解題后反思能提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力

侯青陽

摘 要： 本文主要探討以下問題：解題后反思，命題的意圖是什么？考核的概念、知識和能力是什么？驗證結(jié)論是否正確，命題條件的應(yīng)用是否完備？求解論證過程是否判斷有據(jù)，嚴密完善？一題多解？多題一解？不斷對問題進行觀察分析、歸納類比、抽象概括，對所蘊含的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想進行不斷的思考并做出新的判斷，體會解題帶來的樂趣，享受探究帶來的成就感，逐步養(yǎng)成學(xué)生獨立思考、積極探究的習(xí)慣，并懂得如何學(xué)數(shù)學(xué)。

關(guān)鍵詞： 反思 分析 歸納 概括 數(shù)學(xué)思維能力

由于學(xué)生認知結(jié)構(gòu)水平的限制，表現(xiàn)出對知識不求甚解，熱衷于做大量習(xí)題，不善于解題后對題目進行反思，普遍欠缺一個提高解題能力的重要環(huán)節(jié)，也不善于糾正和找出自己的錯誤，缺乏解題后對解題方法、數(shù)學(xué)思維的概括，掌握知識的系統(tǒng)性較弱、結(jié)構(gòu)性較差。一道數(shù)學(xué)題經(jīng)過一番艱辛、苦思冥想解出答案后，必須認真進行如下探索：命題的意圖是什么？考核的概念、知識和能力是什么？驗證解題結(jié)論是否正確合理，命題所提供的條件的應(yīng)用是否完備？求解論證過程是否判斷有據(jù)，嚴密完善？本題有無其他解法——一題多解？多題一解？通過解題后改進解題過程、探討知識聯(lián)系、知識整合、探究規(guī)律等一系列思維活動，讓學(xué)生的思維在解題后繼續(xù)發(fā)展，“八方聯(lián)系，渾然一體，漫江碧透，魚翔淺底”。這是解題過程中更高一級的思維活動。為了讓學(xué)生思維繼續(xù)發(fā)展，提高解題能力，應(yīng)該倡導(dǎo)和訓(xùn)練學(xué)生進行有效的解題反思。解題反思的積極意義有如下方面。

一、積極反思，查缺補漏，確保解題的合理性和正確性。

解數(shù)學(xué)題，有時由于審題不確，概念不清，忽視條件，套用相近知識，考慮不周或計算出錯，難免產(chǎn)生這樣或那樣的錯誤，即解數(shù)學(xué)題，不能保證一次性正確和完善。因此解題后，必須對解題過程進行回顧和評價，對結(jié)論的正確性和合理性進行驗證?？墒且恍┩瑢W(xué)把完成作業(yè)當成趕任務(wù)，解完題目萬事大吉，頭也不回，揚長而去。由此產(chǎn)生大量謬誤，應(yīng)該引起重視，加以克制，引以為戒。如：1.結(jié)論荒唐，引為笑柄；2.以特殊代替一般；3.臆造“定理”，判斷無據(jù)，以日常概念代替科學(xué)概念。以上常見的錯誤，不勝枚舉，由此可見解題反思的積極意義及其重要性，必須引起師生在教學(xué)中的足夠重視。

二、積極反思，探求一題多解和多題一解，提高綜合解題能力。

數(shù)學(xué)知識有機聯(lián)系，縱橫交錯，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，最終卻能殊途同歸。即使一次性解題合理正確，也未必能保證一次性解題就是最佳思路、最優(yōu)最簡捷的解法，不能解完題就此罷手，如釋重負。應(yīng)該進一步反思，探求一題多解，多題一解的問題，開拓思路，勾通知識，掌握規(guī)律，權(quán)衡解法優(yōu)劣，在更高層次，更富有創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)、摸索、總結(jié)，使自己的解題能力更勝一籌。一題多解，每一種解法可能用到不同章節(jié)的知識，這樣一來可以復(fù)習(xí)相關(guān)知識，掌握不同解法技巧，同時每一種解法能解很多道題，然后比較眾多解法中對這一道題哪一種最簡捷、最合理？把本題的每一種解法和結(jié)論作進一步推廣，既可看到知識的內(nèi)在聯(lián)系、巧妙轉(zhuǎn)化和靈活運用，又可梳理出推證恒等式的一般方法和思路：從左到右、從右到左、中間會師、轉(zhuǎn)化條件等，善于總結(jié)，掌握規(guī)律，探求共性，再由共性指導(dǎo)我們解決碰到的這類問題，便會迎刃而解， 這對提高解題能力尤其重要。

三、積極反思、系統(tǒng)小結(jié)，使重要數(shù)學(xué)方法、公式、定理的應(yīng)用規(guī)律條理化，在解題中應(yīng)用自如、改進過程，尋找解題方法上的創(chuàng)新。

在問題解決之后，要不斷反思：解題過程中是否浪費了重要的信息，能否開辟新的解題通道？解題過程中多走了哪些思維回路，思維、運算能否變得簡捷？是否拘泥于思維定勢，照搬了熟悉的解法？通過這樣不斷質(zhì)疑、不斷改進，讓解題過程更具有合理性、科學(xué)性、簡捷性。例1：求證：正四面體和正八面體相鄰兩側(cè)所成的二面角互補。

此題有常規(guī)的解題思路：分別求出兩個多面體的二面角的值，再求和，這也是一般參考書上的解法。探索解題過程，總感覺這樣解題很笨拙，缺少靈氣，不能反映兩個多面體的巧妙結(jié)構(gòu)。事實上，問題隱含了“結(jié)構(gòu)”這個重要信息，那么，能否把“結(jié)構(gòu)”作為切入點探究問題呢？

四、重視知識的遷移和應(yīng)用，探究問題所含知識的系統(tǒng)性。

解題之后，要不斷探究問題的知識結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)性，能否對問題蘊含的知識進行縱向深入地探究？能否加強知識的橫向聯(lián)系？把問題所蘊含孤立的知識“點”，擴展到系統(tǒng)的知識面。通過不斷地拓展、聯(lián)系、加強對知識結(jié)構(gòu)的理解，進而形成認知結(jié)構(gòu)中知識的系統(tǒng)性。

五、整合知識，創(chuàng)新設(shè)問。

要讓學(xué)生明白，問題與問題之間不是孤立的，許多表面上看似無關(guān)的問題卻有著內(nèi)在的聯(lián)系，解題不能就題論題，要尋找問題與問題之間本質(zhì)的聯(lián)系，要質(zhì)疑為什么有這樣的問題？它和哪些問題有聯(lián)系？能否受這個問題的啟發(fā)，將一些重要的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法進行有效的整合，創(chuàng)造性地設(shè)問？讓學(xué)生在不斷的知識聯(lián)系和知識整合中，豐富認知結(jié)構(gòu)中的內(nèi)容，體驗“創(chuàng)造”帶來的樂趣，這對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維是非常有利的。

六、探究規(guī)律，形成小結(jié)。

對每個問題都要尋根問底，能否得到一般性的結(jié)果，有規(guī)律性的發(fā)現(xiàn)？能否形成獨到的見解，有自己的小發(fā)明？點滴的發(fā)現(xiàn)，都能喚起學(xué)生的成就感，激發(fā)學(xué)生進一步探索問題的興趣。長期積累，更有利于促進學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的個性特征的形成，并增加知識的存儲量。

總之，解題后引導(dǎo)學(xué)生不斷對問題進行觀察分析、歸納類比、抽象概括，對問題中所蘊含的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想進行不斷思考并做出新的判斷，讓學(xué)生體會解題帶來的樂趣，享受探究帶來的成就感。長此以往，必能使學(xué)生逐步養(yǎng)成獨立思考、積極探究的習(xí)慣，并懂得如何學(xué)數(shù)學(xué)，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件。

參考文獻：

[1]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論，2008.

[2]中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010.6.