巧用畫圖 突破難點

陳智芬

畫圖策略與幾何直觀有著千絲萬縷的聯(lián)系。畫圖策略可以幫助學(xué)生在形象思維和抽象思維之間搭建橋梁，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)的過程中培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，感悟初步的數(shù)形結(jié)合思想，從而促進學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的實效。

一、巧用畫圖，理解概念內(nèi)涵

小學(xué)生以具體形象思維為主，數(shù)學(xué)概念對他們來說，枯燥無趣、抽象深奧，內(nèi)涵難以清晰把握。因此，教師要想讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)內(nèi)涵，就要以形輔數(shù)，借助圖形直觀幫助其理解，這樣就能取得事半功倍的教學(xué)效果。

例如，教學(xué)“倍的認識”一課時，“倍”是一個抽象的概念，學(xué)生在解答這一類問題時往往會出現(xiàn)錯誤。如果單憑教師的講解，學(xué)生是不能夠理解的。所以在教學(xué)時，筆者就先畫出兩組圖形（見下圖）讓學(xué)生思考并說一說從圖中發(fā)現(xiàn)了什么，以及圖中圖形之間的關(guān)系。這樣，就可以讓學(xué)生非常容易理解倍的概念。教師在學(xué)生基本感悟“倍”的概念時再圈一圈幫助其理解“倍”的概念。當(dāng)學(xué)生基本掌握“倍”的概念后，教師再說一些倍數(shù)，讓學(xué)生在本子上用畫圖來表示，這樣就可以更好地促進學(xué)生對“倍”這一概念的理解。

因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，教師如能借助相應(yīng)的幾何直觀，直觀地把“數(shù)”和“圖”結(jié)合起來，從“數(shù)”和“圖”兩個角度去認識和理解數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生反復(fù)體驗感知，建立概念表象，必將能有效地促進學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的主動理解與建構(gòu)，學(xué)生也能理解和掌握具體圖形之外的數(shù)學(xué)概念。

二、巧用畫圖，揭示算理本質(zhì)

要提高學(xué)生的計算能力，學(xué)生對算理的真正理解是基礎(chǔ)和保證。算理往往又是抽象的、難以理解的。不理解算理的計算，單純依靠簡單模仿，達不到計算的融會貫通，也就失去了計算的靈活應(yīng)變。怎樣讓學(xué)生理解算理？畫圖則是很好的方法，它能借助圖形直觀揭示算理的本質(zhì)，幫助學(xué)生深刻理解算理。

乘法分配律是運算定律中最難理解和掌握的，在計算時學(xué)生最容易出錯，其根源就是學(xué)生未能從數(shù)學(xué)意義上真正理解乘法分配律。挖掘字母公式（a+b）×c= a×c+b×c的意義，不妨把它植入兩個等寬的長方形中，通過求面積和來理解。如（8+7）×5= 8×5+7×5，假設(shè)第一個長方形的長是8厘米，寬是5厘米；第二個長方形的長是7厘米，寬是5厘米。求兩個長方形的面積之和（見下圖），結(jié)合圖形可得面積之和為“8×5+7×5”，因為寬相等，也可以把這兩個長方形合并起來，長就是（8+7）厘米，寬就是5厘米，面積就是（8+7）×5。利用數(shù)形結(jié)合的方法，學(xué)生便可深刻理解“乘法分配律”，突破教學(xué)重難點。

因此，在教學(xué)中，有些數(shù)學(xué)算理如能與圖形結(jié)合緊密聯(lián)系，充分利用直觀示意圖，形象直觀地揭示算理的意義和方法，學(xué)生便可容易理解和掌握。學(xué)生看到算式就聯(lián)想到圖形，看到圖形能聯(lián)想到算式，算式和圖形完全有機地對應(yīng)與轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合相得益彰，數(shù)學(xué)算理直觀明了，教學(xué)效果有效凸顯。

三、巧用畫圖，拓寬解題思路

北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授張丹在《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略》一書中指出：“畫圖策略是非常重要的一種分析問題和解決問題的策略，它是利用‘圖’的直觀來對問題中的關(guān)系和結(jié)構(gòu)進行表達，從而幫助人們分析問題和解決問題。同時畫圖又是一個‘去情境化’的過程，它把情境中的數(shù)量關(guān)系進行提煉，并且進行直觀表達?！?/p>

1.畫圖，可以突出解題關(guān)鍵。例如，六年級下冊“圓柱與圓錐”這個單元中，練習(xí)五的第5題。一個圓錐形沙堆，底面積是28.26平方米，高是2.5米。用這堆沙在10米寬的公路上鋪2厘米厚的路面，能鋪多少米？有部分學(xué)生不能理解把一堆沙子鋪在一條路的路面上時，沙子的體積就等于鋪成的長方體的體積。于是教師就可以引導(dǎo)學(xué)生畫圖想象（見下圖）。

教師再加以點撥：解題的關(guān)鍵是什么？（理解沙子的體積等于長方體的體積）解題的步驟是什么？（①求出圓錐體沙子的體積；②用圓錐的體積，也就是長方體的體積除以長方體的寬和高就可以求出長方體的長）又例如，在二年級教學(xué)完乘法后，在解決問題時，有一部分學(xué)生經(jīng)常搞不清要用加法還是要用乘法。教學(xué)時，教師就可以教學(xué)生畫簡單的示意圖來幫助理解。如小天買了3支鉛筆，又買了5支圓珠筆，一共有幾支筆？可畫示意圖（如圖1）；又如小天買了3盒鉛筆，每盒5支，一共有多少支鉛筆？可畫示意圖（如圖2）。學(xué)生通過畫圖，就可以很直觀地感知加法和乘法都是把幾部分合起來，只不過加法可以把不同的數(shù)合起來，而乘法是把幾個相同的加數(shù)合起來。從而很快地抓住解題關(guān)鍵解決問題，同時也能加深對加法與乘法的含義的理解。

2.畫圖，可以理清數(shù)量關(guān)系。線段圖是教學(xué)中常用的方法。線段，畫起來很簡單，可就是這簡單的線段卻在小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)中起了奇妙的作用。線段圖作為解決問題的一種基本策略，從數(shù)學(xué)教學(xué)的“輔助工具”向“課程目標(biāo)”的價值提升，它是學(xué)生從直觀向抽象過渡的橋梁，有助于學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，從而找到解題方法。“路程問題”是運用線段圖最多的一種題型，但并不是只有“路程問題”才可以運用線段圖，還有很多題型都可以運用線段圖，如分數(shù)乘除法解決問題、百分數(shù)解決問題、倍數(shù)解決問題、稍復(fù)雜的用方程解題等。

例如，五年級上冊在“稍復(fù)雜的方程”教學(xué)中有這樣一道例題“足球表面的皮是由黑色皮和白色皮組成，其中白色皮有20塊，比黑色皮的2倍少4塊，黑色皮有多少塊？”這道題只從文字上來理解比較困難，學(xué)生無從下手，但通過線段圖（如圖3）的分析，學(xué)生可以輕而易舉地解題。

圖3

借助“線段圖”，變“看不見”為“看得見”，學(xué)生能清晰地看到白色皮和黑色皮的數(shù)量關(guān)系“白色皮的塊數(shù)=黑色皮的塊數(shù)×2-4”，還可以直觀地看到白色皮加上4等于黑色皮的2倍。學(xué)生不僅理清了數(shù)量間的關(guān)系，還拓寬了解題思路。

四、巧用畫圖，拓展思維方法

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合首先表現(xiàn)為一種意識，面對數(shù)學(xué)問題能想到借助畫圖來幫助思考；其次表現(xiàn)為一種技巧，能利用畫圖來理清解題思路；再次表現(xiàn)為一種能力，學(xué)生能夠借助圖形進行篩選分析，創(chuàng)造性地解決數(shù)學(xué)問題。當(dāng)學(xué)生遇到抽象理性的數(shù)學(xué)問題時，想不想用圖、會不會畫圖、能不能借助圖來分析解決問題，將決定他們思維的深度和廣度。畫圖策略，讓思維達到“柳暗花明”的意境，在巧妙解題時感受到數(shù)學(xué)思想的神奇力量。

例如，在教學(xué)六年級下冊《數(shù)學(xué)思考》時，6個點可以連成多少條線段？8個點呢？這時就可以引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖，化難為易，探索數(shù)學(xué)規(guī)律。又例如，六年級下冊數(shù)學(xué)指導(dǎo)叢書《數(shù)學(xué)思考》（一）第2題，擺一擺，找規(guī)律。如果要讓學(xué)生真的去擺，就需要每個學(xué)生都準備火柴棒，如果有的學(xué)生沒準備，就無法操作，并且教師又不好在黑板上展示；如果不擺只看圖，又不能讓學(xué)生完全明白其中的奧秘。這時，就可以引導(dǎo)學(xué)生畫圖：先用4條線段畫出1個正方形（如圖4），再接著畫第2個、第3個……當(dāng)學(xué)生畫到第4、5個時，實際上已經(jīng)在畫的過程中明白了只有第1個正方形是需要用4根小棒，接下來的正方形都只需要3根小棒；有的學(xué)生則認為，每個正方形都只用3根小棒，最后再加1根小棒圍起來，這樣來解決問題更簡單。這時再來解決擺10個正方形需要多少根火柴棒，如果有301根火柴棒，能擺多少個正方形？擺N個正方形需要多少根火柴棒，就輕而易舉了。

總之，“畫圖策略”是眾多的解題策略中最基本也是很重要的策略。利用數(shù)與圖之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化，搭建抽象思維和形象思維之間的橋梁，讓數(shù)學(xué)問題由抽象變直觀、由難變易，從而豐富學(xué)生感知體驗，發(fā)展學(xué)生思維能力。因此，在教學(xué)實踐中，教師應(yīng)根據(jù)教材內(nèi)容和特點，找到數(shù)形結(jié)合的對應(yīng)點，適時、巧妙地運用畫圖策略，這樣就能有效地提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實效。

（福建省廈門市海滄區(qū)東瑤小學(xué) 361027）