助人們走向幸福的一門科學(xué).從個(gè)體自身的發(fā)展來看，積極心理學(xué)的價(jià)值意義體現(xiàn)在提升個(gè)體的主觀幸福感、使個(gè)體學(xué)會(huì)并保持樂觀及使個(gè)體形成積極人格.

主觀幸福感指的是個(gè)體主觀上對(duì)自己已有的生活狀態(tài)正是自己心目中理想生活狀態(tài)的一種肯定的態(tài)度和感受.美國心理學(xué)家狄納概括了主觀幸福感的三個(gè)特點(diǎn)：主觀幸福感依賴個(gè)體的親身體驗(yàn)、主觀幸福感更強(qiáng)調(diào)個(gè)體生理上能體驗(yàn)到的真實(shí)積極體驗(yàn)、主觀幸福感是個(gè)體對(duì)自己生活總的體驗(yàn).研究結(jié)果顯示，個(gè)體只有不斷努力完成一些快樂的事情，才會(huì)獲得持久的幸福狀態(tài).

變式教學(xué)的本質(zhì)是：變是為了不變，也就是說，通過變式教學(xué)，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，通過變式引導(dǎo)學(xué)生探求數(shù)學(xué)問題的本源，做到解一題，通一類.在數(shù)學(xué)試卷講評(píng)過程中，通過變式教學(xué)既可以幫助學(xué)生梳理試題的解題方法，更可以幫助學(xué)生理解掌握這一類題的解題方法，從而提高教學(xué)效率，也可以讓學(xué)生在對(duì)數(shù)學(xué)本源的探求過程中，持續(xù)體會(huì)成功的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而獲得持久的幸福狀態(tài).下面是筆者在試卷講評(píng)時(shí)應(yīng)用變式探求題目本源，提升學(xué)生主觀幸福感的一次教學(xué)實(shí)踐.

2.教學(xué)片段欣賞

2.1原題

（2010，蘇州一模，14）如圖1正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量 =λ +μ ，則λ+μ的最小值為？搖？搖 ？搖？搖.

圖1

2.2解法探究

講評(píng)過程：筆者在講解這道題時(shí)，先請同學(xué)講解.

生1：如圖2建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xy，設(shè)AB=2，點(diǎn)P（x，y），則E（1，0），C（2，2），x +y =4，設(shè)x=2cosθ，y=2cosθ，0≤θ≤ ，則 =（2，2）， =（1，-2）， =（2cosθ，2sinθ），所以（2，2）=λ（1，-2）+μ（2cosθ，2sinθ），

圖2

解得λ=2- ，μ= ，

設(shè)f（θ）=λ+μ=2+ ，0≤θ≤ ，當(dāng)0<θ< 時(shí)f′（θ）=（2+ ）′= = >0，所以f（θ）在（0， ）上單調(diào)遞增，

故當(dāng)θ=0時(shí)，f（θ）=λ+μ取得最小值為 .

接著請第二位學(xué)生講.

學(xué)生2：老師，我是猜的，先建系，再把D點(diǎn)，AC與 的交點(diǎn)點(diǎn)，B點(diǎn)三個(gè)點(diǎn)代入計(jì)算后發(fā)現(xiàn)P從D點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，λ+μ的值越來越小，所以我就斷定當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，λ+μ的值最小為 ，只是我覺得幸福來得太突然，有些不太確定.經(jīng)過生1的講解，我為自己的猜想找著了證明方法.在生1的解題過程中的參數(shù)θ是 與x軸的夾角，f（θ）是單調(diào)增函數(shù)，而讓P從D點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨著θ的減小，f（θ）也在減小，所以我的猜想是正確的.

這個(gè)學(xué)生說完后，立即有一名同學(xué)站起來提出了一個(gè)問題.

學(xué)生3：老師，向量中的問題一般都有幾何意義，那么這個(gè)題的幾何意義是什么呢？

頓時(shí)，學(xué)生被這個(gè)問題吸引住了，立即展開了熱烈的討論，經(jīng)過近5分鐘的激烈討論，終于有同學(xué)來講解討論結(jié)果.

2.3解法變式

學(xué)生4：如圖3將 移至 ，則，連接PF與AC交于G點(diǎn)，因?yàn)镻、G、F三點(diǎn)共線，所以有 =x +y ，其中x+y=1（源自蘇教版必修4，P77第11題），又A、G、C三點(diǎn)共線，可以設(shè) =s ，

圖3

得到 =s（x+ +y ）=sx +sy ，因?yàn)?， 不共線，對(duì)比 =λ +μ ， = ，所以有λ+μ=sx+sy=s，而根據(jù)圖形可知s>0，所以s= ，要求s的最小值，需要| |最大，如圖4在 上取三點(diǎn)P ，P ，P ，得到G ，G ，G ，發(fā)現(xiàn)讓P從D點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，| |越來越大，所以在B點(diǎn)時(shí)| |最大，λ+μ取得最小值，再用坐標(biāo)法算得λ+μ的最小值為 .

打鐵需趁熱，筆者立即給出如下變式.

圖4

2.4題目變式

變式1：（2009，安徽，理14）給定兩個(gè)長度為1的平面向量 和 ，它們的夾角為120°.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧 上變動(dòng).若 =x +y ，其中x，y∈R，則x+y的最大值是？搖？搖 ？搖？搖.

圖5

生5：如圖6，連接AB與OC交與點(diǎn)D，則 =λ +μ ，其中λ+μ=1，又 =s =s（λ +μ ）=λs +μs ，所以x+y=sλ+sμ=s= ，當(dāng)OC⊥AB交AB于D時(shí)，| |取得最小值 ，所以s即x+y的最大值為2.

此處略去了其他解法.

圖6

2.5解題小結(jié)

生6：經(jīng)過上述兩題的探索，我發(fā)現(xiàn)“向量中 =x +y ，求x+y最值.”這類問題可以采用三點(diǎn)共線得到x+y的幾何意義：設(shè)CD與AB交于E點(diǎn)，則x+y=± 通過幾何意義找出| |的最值就可以算出x+y最值了.

生7：我認(rèn)為在生7的基礎(chǔ)上還要補(bǔ)充兩點(diǎn)，其中| |的長度必須是定值，再次是求λx+μy的最值也可以，這樣我們可以根據(jù)這個(gè)幾何意義編寫題目.

2.6教學(xué)小結(jié)

原題中，生1的解法是絕大多數(shù)學(xué)生使用的方法，整個(gè)解題過程有3個(gè)解題難點(diǎn)“建系，轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性”，成為一道難題.筆者通過研究得到λ+μ的幾何意義，然后在課堂上通過參與學(xué)生的討論引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論.筆者在高三復(fù)習(xí)課中盡量將課堂讓給學(xué)生，將講臺(tái)讓給學(xué)生，將精彩讓給學(xué)生，這樣學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上不僅掌握了某一道題的解題方法，更通過合作、討論、變式探究出了數(shù)學(xué)題目的本質(zhì)，徹底掌握了一類題的解題方法，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心與興趣，主觀幸福感也隨之增強(qiáng).