抽象函數(shù)問(wèn)題不抽象

趙靜

摘 要： 高一數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)符號(hào)f（x），對(duì)于剛從初中升入高中的學(xué)生而言，這是比較抽象的又是函數(shù)中較難理解的.抽象函數(shù)的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為具體的函數(shù)解決，尤其是當(dāng)我們解決選擇和填空題時(shí)，可以很快得到正確答案，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

關(guān)鍵詞： 抽象函數(shù) 函數(shù) 賦值

高一數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)符號(hào)f（x），對(duì)于剛從初中升入高中的學(xué)生而言，這是比較抽象的，對(duì)函數(shù)的理解是高中數(shù)學(xué)的起始課，也是最關(guān)鍵的一課，函數(shù)學(xué)得好壞直接影響高中數(shù)學(xué)成績(jī)好壞.抽象函數(shù)是函數(shù)中較難理解的，抽象函數(shù)是指沒(méi)有明確給出函數(shù)表達(dá)式或圖像，但給出了函數(shù)滿足的一部分性質(zhì)或運(yùn)算法則，此類函數(shù)問(wèn)題既能全面考查學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解及性質(zhì)的代數(shù)推理的論證能力，又能綜合考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的理解和接受能力，以及一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識(shí).它在高中數(shù)學(xué)教材中沒(méi)有具體涉及，但在高考及各類模擬試題中經(jīng)常見(jiàn)到，學(xué)生普遍感到束手無(wú)策.實(shí)際上，有些抽象函數(shù)問(wèn)題，用常規(guī)解法很難解決，但與具體函數(shù)“對(duì)號(hào)入座”后并結(jié)合賦值思想，問(wèn)題就很容易迎刃而解.尤其是當(dāng)我們解決選擇和填空題時(shí)，可以很快得到正確答案.下面通過(guò)例題，對(duì)這種方法的有效性和快捷性予以論證.

1.若抽象函數(shù)y=f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y均有f（x+y）=f（x）+f（y），像這類抽象函數(shù)，我們立即想到正比例函數(shù)y=kx（k≠0），它是滿足所給的條件的，因而借助于正比例函數(shù)可將問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

例1：若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y有f（x+y）=f（x）+f（y）均成立，且f（x）不恒為0，請(qǐng)判斷函數(shù)f（x）的奇偶性.

分析：根據(jù)題意，可聯(lián)系正比例函數(shù)模型y=kx（k≠0），很快判斷答案為奇函數(shù).利用賦值思想給出解題過(guò)程，驗(yàn)證答案的正確性.

【解析】令x=y=0，則有f（0）=f（0）+f（0），故有f（0）=0.

令y=-x，則有f（0）=f（x）+f（-x），

故有f（-x）=-f（x），

又因?yàn)閒（x）不恒為0，所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù).

2.若抽象函數(shù)y=f（x）滿足當(dāng)x>0且y>0時(shí)，總有f（xy）=f（x）+f（y），我們知道對(duì)數(shù)函數(shù)滿足上述條件，則可用對(duì)數(shù)函數(shù)為模型引出解題思路.

例2.設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，解不等式f（x）+f（x-8）≤2.

【解析】∵函數(shù)f（x）滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，

∴2=1+1=f（3）+f（3）=f（9），

由f（x）+f（x-8）≤2得f[x（x-8）]≤f（9），

∵函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，

則x（x-8）≤9且x-8>0，

∴不等式解集為{x|8

3.若抽象函數(shù)y=f（x）滿足當(dāng)x>0且y>0時(shí)，總有f（x+y）=f（x）f（y），我們知道指數(shù)函數(shù)滿足上述條件，則可用指數(shù)函數(shù)為模型引出解題思路.

例3.函數(shù)f（x）（x∈R），當(dāng)x>0時(shí)，0

所以函數(shù)f（x）是減函數(shù).

4.若抽象函數(shù)y=f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f（xy）=f（x）·f（y），我們知道冪函數(shù)滿足上述條件，則可用冪函數(shù)為模型引出解題思路.

例4.已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f（xy）=f（x）·f（y），且f（-1）=1，f（27）=9，當(dāng)0≤x<1時(shí)，0≤f（x）<1.

（1）判斷f（x）的奇偶性；

（2）判斷f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，并給出證明；

分析：根據(jù)題意，可聯(lián)系冪函數(shù)模型，從而可猜想f（x）是偶函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù).利用賦值思想給出解題過(guò)程，驗(yàn)證答案的正確性.

【解析】（1）令y=-1，則f（-x）=f（x）·f（-1），

故函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù).

以上解題思路體現(xiàn)了將抽象問(wèn)題特殊化、具體化的思想，使得抽象的問(wèn)題不再抽象而變得簡(jiǎn)單，不難發(fā)現(xiàn)通過(guò)與具體的函數(shù)建立對(duì)應(yīng)關(guān)系可很快得到正確答案.在解決抽象函數(shù)問(wèn)題時(shí)，賦值思想貫穿始終，往往是利用賦值思想開(kāi)路，利用函數(shù)性質(zhì)搭橋，二者融會(huì)貫通，解題事半功倍.

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