談《分式》的學(xué)習(xí)

余娜

摘 要： 本文就基于MPCK視角下《分式》的學(xué)習(xí)給予詳細(xì)闡述，以舒爾曼提出PCK三種核心要素框架，分析“分式概念、分式有意義、無(wú)意義、分式的值為零的學(xué)習(xí)”，并以此說(shuō)明數(shù)學(xué)教師所應(yīng)具備的MPCK。

關(guān)鍵詞： 分式 PCK 有意義 無(wú)意義

PCK是學(xué)科教學(xué)知識(shí)（Pedagogical Content Knowledge）的簡(jiǎn)稱，最早是由美國(guó)舒爾曼（Schulman，L.S）教授于1986年提出的。他認(rèn)為這種知識(shí)是學(xué)科知識(shí)在教學(xué)應(yīng)用中的轉(zhuǎn)換形式，是特定的內(nèi)容與教學(xué)法的整合或轉(zhuǎn)換，是教師獨(dú)特的知識(shí)領(lǐng)域，是他們專業(yè)理解的特殊形式。具體來(lái)說(shuō)，就是“對(duì)于一個(gè)人的學(xué)科領(lǐng)域中最一般的要教授的內(nèi)容，表達(dá)那些概念的最有用的形式，最有效的比喻、說(shuō)明、例子、解釋以及演示——一句話，就是使人易于懂得該學(xué)科內(nèi)容的表達(dá)和闡述方式”，它還包括“知道不同年齡和背景的學(xué)生在學(xué)習(xí)那些最經(jīng)常教授的課題時(shí)已具有的一些日常概念和先入之見(jiàn)，這些日常概念和先入之見(jiàn)會(huì)使具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)變得容易或困難?！盵1] 根據(jù)舒爾曼的觀點(diǎn)，PCK是一種實(shí)用性知識(shí)，它的核心要素有：一是直面學(xué)生教學(xué)如何構(gòu)架和呈現(xiàn)學(xué)科內(nèi)容知識(shí)；二是有關(guān)學(xué)生在學(xué)習(xí)具體內(nèi)容時(shí)可能擁有的共同的概念、誤解和困難的知識(shí)；三是在具體教學(xué)情況下能滿足學(xué)生學(xué)習(xí)需求的具體教學(xué)策略等。若結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科探討PCK，即為MPCK（Mathematical Pedagogical Content Knowledge），我們稱之為“數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)”。下面以舒爾曼提出PCK三種核心要素框架，分析“分式的學(xué)習(xí)”，并以此說(shuō)明數(shù)學(xué)教師所應(yīng)具備的MPCK。

一、 直面學(xué)生教學(xué)如何構(gòu)架和呈現(xiàn)學(xué)科內(nèi)容的知識(shí)

課堂教學(xué)第一部分：提出問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境。

（1） A教師的教學(xué)設(shè)計(jì)

同學(xué)們，只要你留下觀察，你會(huì)發(fā)現(xiàn)生活中處處都有數(shù)學(xué)。前段時(shí)間老師和大家一起去溱湖濕地公園參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，在這個(gè)過(guò)程中要利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決哪些問(wèn)題呢？

第一步：坐車去溱湖濕地公園

正衡中學(xué)與溱湖公園的距離為138公里，汽車平均速度為75千米/小時(shí)，約多少小時(shí)可以到達(dá)？

思考：若正衡中學(xué)與溱湖公園的距離為a公里，汽車平均速度為b千米/小時(shí)，約多少小時(shí)可以到達(dá)？

第二步：買溱湖公園門(mén)票

門(mén)票價(jià)格：學(xué)生票：60元，成人票：80元；我們有a位同學(xué)，b位老師，買門(mén)票共需多少錢(qián)？平均每張門(mén)票多少錢(qián)？

第三步：參觀

某小組租用了一艘小船在湖上游玩，若一艘小船1小時(shí)的租金是100元，該小組有x人，平均每人花多少錢(qián)？

在溱湖公園里，大家買了些紀(jì)念品，總共花了m元，平均每人花了多少錢(qián)？

從表面上看，兩位老師都是讓學(xué)生從生活中實(shí)際問(wèn)題中列出代數(shù)式，并觀察代數(shù)式的特征，從而歸納分式的概念。相比而言，A教師從學(xué)生經(jīng)歷過(guò)的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，讓學(xué)生在情感上容易產(chǎn)生共鳴，更能讓學(xué)生盡快進(jìn)入學(xué)習(xí)主題。由于學(xué)生對(duì)制衣廠并沒(méi)有切身的體會(huì)，因此B教師的這個(gè)引入稍顯突兀，不能很好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

課堂教學(xué)第二部分：新課——類比分?jǐn)?shù)得到分式的概念。

A教師和B教師都是讓學(xué)生觀察列出的代數(shù)式的共同特，類比分?jǐn)?shù)的概念，對(duì)比整式的概念，從而歸納出分式的概念。

（1）學(xué)生都能說(shuō)出，上述代數(shù)式共同特征有：類似與分?jǐn)?shù)的形式，分子分母都是整式，分母中含有字母。

（2）對(duì)比整式：整式的分母中不含字母，分式的分母中含有字母。

思考：a的值可以任意取嗎？

學(xué)生類比分?jǐn)?shù)：由于零不能做除數(shù)，因此分式和分?jǐn)?shù)一樣，分母都不能為零。

B教師的例題是：例題2：下列分式何時(shí)無(wú)意義、有意義？

兩位老師的選題都是為了告訴學(xué)生分式的分母不能為零，否則就無(wú)意義。但A老師從求分式的值的提問(wèn)中，讓學(xué)生通過(guò)思考，類比分?jǐn)?shù)中分母不為零，得出若分式的分母為零，分式無(wú)意義，分式的分母不為零，分式有意義。B教師是直接提出分式有意義、無(wú)意義，這樣就不能很好地體現(xiàn)類比的數(shù)學(xué)思想。

二、有關(guān)學(xué)生在學(xué)習(xí)具體內(nèi)容時(shí)可能擁有的共同的概念、誤解和困難的知識(shí)

學(xué)生已有的共同的概念：

（1）分?jǐn)?shù)、整式的概念。

（2）用字母表示數(shù)，會(huì)把除號(hào)改成分?jǐn)?shù)線的形式。

三、在具體教學(xué)情況下能滿足學(xué)生學(xué)習(xí)需求的具體教學(xué)策略

1.在學(xué)習(xí)中學(xué)生通過(guò)自主探究、小組合作獲得了成功，此時(shí)，學(xué)生內(nèi)心充滿了喜悅，急切地想與大家分享。此時(shí)教師要給時(shí)間、給機(jī)會(huì)讓學(xué)生回答。這也是學(xué)生小結(jié)、反思的一個(gè)過(guò)程。同時(shí)，通過(guò)這個(gè)過(guò)程，學(xué)生的表達(dá)能力、數(shù)學(xué)語(yǔ)言的組織能力得到了很好的鍛煉，自信心也得到了很好的培養(yǎng)。

2.在教學(xué)過(guò)程中要把數(shù)學(xué)思想方法滲透給學(xué)生。本節(jié)課主要運(yùn)用了對(duì)比和類比的數(shù)學(xué)思想方法。要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)一個(gè)新的概念前，要類比于前面所學(xué)過(guò)的知識(shí)，比如分式和分?jǐn)?shù)。在學(xué)習(xí)一個(gè)新的概念后，要對(duì)比于和該知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的知識(shí)，比如整式和分式，這樣學(xué)生對(duì)分式概念的把握會(huì)更清晰。

自2005年以來(lái)，PCK日益成為我國(guó)教學(xué)研究和教師教育研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。希望更多的教師在平時(shí)的教學(xué)中多動(dòng)腦、多思考，增強(qiáng)自己的PCK，讓教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)充滿樂(lè)趣。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊小麗.勾股定理的PCK內(nèi)涵解析.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2011（6）.

[2]田軍.新手與專家數(shù)學(xué)教師教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的對(duì)比研究.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2009（10）.

[3]劉璇燕.國(guó)內(nèi)關(guān)于學(xué)科教學(xué)知識(shí)（PCK）的研究綜述及其對(duì)師資培訓(xùn)的啟示.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2010（12）.