數(shù)學(xué)是思維的“體操”

王遠(yuǎn)庸

小學(xué)數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)教育的起始階段，學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)顯得尤為重要，它直接關(guān)系或決定著學(xué)生后天數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成敗。與顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)相比，數(shù)學(xué)思維是抽象的，這就決定了數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)與訓(xùn)練顯得并不容易，它需要教師有較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、明確的思維培養(yǎng)意識(shí)和高超的教學(xué)技藝。鄭毓信教授認(rèn)為：教學(xué)中最為重要的就是如何能將數(shù)學(xué)思維的教學(xué)真正滲透于具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)之中，即以數(shù)學(xué)思維方法的分析指導(dǎo)具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)。一次偶然的機(jī)會(huì)，筆者有幸聆聽(tīng)了特級(jí)教師魏潔老師的一節(jié)觀摩課——“9加幾”。魏老師為我們演繹了在數(shù)學(xué)課堂上如何結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)進(jìn)行思維訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)有興趣的數(shù)學(xué)、有思維成就的數(shù)學(xué)。

【教學(xué)片段一】以生為師，促思維成長(zhǎng)

師：看老師在黑板上怎么操作的？把你看到的說(shuō)出來(lái)，而且能提一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，聽(tīng)懂了嗎？

生：盒子里有9個(gè)蘋果，盒子外有4個(gè)蘋果，一共有13個(gè)蘋果。

師：有意見(jiàn)嗎？

生：我覺(jué)得他算得很好，借一個(gè)1給9，9就變成10，10加3等于13，所以4剩3個(gè)，1就已經(jīng)變成13，所以算成13。

師：在座的聽(tīng)懂了的小朋友舉手，我聽(tīng)不懂，我不舉手。

生：聽(tīng)不懂。

師：我也聽(tīng)不懂，但是我聽(tīng)懂了第一個(gè)孩子說(shuō)的，她說(shuō)盒子里有幾個(gè)？（9個(gè)）盒子外面有幾個(gè)？（4個(gè)）然后他說(shuō)一共有幾個(gè)？（13個(gè)）有人認(rèn)為有13個(gè)，有人認(rèn)為有14個(gè)，沒(méi)關(guān)系。但是我在想，實(shí)際上她給我們提了一個(gè)問(wèn)題，問(wèn)我們一共有多少個(gè)？要解決她的問(wèn)題，你用什么方法能計(jì)算出來(lái)？

生：加法。

師：把算式告訴我們。

生：9+4=13。

師：哎呀！你喊出了一個(gè)答案，讓我糊里糊涂的，因?yàn)槲也恢肋@個(gè)答案對(duì)不對(duì)。9+4是不是等于13呢，我得打個(gè)“？”。 ?這個(gè)算式能看懂嗎？

生：能。

師：對(duì)，是將兩個(gè)部分合起來(lái)。那你們說(shuō)結(jié)果等于13是怎么算的呢？

生：因?yàn)槲以诩依飳W(xué)過(guò)。

師：那你將家里學(xué)過(guò)的方法講給我們聽(tīng)，你也來(lái)教教我們。

生：……

師：家里講的9+4等于13，你是硬記下來(lái)的，你的記憶力真好?？墒俏豪蠋熡洸蛔。l(shuí)來(lái)教教我，有什么好的方法呢？

生：先算9+4，再算得13。

師：我想問(wèn)這13怎么得來(lái)的？

生：……

師：沒(méi)關(guān)系。待會(huì)兒我們想出來(lái)，再說(shuō)好嗎？我就想，如果爸爸媽媽不教我，就憑我們自己的本領(lǐng)，你能想出來(lái)9+4怎么做嗎？

【賞析】在這一教學(xué)片段中，教師引導(dǎo)學(xué)生由觀察入手，從簡(jiǎn)單的操作中，嘗試提出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，激活學(xué)生的思維。面對(duì)“9+4”這一新學(xué)習(xí)的內(nèi)容，絕大部分學(xué)生對(duì)如何計(jì)算覺(jué)得困難。教師首先放低自己——“我不懂，我不舉手?！弊寣W(xué)生感到教師也有學(xué)習(xí)困難，需要自己的幫助，從而增強(qiáng)了自己學(xué)習(xí)的信心?！白屛液锖康摹薄處煴磉_(dá)出自己的“疑惑”，責(zé)任感激發(fā)學(xué)生思考的內(nèi)驅(qū)力?！罢l(shuí)來(lái)教教我？”——?jiǎng)t是教師明確地向?qū)W生發(fā)出的“求助”信號(hào)，不知不覺(jué)中，師生關(guān)系互換，“師”者的身份促使學(xué)生主動(dòng)思考。在充分激活學(xué)生思維的基礎(chǔ)上，教師提出：“如果爸爸媽媽不教我，就憑我們自己的本領(lǐng)，你能想出來(lái)9+4怎么做嗎？”讓學(xué)生嘗試自主探究9+4的計(jì)算方法。作為教學(xué)的組織者，魏老師在一步步“后退”，學(xué)生在一步步“前進(jìn)”。教師一直在向?qū)W生尋求“幫助”，向?qū)W生“請(qǐng)教”，學(xué)生在“解惑”中學(xué)習(xí)主動(dòng)性不斷增強(qiáng)，數(shù)學(xué)思維越來(lái)越活躍，學(xué)習(xí)興趣越來(lái)越高。

【教學(xué)片段二】闡述算理，將思維拉伸

生：把4借給9一個(gè)1湊成10，4還剩3，10加3等于13。

師：聽(tīng)懂的人坐直，他剛才講到了一個(gè)借，你們聽(tīng)到了嗎？跟誰(shuí)借啊？

生：跟4借。

師：誰(shuí)能上來(lái)借給我們看看。

（學(xué)生上黑板操作）

師：跟你們的想法一樣嗎？

生：一樣。

師：4借走一個(gè)，還剩幾個(gè)？ 接下來(lái)怎么算？你們剛才告訴我，是拿誰(shuí)加誰(shuí)？

生：9+1。

師：我們要告訴別人，你是怎么算的。

生：用9+1等于10，10再加3等于13。

師：聽(tīng)懂的人，誰(shuí)能再說(shuō)一次。

生：4借一個(gè)給9變成10，再加3等于13。

師：哎呀！這一次，我真的有點(diǎn)明白了，為什么等于13，誰(shuí)能再教我一次，就更清楚了。

生：用4分成1和3，然后1和3合起來(lái)是13。

師：我有點(diǎn)聽(tīng)不懂了，跟我一樣聽(tīng)不懂的人舉手。我第一步聽(tīng)懂了，她說(shuō)把4分成1和3，然后她說(shuō)1和3組成13，1和3怎么能合成13呢？這里的1指的是誰(shuí)呀？

生：10。

師：10怎么來(lái)的？

生：9+1=10。

師：她實(shí)際上心里算了一個(gè)9+1=10，10再加上3等于13，了不起。原來(lái)你們說(shuō)出的那個(gè)答案是對(duì)的。（將問(wèn)號(hào)改為13）這次你一教我，我就會(huì)了，我會(huì)了一個(gè)什么方法呢，我會(huì)了一個(gè)“借”，是你們剛才教我的，但是要借幾個(gè)？

生：1個(gè)。

【賞析】“語(yǔ)言是思維的外殼?！彼季S不一定需要語(yǔ)言表述，但語(yǔ)言表述一定會(huì)有思維的存在。魏老師特別注重讓學(xué)生用語(yǔ)言去闡述9+4的具體計(jì)算過(guò)程。在學(xué)生第一次完整地說(shuō)出計(jì)算過(guò)程的基礎(chǔ)上，魏老師由“借”入手，與學(xué)生深層交流，為學(xué)生再次梳理了9+4的算理，此后，通過(guò)“誰(shuí)能再說(shuō)一次”“誰(shuí)能再教我一次”讓學(xué)生反復(fù)地闡述算理，我們似乎看到學(xué)生的思維被一次次地拉伸。在對(duì)拉伸思維的審視中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了自己思考中的不足;在對(duì)自身思維過(guò)程的闡述中，學(xué)生的思維變得愈來(lái)愈清晰;在對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的反復(fù)思考中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維變得更有條理，更有理性，知識(shí)掌握得也更加牢固。作為一節(jié)觀摩課，魏老師并不滿足于少數(shù)學(xué)生的完美回答，她關(guān)注的是學(xué)生群體的學(xué)習(xí)、學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，以及學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)，她在為學(xué)生以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

【教學(xué)片段三】實(shí)踐操作，讓思維暴露

師：9加幾的算式除了9+4、9+6，還有可能是9加幾呢？你能想一道嗎？但不能把答案說(shuō)出來(lái)。

生：9+3。

師：還可能有？

生：9+7。

師：把你想到的算式寫下來(lái)，寫下來(lái)后，像老師這樣動(dòng)手去做一做，把你們剛才跟那個(gè)數(shù)借的過(guò)程，做一做，還要像這樣把它記下來(lái)，明白了嗎？

（學(xué)生活動(dòng)，在方框里填上想的數(shù)，再動(dòng)手做一做。）

師：好，我們請(qǐng)一位小朋友上來(lái)演示一下。你寫的是9加幾？

生：9+5。

師：你是怎么借的？做給我們看看。

（學(xué)生演示，并說(shuō)明，從盒子外面移一個(gè)小方塊到盒子里面去。）

師：現(xiàn)在變成了9加幾？

生：9加1。

師：等于幾？

生：10。

師：然后呢？

生：10加4等于14。

師：看懂了嗎？你也可以學(xué)習(xí)她，但數(shù)不要與她一樣。你可以換個(gè)數(shù)研究它，研究好的同學(xué)可以跟同桌說(shuō)一說(shuō)，你是怎么做的？

（學(xué)生再次長(zhǎng)時(shí)間地自主活動(dòng)。）

【賞析】數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，而數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、實(shí)驗(yàn)和比較，提升了分析、綜合、抽象和概括能力，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，嘗試合乎邏輯地闡述自己的思想與觀點(diǎn)，逐漸形成良好的思維品質(zhì)。思維的結(jié)果需在實(shí)踐中接受檢驗(yàn)。學(xué)生學(xué)會(huì)了“9加幾”的計(jì)算方法，理解了算理，教師讓學(xué)生動(dòng)手操作，將計(jì)算過(guò)程物化出來(lái)，使學(xué)生的思維暴露出來(lái)，便于學(xué)生看清自己的思維過(guò)程，發(fā)現(xiàn)其中的不足，清楚思維的各個(gè)環(huán)節(jié)。9+4的計(jì)算屬于代數(shù)思維，鄭毓信教授認(rèn)為，凝聚是代數(shù)思維的基本形式，是指由“過(guò)程”向“對(duì)象”的轉(zhuǎn)化，通過(guò)一段時(shí)間的學(xué)習(xí)，9+4這類計(jì)算不再被看成一個(gè)過(guò)程，而逐漸被固化為一個(gè)特定的數(shù)學(xué)對(duì)象，因此，被固化為“對(duì)象”前的過(guò)程很重要，它是學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，否則學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就成了死記硬背，不求甚解。對(duì)于一年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們的思維水平還很低，主要以形象思維為主，對(duì)動(dòng)手操作更感興趣，因此，讓他們充分經(jīng)歷過(guò)程是必要的，便于他們更好地理解所學(xué)知識(shí)，促使他們更加主動(dòng)、積極地進(jìn)行思考，學(xué)習(xí)效果會(huì)更好。

【教學(xué)片段四】平等交流 ?激思維創(chuàng)新

師：剛才有小朋友寫的是9+3，你是怎么做出來(lái)的？一起與大家分享一下。

生：3借給9一個(gè)，還剩2，10加2等于12。

師：同意嗎？有一點(diǎn)我聽(tīng)不懂，這10怎么來(lái)的？

生：9加1。

師：你們說(shuō)，他學(xué)會(huì)了嗎？他剛才研究了9+3，有沒(méi)有人研究9+2呢？

（沒(méi)有人應(yīng)聲）

師：沒(méi)有人？它太簡(jiǎn)單了是嗎？魏老師不是特別聰明，所以我來(lái)研究9+2，你們?cè)敢饨涛覇幔?/p>

生：愿意。

師：現(xiàn)在我有幾個(gè)，還要拿幾個(gè)？

生：借一個(gè)。

師：變成了多少？

生：10。

師：10是怎么來(lái)的？

生：9+1等于10。

師：然后呢？

生：10+1等于11。

師：好，我記下來(lái)，謝謝你們，你們將我教會(huì)了。9+4有了，有人研究9+5嗎？這兒已經(jīng)有9個(gè)了，還需要幾個(gè)？

生：5個(gè)。

師：你是怎樣想的？

生：我是這樣想的，從5里拿一個(gè)放進(jìn)去，變成14。

師：老師還有一點(diǎn)不明白，這10是怎么來(lái)的？

生：是9跟5借一個(gè)來(lái)的。

師：好！謝謝你！這下我學(xué)會(huì)了，我把它記下來(lái)，9+5等于14。誰(shuí)研究9+7的？它等于多少？

生：16。

師：9+8是誰(shuí)研究的？等于多少？不用操作了，直接告訴我結(jié)果是多少？

生：17。

師：怎么一下子變成了17？

生：因?yàn)?從8里借一個(gè)不是10嗎？8減1不就是7嗎？所以等于17。

師;我講一遍，你們要仔細(xì)聽(tīng)，我將他教我的，講一遍給你們聽(tīng)。8分成了1和7，9加1等于10，會(huì)說(shuō)的跟老師一起說(shuō)。10加7等于17。最后一個(gè)最難了，9+9，知道答案的人舉手。

生：18。

師：你們是擺的，還是用別的方法算出來(lái)的？

生：別的方法。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)？

生：9加1，它是10，上面加幾就是幾。但是9和9合起來(lái)就是18，是因?yàn)?減1等于8。

師：（師表現(xiàn)出聽(tīng)不懂）聽(tīng)懂了嗎？你聽(tīng)懂了，上來(lái)，說(shuō)給大家聽(tīng)一聽(tīng)，老師剛才發(fā)現(xiàn)你聽(tīng)得特別認(rèn)真，老師這顆心一定要送給你，你最會(huì)聽(tīng)別人說(shuō)話，說(shuō)吧！

生：他是說(shuō)，9減1等于8，9加1等于10，所以結(jié)果是18。

師：也是用的借一個(gè)的方法，是吧？

生：不是這個(gè)意思。

師：好！再給你一個(gè)機(jī)會(huì)。

生：9可以分成1和8，9和8合起來(lái)不就等于17嗎？17加1不就等于18嗎？

師：（掌聲）聽(tīng)懂他的意思了嗎？告訴老師你叫什么名字。9比8多1，他就直接在17上加1，掌聲送給他，了不起。今天同學(xué)們真厲害！

【賞析】學(xué)生聽(tīng)魏老師的課，總會(huì)被魏老師深深吸引住，他們的思維一直在數(shù)學(xué)知識(shí)的海洋中徜徉，還不時(shí)地躍出水面，跳出屬于自己的“弧線”。魏老師像大姐姐一樣與學(xué)生平等交流?！拔豪蠋煵皇翘貏e聰明，所以我來(lái)研究9+2?！薄澳銈?cè)敢饨涛覇幔俊薄澳銈儗⑽医虝?huì)了。”“你們是擺的，還是用別的方法算出來(lái)的？”極具親和的話語(yǔ)，讓學(xué)生放松心靈，享受自由。學(xué)生感受到的不僅僅是平等，還有被別人需要的感覺(jué)，學(xué)生得到的是尊重，收獲的是自信，迸發(fā)的是熱情，學(xué)生的思維噴薄而出，火花四濺。

【教學(xué)片段五】精心設(shè)問(wèn) ?引思維深入

師：現(xiàn)在我們一起來(lái)讀一讀這些算式，告訴你，有秘密藏在里面?？凑l(shuí)最先發(fā)現(xiàn)這些秘密。

……

生1：前面的數(shù)都是9。

生2：加號(hào)后面的數(shù)都是從小到大排列的。

師：我告訴你，這還不算神奇，關(guān)鍵還有——

生：下面算式的結(jié)果都比前面算式的結(jié)果大1。

師：為什么都是大1而不是大2？

生：因?yàn)?+1=10，下面是9+2=11，2比1大1，所以11比10大1。

師：了不起，你們學(xué)會(huì)了一個(gè)很重要的觀察方法，你們可以從上往下觀察，還可以從下往上觀察。能不能橫著觀察，在一道算式里看一看？

生：都是借一個(gè)，看作10。

師：現(xiàn)在老師隨便挑一個(gè)，9+6等于？

生：15。

師：再來(lái)一個(gè)9+8。

生：17。

師：你們?cè)趺此愕眠@么快？

生：結(jié)果都變成十幾來(lái)算。

師：說(shuō)得特別棒！今天我們學(xué)的都是9加幾，結(jié)果都是十幾。剛開(kāi)始我們覺(jué)得10加幾特別好算，現(xiàn)在我們將9加幾全部變成了10加幾。你們覺(jué)得好算嗎？如果以后再學(xué)的話，除了學(xué)習(xí)9加幾，還可以學(xué)——

生：8加幾、7加幾、6加幾。

師：如果要學(xué)到8加幾時(shí)，你們準(zhǔn)備怎么辦?。?/p>

生：借2個(gè)。

師：如果要學(xué)習(xí)7加幾呢？

生：借3個(gè)。

師：為什么要借3個(gè)呢？

生：因?yàn)?+3等于10。

師：如果我要學(xué)到4加幾的時(shí)候？

生：借6個(gè)。

師：好，我寫一道算式：4+9，你會(huì)借6個(gè)嗎？

生：會(huì)。

師：不會(huì)的人舉手。你不會(huì)，你怎么算的？

生：4+9等于13，因?yàn)?+9就是將9+4倒過(guò)來(lái)，只要借1就可以了。

【賞析】學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，可在有限的學(xué)習(xí)時(shí)間內(nèi)讓學(xué)生完全經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程是不現(xiàn)實(shí)的，魏老師在這方面是成功的。在充分了解學(xué)情的情況下，魏老師精心地作了問(wèn)題預(yù)設(shè)。“除了學(xué)習(xí)9加幾，還可以學(xué)——？”由具體問(wèn)題向一類問(wèn)題擴(kuò)展，學(xué)生自然地運(yùn)用初步構(gòu)建起的思維模式去解決同一類問(wèn)題?！盀槭裁匆?個(gè)呢？”“如果我要學(xué)到4加幾的時(shí)候，你會(huì)借6個(gè)嗎？”引發(fā)學(xué)生深層次地思考。看似隨意的提問(wèn)，卻緊扣學(xué)生思維的脈搏;不著痕跡地引導(dǎo)，將學(xué)生的思維引入新的境界。一個(gè)個(gè)“現(xiàn)實(shí)”的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維一步步走向深入，學(xué)生在探索前行，驀然“發(fā)現(xiàn)”似乎是水到渠成的事。孩子們感到自己是一名成功的學(xué)習(xí)者，知識(shí)的獲得源自自我探索，而非來(lái)自教師的“輸入”。探索的曲折，讓學(xué)生的思維更深刻;探索的成功，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿興趣。

【收獲】

英國(guó)哲學(xué)家培根說(shuō)：“數(shù)學(xué)是思維的‘體操’。”數(shù)學(xué)課上，學(xué)生的思維就應(yīng)活躍，讓學(xué)生在習(xí)得數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，養(yǎng)成正確的思維方式是數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)。結(jié)合具體數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行思維訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維最基本也是最重要的形式。魏老師對(duì)學(xué)生高度的“尊重”與“信任”、“需要”與“激勵(lì)”，使得學(xué)生一遍遍自覺(jué)地回顧自己的思維過(guò)程，讓自己的思維變得清晰，有條理，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)不是簡(jiǎn)單的過(guò)程模仿，而是理性思考的自然結(jié)果，正確的思維方式與濃厚的學(xué)習(xí)興趣促使學(xué)生的思維不斷創(chuàng)新。真心希望我們每一節(jié)數(shù)學(xué)課都能看到學(xué)生飛濺的思維火花，真正讓每一名學(xué)生都能受到良好的數(shù)學(xué)教育。

（江蘇省鹽城市射陽(yáng)縣小學(xué) ? ?224300）