淺論數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng)

林永山

運算能力是思維能力和運算技能的結(jié)合，是高考數(shù)學(xué)考查的五大能力之一.對比2014年的福建卷和全國新課標(biāo)卷可以發(fā)現(xiàn)：全國新課標(biāo)卷對運算能力的要求更高（會根據(jù)法則、公式進行正確運算、變形和處理數(shù)據(jù)；能根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計合理、簡捷的運算途徑；能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行估計和近似計算）.在教學(xué)中，如何培養(yǎng)運算能力呢？

一、培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想構(gòu)造，巧妙計算

運算的合理性是運算能力的核心，試題一般都有多種解法，解法有繁有簡.要通過對試題進行分析和聯(lián)想、根據(jù)問題的不同條件和特點，靈活運用公式、法則及有關(guān)運算律，通過觀察、分析、比較，運用化歸、構(gòu)造或類比等方法尋求最佳解題策略，從而得到合理的運算途徑.

例1：一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ）

A.3π B.4π C.3π D.6π

解析：如果考生在考試時想直接求解，就會因為圖形難畫、計算量大而放棄.如果能由正四面體聯(lián)想到正方體，將題設(shè)中的四面體可以看成是棱長為1的正方體的面對角線構(gòu)成的，突破尋找球心和半徑的障礙，易知球的直徑就是正方體的對角線長，球的表面積為3π，得到更合理的運算途徑，減少運算量，使解題快速、準確.

二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，簡捷運算

運算的簡捷性是指運算過程中所選擇的運算路徑短、運算步驟少、運算時間省.想在考試中節(jié)省運算時間，必須在運算過程中靈活運用概念，恰當(dāng)選擇公式，合理利用數(shù)形結(jié)合思想，有效增強解題過程的直觀性，減少運算量.

例2：求函數(shù)f（x）=的值域.

解析：此題部分學(xué)生會覺得無從下手，或通過整理成x的二次方程，由判別式法求值域，但這樣計算量很大.

若能觀察式子特征，引入代換，對原函數(shù)進行化簡處理，繼而由數(shù)想形，借助直線斜率的幾何意義進行解題，就會使得問題輕松地獲得解答，使運算更具簡捷性.

設(shè)y=，則函數(shù)化為：（x-2）+y=1f（x）=，（y≥0）

由數(shù)想形，從而原問題轉(zhuǎn)化為：

求半圓?。▁-2）+y=1，（y≥0）上的點P與定點A（-1，-3）的連線的斜率的取值范圍.

如圖示，易求得函數(shù)的值域是[，].

三、培養(yǎng)學(xué)生大膽取舍，活用估算

對運算能力的考查，除了要求考生能夠根據(jù)題設(shè)條件精確計算外，還考查能否根據(jù)需要對所給出的數(shù)據(jù)進行估計和近似計算.如果能夠充分利用題設(shè)的要求進行合理估算，就能彌補因知識的缺漏而造成的不足，同時也將大大降低運算量.

例3：設(shè)P是雙曲線-=1右支上一點，F(xiàn)是該雙曲線的右焦點，Q是PF的中點，O為坐標(biāo)原點，且|OQ|=4，則點P到該雙曲線右準線的距離d為（ ）.

A. B. C.2 D.6

解析：本題常規(guī)解法是：根據(jù)題設(shè)，運用雙曲線的第一定義及三角形中位線，先求出PF的長，再運用雙曲線的第二定義求出點P到該雙曲線右準線的距離，在定義不夠熟悉和計算不熟練的情況下，就會對結(jié)果無所適從.

如果能根據(jù)題設(shè)中|OQ|=|OF|=4這個條件判斷出：點P的橫坐標(biāo)必落在雙曲線的右頂點A和右焦點F之間，則d小于右焦點F到右準線的距離，且d大于右頂點A到右準線的距離，即

四、培養(yǎng)學(xué)生把握核心，合理運算

運算的合理性表現(xiàn)在運算要符合算理，運算過程的每一步變形都要有依據(jù)，在考試中運算的步驟越多，越繁瑣，出錯的可能性就越大，因而，我們要根據(jù)問題的不同條件和特點，合理選擇運算途徑，盡可能減少出錯的機會.對一些經(jīng)常使用的計算方法、計算公式一定要熟練掌握.

例4：已知a+b=1，b+c=2，c+a=2，則ab+bc+ca的最小值為（ ）.

A.- B.- C.-- D.+

解析：本題考查不等式的知識.通過所給的三個方程構(gòu)成的方程組，可以解出a=b=±，c=±，要求ab+bc+ca的最小值，需要對a、b、c的取值進行選擇，取a、b同號且與c異號即可.所以ab+bc+ca的最小值為-.

本題的解答是對各種解題套路和技巧的一種反對，是考綱中“注意通性通法，淡化特殊技巧”的具體體現(xiàn).解題過程中一定要選取合理的途徑，不要陷入固定模式，更不能思維定勢.本題的求解中容易出現(xiàn)以下幾種錯誤的思路：應(yīng)用均值不等式、柯西不等式和引入輔助角進行計算，都會因沒有注意到其中的“=”成立的條件，而造成錯解中的最小值是取不到的.因而在解題時要具體問題具體分析，要注意題目的條件和所應(yīng)用的公式、定理成立的條件，不能照抄照搬.

五、培養(yǎng)學(xué)生注重算理，精打細算

面對直接計算較復(fù)雜的試題，要注意算理，小心地選取運算路徑，合理地選擇運算方法，甚至對試題中看起來不是很重要的參量都要精打細算，從中得到啟發(fā)，找到運算目標(biāo)，保證運算的準確性.

例5：已知cos（α+）=，≤α<，求cos（2α+）的值.

解析：解本題時，很多考生試圖從解方程組的角度求出sinα、cosα再求出sin2α、cos2α，代入cos（2α+）的展開式進行求解，而這種解法的運算量非常大.

也有部分考生發(fā)現(xiàn)了如下關(guān)系：2α+=α（α+），但同樣遇到求sinα、cosα的障礙，不利于運算，也不符合算理，為此還要進一步細化.

再分析可以發(fā)現(xiàn)：2α+=（2α+）-，這個關(guān)系雖然看起來較繁，但sin2α、cos2α容易求得（構(gòu)造二倍角）.

sin2α=-cos（2α+）=-2cos（α+）+1=，

cos2α=sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=-.

故cos（2α+）=cos2αcos-sin2αsin=（cos2α-sin2α）=-.

本題的解法是三角函數(shù)題型中典型的“配湊角法”，解題的關(guān)鍵在于合理地尋找已知角和所求角之間的關(guān)系，還要注意后續(xù)解題過程的簡捷性.

高考對運算能力的考查是多角度、多層次的，重視對算理的考查，試題需要根據(jù)不同情況靈活處理.因此強調(diào)學(xué)生一定要注意運算的方法，能避免計算就避免，不能避免計算的一定要注意運算的合理性、熟練性、簡捷性和準確性.只有這樣才能使學(xué)生運算能力得到培養(yǎng)，才能在運算量較大的高考中提高得分率.

參考文獻：

[1]2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱.

[2]韓保席.優(yōu)化高考試題計算量的方法[J].求學(xué)，2005（5）.