“還學于生”，實現(xiàn)數(shù)學課堂的智慧轉身

俞軍

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》明確指出：推理是數(shù)學的基本思維方式，是人們學習和生活中經常使用的思維方式，發(fā)展合情推理和演繹推理能力是培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的重要內容，也是數(shù)學課程和課堂教學的重要目標。那么，教師如何基于學生的視角去調整教材內容，還學生更為完整的推理空間，引導學生充分經歷推理過程，并在不斷積累推理經驗的基礎上去感悟規(guī)律、習得推理方法？對此，筆者以人教版二年級下冊第110頁中的“推理”的兩次磨課教學為例，在對比中談一些自己的教學思考。

環(huán)節(jié)一：在抽絲剝繭中突出核心經驗

【第一次教學實踐】

教師課件出示教材中原來準備題中的方格圖（見右圖）。

1.開門見山：這里有張方格圖，請仔細觀察，你能看出什么線索？（交流互動后，并用課件出示以下規(guī)則）

規(guī)則：在圖中的方格中，每行、每列都有1～3這三個數(shù)，并且每個數(shù)在每行、每列都只出現(xiàn)一次。

2.根據(jù)現(xiàn)在的線索，你能推理出A是幾嗎？

3.說說你是怎么想的？

4.小結：根據(jù)第一行已經出現(xiàn)了1和3，得出中間方格內為2；再根據(jù)第三列已經出現(xiàn)了2和3，得出中間方格內為1；最后再根據(jù)A所在的行和列已經分別出現(xiàn)了1和2，所以A只能是3。

【第二次教學實踐】

教師課前在黑板上先畫好三個空白的3×3的方格圖。

1.教師指著圖1告訴學生：這是一個3×3的方格圖，現(xiàn)在規(guī)定每行、每列只能寫1～3這三個數(shù)，而且每個數(shù)在每行、每列只能出現(xiàn)一次。

（1）如果老師在這里寫上1（師邊在圖1中補板書1，見圖1-1），你覺得橫看還會出現(xiàn)1嗎？豎看還會出現(xiàn)1嗎？

（2）如果這里再寫上3（師邊在表1中補板書3，見圖1-1），你覺得哪個空格中的數(shù)能直接確定？

（3）現(xiàn)在呢（師邊在圖1中補板書2，見圖1-1），哪個空格又能直接確定？

2.然后教師指著圖2：假如老師在這里寫上1和3（師邊在圖2中補板書1和3，見圖2-1），你覺得哪個空格中的數(shù)能直接確定？（請上來指一指）怎么想的？還有嗎？（學生指著打“*”的方格認為是2都是對的）

3.最后教師指著圖3：如果老師在這里寫上2和3（師邊在圖3中補板書2和3，見圖3-1），你覺得哪個空格中的數(shù)能直接確定？（請上來指一指）你又是怎么想的？

（學生指著打“*”的方格認為是1都是對的）

4.教師適時引導：在圖1中我們只要橫著看或豎著看就行了，在圖2和圖3中光橫著看還行嗎？（不能）光豎著看還行嗎？（不能）那又該怎么看呢？

（既要橫看又要豎看——板書：橫看+豎看）

【對比性反思】基于學生的視角來重新審視整個磨課過程，不難發(fā)現(xiàn)，這節(jié)課學生最難的不是對推理方法本身的理解，而是他們沒有這種“找”的經驗，也就是說既要橫看，同時又要豎看，類似這樣的數(shù)學活動經驗對于二年級的學生來說是非常缺乏的。在第一次實踐中，學生先要判斷出第一行中間方格和第三列中間方格分別為2和1，然后再結合橫看和豎看最終確定A為3，把既要橫看又要豎看這種核心經驗混跡在只要橫看或只要豎看中，雖然也在有意滲透，但終究顯得輕描淡寫，故在第一次的整個實踐中，很少有學生能自覺地去既橫看又豎看，整節(jié)課就像老牛拉破車，教師生拉硬拽，學生步履維艱。而第二次實踐中，教師有意將既要橫看又要豎看這種核心經驗從只要橫看或只要豎看中剝離出來，在分層引導中強化、突出了核心經驗，為學生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律、習得推理方法奠定了基礎。

環(huán)節(jié)二：在經歷過程中自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律

【第一次教學實踐】

教師課件出示教材中原來例題的方格圖與規(guī)則（見右圖）。

規(guī)則：在右邊的方格中，每行、每列都有1～4這四個數(shù)，并且每個數(shù)在每行、每列都只能出現(xiàn)一次。

1.提出問題：請仔細觀察，B應該是幾？（思考幾秒）

2.教師課件出示小精靈的提示話語：請你想一想，先看哪一個格子所在的行和列出現(xiàn)了三個不同的數(shù)，這樣就能確定這個空格應填的數(shù)。

3.請按小精靈的提示，自己嘗試判斷B是幾。

4.誰來說說B是幾？你是怎么推斷的？

5.小結：看來，要想知道B是幾，關鍵是A，因為A所在的行和列已經出現(xiàn)了三個不同的數(shù)，然后才能推斷出B。

6.你能填出其他方格里的數(shù)嗎？

【第二次教學實踐】

教師投影出示改編后的例2，方格圖中有意去掉了A和B的提示。

規(guī)則：在右邊的方格中，每行、每列都有1～4這四個數(shù)，并且每個數(shù)在每行、每列都只能出現(xiàn)一次。

（改編后的例2即為學生練習紙上的第一個方格圖）

1.這是一個4×4的方格圖，邊上也有同樣的規(guī)定，請自由地讀一讀。

2.現(xiàn)在信息變多了，觀察一下，你感覺哪個空格中的數(shù)能直接確定？誰上來指一指？（學生上來指，教師在相應的空格中打上*）

3.第一次嘗試：這個空格中的數(shù)到底能不能直接確定呢？請在練習紙的第一個方格圖中自己推斷一下，注意只推斷這個空格。

（1）學生自主推斷。

（2）集體交流。（這個環(huán)節(jié)可以引導生生互動）

①你覺得能直接確定嗎？請上來推斷給大家看看。

（生：這個方格中的數(shù)一開始有可能是1，2，3，4，然后橫看有……豎看有……所以這個空格中的數(shù)不可能為……有可能是……）

②有沒有不同意見？誰上來說說你又是怎么想的？

4.第二次嘗試：看來，這個空格中的數(shù)不能直接確定，請把空格中的數(shù)擦掉，繼續(xù)觀察，現(xiàn)在你覺得哪個空格中的數(shù)能直接確定？（學生上來指，教師在相應的空格中打上*）

5.那這個空格中的數(shù)到底能不能直接確定呢？請在練習紙的第一個方格圖中再來試一試。

（1）學生自主推斷。

（2）集體交流：你覺得能直接確定嗎？誰想上來推斷給大家看看？

6.第三次嘗試：看來，這個空格中的數(shù)也不能直接確定，請把這個空格中的數(shù)也擦掉，剛才嘗試兩次，都失敗了，那該怎么辦？（生：調整方向，繼續(xù)尋找）

7.現(xiàn)在你感覺到這個空格能隨便找嗎？（不能）請再仔細觀察一下，你覺得哪個空格中的數(shù)能直接確定的可能性比較大？（學生上來指，教師在相應的空格中打上*）

8.那這個空格中的數(shù)到底能不能直接確定呢？請在練習紙的第一個方格圖中再來試一試。

（1）學生自主嘗試。

（2）集體交流：你覺得能直接確定嗎？誰上來再推斷一下？

（3）他認為這個打*的空格應該填4（見右圖），誰聽懂了？再上來說說推斷的過程。

9.看來，這個打*的空格中的數(shù)的確能直接確定，現(xiàn)在方格圖中已多了一個4，你覺得哪個空格中的數(shù)一眼就能看出是幾？（生答，師在練習紙的第一個方格圖中的第一列補寫2）怎么推斷的？請在練習紙的第一個方格圖中的第一列照樣子先寫上4和2。

10.第四次操作：同學們，現(xiàn)在方格圖中已多了4和2，你覺得剩下的哪個空格中的數(shù)又可直接確定？請在練習紙的第一個方格圖中找到這個空格并打上*，然后把剩下的空格都填寫好。（學生填寫剩下空格）

（1）集體交流：你覺得剩下的哪個空格又能直接確定？（生上來繼續(xù)在教師的紙上指著第三列第二行這個打*的空格，并認為可填1）怎么想的？然后哪個方格中的數(shù)也能一眼就能看出是幾？（生指著第二列第二行這個方格，認為可填3，如左下圖）

（2）接下來能最先確定的又是哪個空格呢？怎么想的？（如右上圖，學生只要指著第一行或第四行兩個4的方格，并認為應填4都是對的）

（3）剩下的由學生邊交流推斷結果邊檢驗，直到全部完成。

（4）矯正：如果你在自己的練習紙上推斷有誤，請重新推斷并改正。

11.發(fā)現(xiàn)規(guī)律：現(xiàn)在你發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？在什么樣的情況下，這個空格中的數(shù)能直接確定？（生：從這個空格出發(fā)，橫看豎看合起來出現(xiàn)三個不同的數(shù)時，這個空格中的數(shù)就能確定）

【對比性反思】所謂推理就是當事人根據(jù)一個或幾個已知的判斷（或信息）來確定一個新的判斷的思維過程。可見，真正的推理是根據(jù)已有的信息“我”可以先推斷出什么，然后再根據(jù)新推斷的結論“我”又可以推斷出什么，而不是由外界告訴你應該先推斷什么，再推斷什么。因此，在第二次實踐中，教師著力引導學生仔細觀察信息，根據(jù)已有的信息大膽猜測哪個空格中的數(shù)可以直接確定，在兩次驗證失敗后，不急不躁，鼓勵學生繼續(xù)觀察，調整方向，并確定新的空格進行再嘗試，在經歷多次失敗、分析原因和最終獲得成功判斷的經驗對比與累積中，學生自己發(fā)現(xiàn)“橫看豎看合起來出現(xiàn)三個不同的數(shù)時，這個空格中的數(shù)就能直接確定”這一規(guī)律就顯得不那么困難，可謂水到渠成，理解深刻。而第一次實踐中，當教師提出“B是幾”這個問題后，課件直接出示了小精靈關于推理方法的提示，學生在根據(jù)原例題方格圖中的A和小精靈的話這兩個雙重提示下按部就班地先判斷出A是幾，再判斷B是幾，這樣的教學過程教師明顯剝奪了學生經歷觀察、猜測、操作、驗證等完整的推理過程，更少了學生反復猜測、驗證、感悟的過程。因此，這樣的教學過程充其量是教師提供推理方法，學生只需依葫蘆畫瓢，而不是學生在反復經歷完整的推理過程中自己悟得規(guī)律、習得方法?？梢姡诙螌嵺`的優(yōu)越性不言而喻。

環(huán)節(jié)三：在內化方法中提升推理能力

【第一次教學實踐】

師課件出示教材中原來習題的方格圖。

1.根據(jù)題意，你能推斷出B是幾嗎？（學生嘗試，教師巡視）

2.反饋交流：這位同學認為B是3有道理嗎？不過他沒有指出線索，你知道線索在哪嗎？關鍵是什么？A是幾？

3.引導：寫了A還是不行嘛，B所在的行和列還是不能填出來啊，你猜猜他是怎么一步步推斷出B是3的。

4.小結：我們在推理的時候得重點關注哪一個格子所在的行和列已經出現(xiàn)了三個不同的數(shù)，然后再逐步推斷出其余空格中的數(shù)。

【第二次教學實踐】

師出示改編后的書本習題，方格圖中有意去掉了A的提示。

1.老師這里還有一個方格圖，觀察一下，這里的B能直接確定嗎？（不能）那該怎么辦？（生：看看邊上哪些空格中的數(shù)能直接確定，然后再來推斷出B）

2.下面請猜測哪個空格中的數(shù)能直接確定，然后再來推斷出B，行嗎？

3.集體交流。（巡視時找典型材料：直接的；間接的——第四行兩個空格）

（1）先反饋直接的：這位同學認為這個空格（指第二行第二列這個方格）能直接確定為4，然后就能推斷出B是3，請他說說具體是怎么推斷的？

（2）再反饋間接的（如下圖）：這位同學認為這個空格中的數(shù)（指第二列第四行這個方格）也能直接確定為1，誰來推斷一下？好，這個空格的確能直接確定為1，但這個1確定后對推斷B有沒有直接的幫助？（生：沒有）（如果有學生說第四列第四行這個方格為3，處理方式同前者一樣）

4.師：同學們，如果我們一不小心確定的空格不能直接推導出B，那該怎么辦？

生：我們可以調整方向，分析一下其他新確定的空格能否直接推導出B。

5.引導辯證看問題：雖然剛才兩位同學指出的1或3這兩個空格不能直接推導出B，但是這兩個空格對填寫整個方格圖還是非常重要的。

【對比性反思】這個環(huán)節(jié)的目標其實還是進一步引導學生根據(jù)已有的信息學會先判斷哪個空格中的數(shù)能直接確定，然后觀察、分析前面的結論對推斷B能否起到直接的作用。假如初次嘗試失敗，還可調整方向，繼續(xù)觀察分析，尋找新的可以直接確定的空格，直到能順利推斷出B。而這恰恰符合推理的一般過程，而不是像教材上那樣先給定一個A，讓學生去驗證那個A確定后能否直接確定B，然后再引導調整。因為，真正的推理不是有人告訴你應該怎么推理，而是個體根據(jù)已有的信息不斷地猜測、嘗試、驗證，且自覺調整。顯然，第一次實踐中，教師提供的習題還是帶有太明顯的暗示，尤其是那個A，其實質還是在外界的指引下學生機械地完成推理，而第二次實踐中，教師有意把A去掉，再次給學生提供完整經歷推理全過程的機會，很好地鞏固和內化了推理的方法，有效地提升了學生的推理能力。

【思考】

教學中，教師切不可剝奪學生這種自學、自悟的過程，而應該為學生創(chuàng)設這種自我發(fā)現(xiàn)、自主構建知識的平臺；教師不可把規(guī)律或方法直接給予學生，而是要立足學生的視角看教材、看課堂，才能真正把學會推理的過程還給學生。

1.基于學生的視角“定”學習難點

在日常教學中，很多教師憑借著多年的教學經驗或者自身對某課時內容的一種直覺，主觀、武斷地去確定該課時的學習難點，導致課堂上學生的思維和教師的思維無法形成共振，使課堂教學節(jié)奏拖沓、層次凌亂、推進生硬、高耗低效。這樣的課堂一定是“教”味十足的課堂，而不是“學”味十足的課堂。因此，教師可以通過前期的磨課或前測或訪談，然后平心靜氣地站在學生的角度來考量學習難點，客觀、理性、準確地確定學生學習中將會碰到的真正難點，這樣的課堂才是符合學生學習需求的課堂，才會是師生、生生智慧交融的課堂。

2.基于數(shù)學的本質“設”教學路徑

教師在設計教學路徑時，通常會依據(jù)學生的思維軌跡來展開設計，也就是說，從學生面對這樣的學習內容他們會怎么想、怎么學來入手；另外是基于數(shù)學本身的內涵來展開教學設計。而本節(jié)課所涉及的推理其數(shù)學本質就是指人們根據(jù)一個或幾個已知的判斷（或信息）來確定一個新的判斷的思維過程，也就是說，真正的推理是純屬人們通過自身的觀察、猜測、驗證、判斷的過程，任何外界暗示或干預下的推理都不是真正意義上的推理。通過兩次不同的教學實踐，筆者再次強烈地感受到，基于推理的數(shù)學本質來重新設計教學路徑是明智之舉，在第二次實踐中，師生思維共振尤為和諧，學生明顯學得有勁，教師自然教得有味。這樣的課堂才是師生、生生智慧碰撞的課堂。

3.基于學力的提升“變”習題設計

教學中，習題設計的重要目標就是鞏固、內化所學的數(shù)學知識，但僅僅把習題設計的目標定位為鞏固知識、運用知識是遠遠不夠的。因此，在習題設計中還必須關注學生學習能力的培養(yǎng)和提升。在第一次教學實踐中，教師完全照搬書本上的課后習題，因為方格圖中有了A的強烈暗示，使得該習題的目標只能停留在機械地模仿前面已經提供的推理方法，學生充其量只是對推理的方法又操練了一遍，而更致命的是前面給出推理方法時那些不理解的學生此時還是不太理解。但在第二次教學實踐中，教師把A去掉后，這個習題又變成了一個學生繼續(xù)自主探索、自我體悟方法的過程，尤其是碰到觀察、猜測、驗證失敗后的再調整、再猜測、再驗證，學生始終處于自主運用方法、感悟調整策略、理解推理內涵，提升推理能力的過程。

兩次實踐證明，規(guī)律的東西應該讓學生自己去發(fā)現(xiàn)，而不是由別人告訴或外界給予。也就是說，規(guī)律本身其實不是最重要的，重要的是引導學生去經歷獲得規(guī)律的過程，從中自己去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，悟得方法，從而在智、情、意、能等方面得以和諧、全面的發(fā)展這才是重中之重。正如北京師范大學周玉仁教授一直倡導的那樣：凡是學生能自己探索發(fā)現(xiàn)的，決不替代；凡是學生能獨立思考的，決不暗示?？傊?，在數(shù)學課堂上任何的暗示、給予都是不合適的，讓數(shù)學學習真正發(fā)生才是硬道理！

（浙江省嘉興市平湖市叔同實驗小學 314200）