實施分層練習(xí) 感受數(shù)學(xué)魅力

葉婉紅

如何針對“三角形內(nèi)角和”的相關(guān)知識上好一節(jié)練習(xí)課，這一問題在以往的教學(xué)中并沒有引起教師們的關(guān)注。因而在平常的練習(xí)設(shè)計時，比較常見的是重復(fù)已知三角形兩個角的度數(shù)求第三個角的度數(shù)的題目，練習(xí)形式比較單一，難以引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。因此筆者針對這一內(nèi)容作了深入的思考，主要通過對數(shù)學(xué)內(nèi)涵的挖掘，對練習(xí)內(nèi)容作了一定的拓展?，F(xiàn)把教學(xué)的簡要過程整理如下，供大家參考。

【教學(xué)實錄】

一、基本練習(xí)

（一）判斷：下面三個角有可能是同一個三角形的三個內(nèi)角嗎？

① ?70°、60°、 50° ? ?（ ? ? ）

② ?65°、65°、 50° ? ?（ ? ? ）

③ ?37°、53°、100° ?（ ? ? ）

④ ?90°、40°、 50° ? ?（ ? ? ）

學(xué)生針對以上每組三個角的度數(shù)，判斷出第①、②、④組的三個角的度數(shù)相加都剛好是180°，所以都有可能是同一個三角形的三個內(nèi)角。教師在學(xué)生判斷的同時，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)第②組的三角形是一個等腰三角形，第④組的三角形是一個直角三角形。

接著教師又提問：如果一個三角形的三個內(nèi)角剛好是第④組的90°、40°、50°，你能畫出這個三角形嗎？

學(xué)生根據(jù)以上的度數(shù)畫出相應(yīng)的直角三角形，這時教師從學(xué)生所畫的三角形中找出了兩個大小不同的直角三角形，利用投影呈現(xiàn)在屏幕上，并提問：為什么會出現(xiàn)大小不一樣的三角形呢？

生：它們的邊的長短不一樣。

師：也就是說兩個三角形雖然三個角分別相等，但有可能什么不一樣？

生：有可能大小不一樣，也就是有可能邊的長度不一樣。

教師借助于投影把兩個大小不同的直角三角形按其中的40°角重疊在一起，接著再把一條直角邊進(jìn)行左右平移，與斜邊和另一條直角邊相交出多個直角三角形（如圖1），并提問：你們看到了這些三角形什么變了？什么沒有變？

圖1

生：三角形的大小變了，三角形三個內(nèi)角的度數(shù)沒有變。

（二）分別算出以下三角形∠B的度數(shù)（如圖②）

學(xué)生獨立列式計算之后，教師組織反饋評講。對第②、③、④小題，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角形的特點交流計算方法。

圖2

（評析：運用“三角形內(nèi)角和”的知識對四組角進(jìn)行判斷，使學(xué)生較快地回憶起基礎(chǔ)知識。而在這一環(huán)節(jié)中值得我們關(guān)注的是，教師讓學(xué)生針對已知直角三角形的內(nèi)角度數(shù)畫出這個三角形?？此剖且粋€畫圖操作，實際上引出了對此后要學(xué)習(xí)的“相似三角形”知識的初步思考。學(xué)生在這樣的畫圖、觀察、比較中，逐步知道三個內(nèi)角雖然分別相等，而它們的大小可以不同。再通過投影的展示，初步感受到三條邊是在同時相應(yīng)縮短或延長的，這也是之后要掌握的相似三角形中對應(yīng)邊成比例的知識。之后關(guān)于求出指定角的度數(shù)的練習(xí)，則讓學(xué)生再一次鞏固了三角形角的相關(guān)知識，及不同類型三角形角度的計算方法。）

二、拓展練習(xí)

（一）用三角形內(nèi)角和研究它的外角

投影出示問題一：用三角形內(nèi)角和研究它的外角。（同時呈現(xiàn)下圖3）

圖3

師：如圖中的∠1、∠2、∠3都是從三角形的一條邊延長，并與另一條鄰邊所夾的角，都叫作這個三角形的一個外角。請同學(xué)們根據(jù)下面要求完成學(xué)習(xí)。

① 分別求出以上每個圖形中指定角的度數(shù)。

② 觀察上面三個圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？分小組互相說一說。

學(xué)生經(jīng)過獨立思考、計算，小組交流后，教師再組織反饋評價。在評價中發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都能按以下的方法進(jìn)行計算，教師根據(jù)學(xué)生的回答板書出每一個圖的算式：

第①個圖先計算∠1的鄰角度數(shù)“180°-30°-30°=120°”;再用平角減去鄰角得到“∠1=180°-120°=60°”。

第②個圖直接看出∠2是直角，所以它的鄰角是90°，∠A=90°-30°=60°。

第③個圖先計算∠3的鄰角“180°-110°=70°”，再計算：∠A=180°-30°-70°=80°。

當(dāng)教師組織學(xué)生反饋了以上的計算過程后，一部分學(xué)生提出：我們發(fā)現(xiàn)了每個外角都剛好是它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

師：是嗎？大家仔細(xì)看一看是這樣的嗎？

學(xué)生再次觀察片刻后，給出了肯定的答復(fù)。

此時，教師再借助于投影在第①個圖上點擊C點，使它在BC的邊或邊的延長線上從左往右移動（其他兩個頂點不動），使學(xué)生直觀地感受到它的外角從小變大，而三角形的另一個內(nèi)角也跟著從大變小。

（評析：顯然教者設(shè)計這樣的外角題目，其目的是通過外角與鄰角的思考，不僅進(jìn)一步鞏固三角形內(nèi)角和的知識，而且更重要的是讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。當(dāng)然對于這一結(jié)論的掌握并不重要，重要的是學(xué)生經(jīng)歷了觀察、發(fā)現(xiàn)的過程，借此來提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。）

（二）用三角形內(nèi)角和研究多邊形的內(nèi)角和

師：剛才大家運用三角形內(nèi)角和研究了三角形的外角問題，下面我們再來運用三角形內(nèi)角和研究多邊形的內(nèi)角和。

投影出示問題二：用三角形內(nèi)角和研究多邊形的內(nèi)角和。（出示圖4）

圖4

同時出示以下學(xué)習(xí)要求：

① 想一想以上各圖有幾個內(nèi)角？

② 請你用畫一畫、算一算的方法求出各圖形的內(nèi)角和是多少？

③ 想一想計算多邊形內(nèi)角和有什么計算規(guī)律嗎？

④ 在小組內(nèi)說說你的想法。

在學(xué)生通過獨立思考、計算，小組交流討論后，再組織反饋評價：

四邊形分成兩個三角形，它的內(nèi)角和是：2×180°=360°。

五邊形分成三個三角形，它的內(nèi)角和是：3×180°=540°。

六邊形分成四個三角形，它的內(nèi)角和是：4×180°=720°。

……

師：在分法上要注意從一個頂點出發(fā)，把多邊形分成幾個三角形（在圖4中呈現(xiàn)出分法）。你們發(fā)現(xiàn)有怎樣的計算規(guī)律了嗎？

學(xué)生通過以上的類推，得出“n邊形”的內(nèi)角和是“（n-2）×180°”的計算規(guī)律。

接著教師又出示了以下的凸四邊形和凹四邊形、凸五邊形和凹五邊形（如圖5），并提出：請大家繼續(xù)觀察，它們的內(nèi)角和是否還可以用以上的計算方法計算呢？

圖5

在學(xué)生的互動交流中，教師呈現(xiàn)圖中的分法，使學(xué)生知道這里的凹四邊形和凹五邊形的內(nèi)角和仍然可以用這種計算方法得出內(nèi)角和（如圖6），就是在分割時要注意一般從凹進(jìn)去的頂點出發(fā)去分割三角形。

圖6

接著教師繼續(xù)提出：是否所有的凹多邊形都可以用這種方法來計算內(nèi)角和？

引導(dǎo)學(xué)生到課外繼續(xù)思考、探究。

（評析：設(shè)計這樣一組多邊形讓學(xué)生去研究它們的內(nèi)角和，其主要目的是讓學(xué)生去經(jīng)歷觀察、嘗試、操作、發(fā)現(xiàn)計算規(guī)律的過程，從中使學(xué)生獲得一定的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。學(xué)生在找到凸多邊形的分法之后，得出內(nèi)角和的計算規(guī)律難度并不大。而葉老師不僅只滿足凸多邊形的內(nèi)角和，還聯(lián)想到了凹多邊形。但針對一些凹多邊形在分割成三角形時，在方法上是有一定技巧的，所以葉老師并沒有過多地展開，只是提到：所有凹多邊形是否都可以用這種計算方法？一句發(fā)問激發(fā)了學(xué)生課外的探究欲望。）

（三）用三角形內(nèi)角和研究內(nèi)角的變化

1. 研究頂角的變化。

師：我們現(xiàn)在知道無論三角形怎樣變化，它的內(nèi)角和始終是180°。請大家觀察下面這個直角三角形（出示圖7）。

圖7

師：現(xiàn)在把頂角的頂點沿著高的沿長線向上移動，形成了三角形AB1C;再沿著高向下移動， 形成了三角形AB2C（如圖8）。請根據(jù)下面學(xué)習(xí)要求思考：

圖8

觀察三角形AB1C和三角形AB2C，它們與三角形ABC的內(nèi)角比較發(fā)生了怎樣的變化？變化后的兩個三角形分別變成了什么三角形？

學(xué)生經(jīng)過獨立思考、小組互動交流后，教師再組織學(xué)生反饋評價：

生1：三角形AB1C的頂角變小了，小于90°，而它的兩個底角變大了。這個三角形變成了銳角三角形。

生2：三角形AB2C與三角形ABC相比，它的頂角變大了，大于90°;而它的兩個底角變小了。這個三角形變成了鈍角三角形。

師：你們想象一下，如果頂角的頂點繼續(xù)在這條高所在的直線上作上下移動，三角形的頂角和底角會有怎樣的變化規(guī)律？

等學(xué)生想象片刻后，教師在投影上繼續(xù)拉動三角形的頂角，使學(xué)生直觀地感受到越往上移動，頂角越小;越往下移動，頂角越大。

2.研究與圓有關(guān)的三角形內(nèi)角的變化。

師：剛才我們研究了三角形一個頂角在它高所在的直線上移動，如果把它的頂角的頂點放在一條圓弧上移動又會是怎樣的呢？

教師利用投影先出示一個圓，再畫上一條線段AB把圓分成兩個半圓（四年級學(xué)生只是初步認(rèn)識圓）。接著引導(dǎo)學(xué)生在圓弧上任意確定一點C，并把C點與線段兩個端點A、B連結(jié)成一個三角形（如圖9），并提出：這樣連結(jié)成的三角形又會是什么三角形呢？

圖9

學(xué)生在練習(xí)紙上，按以上要求畫三角形。當(dāng)學(xué)生檢驗出這個三角形是直角三角形時，教師又趁機(jī)提出：在圓弧上再任意多找?guī)讉€點，把每一點分別用同樣的方法與點A、B連結(jié)起來形成三角形，這些三角形還是直角三角形嗎？

學(xué)生認(rèn)真地操作著，過了一段時間后，學(xué)生興奮地得出：無論圓弧上的點如何變化，得到的都是直角三角形。

師：你們仔細(xì)觀察這些直角三角形，直角所對的弧剛好是半圓弧，另外兩個銳角所對的弧加起來也剛好是半圓弧，因為這兩個銳角的和也是90°。

學(xué)生仔細(xì)觀察，都發(fā)現(xiàn)了這一現(xiàn)象。

師：你們太厲害了，這一知識要到中學(xué)才會學(xué)，你們現(xiàn)在就發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象，已經(jīng)很不錯了。

接著教師又借助于投影呈現(xiàn)如圖10圓外綠色的區(qū)域，要求在這一區(qū)域內(nèi)任意找一點，再與A、B連結(jié)成三角形，并提出：這樣連結(jié)成的三角形又是什么三角形？

圖10

學(xué)生在練習(xí)紙上，按以上要求連結(jié)三角形，繼續(xù)思考交流。

當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這樣連結(jié)的三角形都是銳角三角形時，教師又提出：請大家在圓內(nèi)也任意找一點，連結(jié)的三角形又是什么三角形呢？

學(xué)生又經(jīng)過操作、度量后，發(fā)現(xiàn)這樣連結(jié)的三角形是鈍角三角形。

此時學(xué)生的好奇心被激發(fā)。教師順勢在投影上出示：過一個鈍角三角形頂點，畫出底邊上的垂線，此垂線交于圓弧上一點，這一點與A、B連結(jié)成的又是一個直角三角形。并向?qū)W生提出：通過剛才畫圖過程的觀察，你能說出一些道理嗎？

（評析：我們知道在“圖形與幾何”相關(guān)知識的教學(xué)中很重要的一點是如何盡量做到化靜為動。一般在演示動態(tài)圖形之前，應(yīng)先讓學(xué)生觀察靜態(tài)的圖形去想象動態(tài)的變化，然后再利用媒體演示，使學(xué)生在觀察中再次驗證自己想象的過程。上文教師在教學(xué)中已較好地演繹了這樣的想象過程?？梢钥吹皆诘谝徊浇虒W(xué)時，教師先讓學(xué)生針對三個三角形進(jìn)行觀察、分析，并展開想象，然后把三角形的頂角沿著高所在的直線進(jìn)行上下移動，使學(xué)生感受到隨著頂角變化而引起的底角的變化。同時這一步的想象又為下一步的練習(xí)提供思路，在接下來的環(huán)節(jié)中教師巧妙地設(shè)計了“圓”與“三角形”的相關(guān)知識。另外，執(zhí)教教師非常清楚這些知識是以后要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，此課上不要求學(xué)生去搞清這是為什么，只要求學(xué)生通過這樣的過程，發(fā)現(xiàn)在圓弧上任意取一點C分別連結(jié)點A和點B，連結(jié)出的三角形都是直角三角形。顯然這樣的設(shè)計很好地激發(fā)了學(xué)生好奇心，使學(xué)生從中感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)涵和魅力。）

【總評】

回顧本課的練習(xí)，我們深刻地體會到，作為教師，全面、深入掌握學(xué)科知識是多么重要。我們都會說 “只有深入才會淺出”，但這僅僅是一個必要條件，還需要教師有著深入思考的意識與習(xí)慣。只有把知識點放到整體結(jié)構(gòu)中去思考，才會想到如何去進(jìn)行知識的滲透;只有教師有這樣的思考意識，才能想到如何去進(jìn)一步拓展學(xué)生思維。關(guān)于“三角形內(nèi)角和是180度”這一知識，在小學(xué)階段是用實驗的方法（測量、剪拼）來獲得，到了中學(xué)還需要進(jìn)一步通過演繹推理的方法加以證明。到中學(xué)學(xué)習(xí)相似三角形知識時，最為重要的是認(rèn)識三個內(nèi)角對應(yīng)相等、對應(yīng)邊成比例，然而在以上教學(xué)中，執(zhí)教教師有意識地讓學(xué)生根據(jù)一個直角三角形的三個內(nèi)角度數(shù)畫一畫三角形，這樣就自然地滲透了相似三角形的知識。而關(guān)于任意的凹多邊形的內(nèi)角和可以用“（n-2）×180°”來計算，就是在劃分三角形時要根據(jù)圖形特點注意有不同的方法，所以執(zhí)教教師在練習(xí)時只給學(xué)生呈現(xiàn)兩個特殊的凹多邊形，并在教學(xué)時采取點到為止，僅給學(xué)生帶來一些思考。同樣在學(xué)習(xí)圓的知識時，圓周角的度數(shù)的知識是相當(dāng)重要的，尤其直徑所對的圓周角是直角，而四年級的學(xué)生通過作圖會發(fā)現(xiàn)這樣的事實，教師的目的是借助于這樣事實，引發(fā)學(xué)生深入地思考。由此可見，只要教師能有意識地針對學(xué)習(xí)內(nèi)容，適當(dāng)創(chuàng)設(shè)拓展性的練習(xí)，同時注意把握好練習(xí)的度，學(xué)生一定會在練習(xí)中感受到數(shù)學(xué)是如此好玩。

（浙江省臨海市臨海小學(xué) ? 317000

浙江省臨海市教育局教研室 ? 317000）