如何合理分配獎金？

許婕妤

老師讓我們運用“統(tǒng)計”和“概率”的知識解決一個難題，這是一個在生活中可能會遇到的棘手問題：

甲、乙兩位棋手棋藝相當(dāng)，他們在一項獎金為1 000元的比賽中相遇，比賽為七局四勝制（無平局）. 已經(jīng)進(jìn)行了五局的比賽，結(jié)果為甲三勝二負(fù). 現(xiàn)在因故要停止比賽，問應(yīng)該如何分配這1 000元比賽獎金才算合理？

剛看完這個題目，透著一股沒有頭緒的樣子，我開始了尋秘之旅.

首先我想：甲、乙兩位棋手棋藝相當(dāng)，說明甲、乙在一局比賽中獲勝的概率是相等的，但甲在五局比賽中已經(jīng)贏了三局，就很有可能在七局比賽中獲得四勝，所以甲贏得比賽而獲得1 000元的概率肯定要比乙大，所以在不得已停止比賽后，如果要平均分配獎金的話，顯然對甲欠公平.

接著認(rèn)為：可以按照5局比賽的勝負(fù)情況，按照一定的比例來分配獎金. 甲勝三局?jǐn)《?，說明乙勝兩局，可以依據(jù)各人贏的局?jǐn)?shù)把獎金按比例分配，甲得大頭，拿全部獎金的為600元，乙得小頭，拿全部獎金的為400元. 這種分配合理嗎？我反問自己，雖然看起來很合理，不過這樣分配的話，好像題目中的“七局四勝制”就變得毫無用處了.

看到“七局四勝制”，我想起網(wǎng)球、乒乓球等比賽常用五局三勝制，若按照五局三勝制的規(guī)則，則甲不是已經(jīng)勝了嗎？但題目中的比賽是七局四勝制，很讓人苦惱，估計解決問題要從賽制規(guī)則作為突破口.

再來仔細(xì)分析一下：由于這場比賽的結(jié)果還沒有出來，所以獎金怎么分配，還要預(yù)測繼續(xù)賽完剩余2局的情況，如果能分析出甲、乙兩人贏得比賽的概率，那么由此來決定獎金的分配就變得很容易了. 可以發(fā)現(xiàn)：在剩余的2局中，只要甲再勝出一局就會贏得比賽，不過乙仍有可能扳回來，他只要在剩余的2局中連勝，那么也是四勝而可以贏得比賽.

我用列樹狀圖的方法列舉出了剩余兩局比賽中兩人勝負(fù)的所有情況，并根據(jù)這個樹狀圖計算甲、乙兩人贏得比賽的概率，最后利用概率大小進(jìn)行獎金分配.

在此樹狀圖中，第6局甲獲勝的話，甲已經(jīng)贏得比賽，我就沒有再繼續(xù)考慮下去. 據(jù)此可以得出：甲贏得比賽的概率為，乙贏得比賽的概率為，所以得到如下的獎金分配方案：甲得×1 000元=元，乙得×1 000元=元.

很快我發(fā)現(xiàn)：這個樹狀圖是不對稱的，感覺到很不合理，是一張“跛腳”的樹狀圖，完全沒有了數(shù)學(xué)的美感. 想起老師說過：“樹狀圖”一般不會出現(xiàn)“大小樹枝”，仔細(xì)一想后我恍然大悟，原來是因為沒有完全列舉出第7局中甲、乙的勝負(fù)情況，所以導(dǎo)致列舉出的三種情況其實不是等可能的，得到的概率值當(dāng)然也是錯誤的.

我對剛才的樹狀圖進(jìn)行了修正，畫出的樹狀圖終于變“美”了.

在深思熟慮后，我寫下解答過程：

由樹狀圖可知：在剩下的兩局比賽中，共有4種等可能結(jié)果，其中甲勝一局的有3種，乙勝兩局的有1種，

∴P（甲贏得比賽）=，

P（乙贏得比賽）=.

故甲得到獎金額為×1 000=750（元），乙得到獎金額為×1 000=250（元）.

通過這個問題的解決，我真實地體會到：數(shù)學(xué)其實離我們很近. 數(shù)學(xué)的世界是多么廣闊，讓我們在實踐中進(jìn)一步探索未知世界！

指導(dǎo)老師點評：這份寫作真實再現(xiàn)了小作者的思考經(jīng)歷，體現(xiàn)出樂于思考、善于反思的科學(xué)研究態(tài)度.

首先，小作者能在解題方法中感受到數(shù)學(xué)之“美”，剛開始雖然得出了一張不對稱的“樹狀圖”，但能從“美”的視點發(fā)現(xiàn)問題，并從中稍加改進(jìn)，終于得到了正確解法. “哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美”，數(shù)學(xué)具有自己美的價值與活力，所以在學(xué)數(shù)學(xué)的過程中要充分去感受數(shù)學(xué)美，追求數(shù)學(xué)美.

其次，小作者能對自己的各種不同想法進(jìn)行批判與修正，并最終得到問題的完美解答. 在經(jīng)歷各種想法之后，總是要再思考點什么，陜西師范大學(xué)羅增儒教授曾說過“入寶山而不空返”，漫長的學(xué)習(xí)過程中（當(dāng)然也包括解題過程），要經(jīng)常反思，學(xué)會追問，將成果擴(kuò)大，這樣才能達(dá)到“事半功倍”的效果.

（指導(dǎo)老師：許 新）