概率問題亮招兒

孫偉剛

由于概率貼近同學(xué)們的現(xiàn)實(shí)生活，因此概率問題越來越受到命題老師的青睞和眷顧，在各市中考試卷中常常作為熱點(diǎn)問題加以考查，旨在發(fā)展同學(xué)們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力.

同學(xué)們，如何解決概率問題呢？這里教大家一招——模型思想. 所謂模型思想，就是將現(xiàn)實(shí)問題歸結(jié)為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，并在此基礎(chǔ)上利用數(shù)學(xué)的概念、方法和理論進(jìn)行深入的分析和研究，從定性或定量的角度來刻畫實(shí)際問題，并為解決現(xiàn)實(shí)問題提供精確數(shù)據(jù)或可靠的思想方法. 下面通過舉例予以說明.

問題（一）：老師最近有一張“明星演唱會(huì)”入場(chǎng)券，小明和小紅都想去觀看，入場(chǎng)券該給誰(shuí)呢？他班的學(xué)生紛紛幫老師出謀劃策，提供了不同的方案. 下列方案合理嗎？為什么？

方案1：甲同學(xué)說：“拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，若正面朝上小明去，否則小紅去. ”

方案2：乙同學(xué)說：“任意轉(zhuǎn)動(dòng)如圖1所示的可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤一次，停止轉(zhuǎn)動(dòng)后指針指向紅色區(qū)域則小明去，否則小紅去.”

方案3：丙同學(xué)說：“采用抽簽法，可以事先準(zhǔn)備好兩張相同的紙條，并在其中一張上畫上記號(hào)，小明、小紅各抽一次，讓抽到紙條上畫有記號(hào)的學(xué)生去. ”

方案4：丁同學(xué)說：“拋擲質(zhì)地均勻的硬幣兩次，兩次正面朝上小明去，否則小紅去.”

【解析】方案1是同學(xué)們熟悉的拋硬幣概型，是古典概型中經(jīng)典的例子，拋硬幣一次出現(xiàn)正面朝上、反面朝上兩種等可能結(jié)果，顯然小明、小紅去的概率均為；

方案2轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤是初中階段幾何概型的典型代表，通過轉(zhuǎn)盤的等分（即：把藍(lán)色區(qū)域2等分），將指針指向紅、藍(lán)區(qū)域的不等可能事件轉(zhuǎn)化為指向紅、藍(lán)1、藍(lán)2（如圖2）這三個(gè)區(qū)域的等可能事件，因此小明去的概率為，小紅去的概率為，此方案不合理；

方案3的“抽簽法”又稱“抓鬮法”，任意抽出一張紙條，出現(xiàn)的等可能結(jié)果只有兩種：有記號(hào)與沒記號(hào)，所以抽到有記號(hào)的概率為，抽簽雖然有先有后，但先抽的人與后抽的人中簽的概率是相同的，這樣的抽簽方法是合理的.

方案4則是兩步事件的概率問題，可借助于畫樹狀圖（如圖3）或列表格（如表1）的方法來達(dá)到一一枚舉的完整性，從而得兩次朝上的概率為（即：小明去的概率只有），該方案不合理.

同學(xué)們，如果我們僅滿足于就題論題解決，那么習(xí)題的功能遠(yuǎn)沒有發(fā)揮出來，就會(huì)失去培養(yǎng)自己創(chuàng)新思維的良機(jī)，“入寶山可不能空返啊”，如果全部用“摸球的模型”來替代，那么上述四種方案又將怎樣設(shè)計(jì)呢？于是就得到下面的變式：

方案1′：在不透明的口袋中放有除顏色外其余都相同的一個(gè)紅球、一個(gè)黃球. 隨機(jī)摸球一次，如果摸到紅球小明去，否則小紅去.

方案2′：在不透明的口袋中放有除顏色外其余都相同的一個(gè)紅球、兩個(gè)藍(lán)球. 隨機(jī)去摸球一次，如果摸到紅球小明去，否則小紅去.

方案3′的變式可同方案1′.

方案4′：袋中放有除顏色外其余都相同的一個(gè)紅球、一個(gè)白球，摸出一個(gè)球記下顏色后放回，再摸出一個(gè)球，如果兩次都摸到紅球小明去，否則小紅去.

模型替代，為概率模型建立搭建了平臺(tái). 初中階段等可能條件下的概率模型，基本上都可以用“摸球模型”來替代.

問題（二）：（1） 某校開設(shè)A、B兩門選修課，甲、乙、丙三名學(xué)生各自隨機(jī)報(bào)名參加其中一門課，求三名學(xué)生恰好報(bào)同一門課的概率.

（2） 一家醫(yī)院某天出生了3個(gè)嬰兒，假設(shè)生男生女的機(jī)會(huì)相同，那么這3個(gè)嬰兒中性別相同的概率是多少？

（3） 假如每次路口碰到紅綠燈的可能性相同，一個(gè)人過3個(gè)路口，求3次都碰到同一種顏色的燈的概率是多少？

（4） 你能以“摸球”為背景設(shè)計(jì)1個(gè)與上述問題相同類型的游戲嗎？

（5） 你還能舉出與上述問題相同類型的隨機(jī)事件嗎？

……

同學(xué)們，問題（二）各小題情境不同，但解決問題的模型可歸結(jié)為同一種，即：“一個(gè)3步事件的實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果有2種等可能性，求3步中出現(xiàn)同一種結(jié)果的概率. ”（答案均為：）

通過模型思想實(shí)現(xiàn)多題一解，能有效地培養(yǎng)我們的創(chuàng)新思維以及訓(xùn)練我們的發(fā)散思維，使我們覺得數(shù)學(xué)易學(xué)，感到很多新問題都是可以通過轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已經(jīng)解決的問題來解決，達(dá)到事半功倍的效果.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，“模型思想”作為十個(gè)核心概念之一，第一次以“基本數(shù)學(xué)思想”的身份“閃亮登場(chǎng)”，并且明確被冠以“學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”，這意味著“建立數(shù)學(xué)模型”這一意識(shí)和要求得到了強(qiáng)化. 而概率問題中的模型思想的建立，就是要充分挖掘例題的功能，進(jìn)行一題多解、一題多變、多題一解等訓(xùn)練，著力培養(yǎng)全方位、多層次探索問題的能力，力求“解一題，練一串，懂一類”，只有這樣，我們同學(xué)的創(chuàng)新思維能力才能得到最大限度的發(fā)展.

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市港下中學(xué)）