“正比例”與“反比例”的變教為學(xué)

郜舒竹

關(guān)于比和比例的系統(tǒng)理論最早出現(xiàn)于古希臘歐幾里德的《原本》中，其概念的定義出現(xiàn)于第五卷。

《原本》中關(guān)于比和比例的內(nèi)容大多用于幾何問題以及數(shù)論方面的研究，而且對于數(shù)學(xué)內(nèi)容的研究起到了重要的作用。[1]正是這樣的重要性，使得比和比例作為數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的內(nèi)容，歷經(jīng)兩千余年而不衰。

一、僅有“生活”情境是不夠的

我國小學(xué)數(shù)學(xué)中“正比例”和“反比例”的課程內(nèi)容，在人民教育出版社2013年10月出版的《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)》中，安排在六年級下冊。對于“正比例”的學(xué)習(xí)，教科書中利用的是“購物”的情境（見圖1），也就是通過“購買鉛筆”的實際情境，讓學(xué)生感受到當(dāng)單價固定不變的時候，“數(shù)量”與“總價”是成正比例的。

對于“反比例”的學(xué)習(xí)，教科書中利用的是把相同體積的水倒入底面積不同的杯子（見圖2），讓學(xué)生感受到在水的體積固定不變的情況下，容器的“底面積”和水的“高度”是成反比例的。

這樣的安排應(yīng)當(dāng)說利用了學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，對于學(xué)生了解“正比例”和“反比例”的含義是有益的。但同時應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到，學(xué)生在小學(xué)的最后階段學(xué)習(xí)正比例和反比例，具有承上啟下的作用。一方面應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)對過去所學(xué)的相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的總結(jié)，另一方面應(yīng)當(dāng)為初中相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

因此，在教學(xué)過程中，不能將正、反比例所適用的情境僅僅定位于所謂的“生活情境”，還應(yīng)當(dāng)包括數(shù)學(xué)中的內(nèi)容。比如圓的周長與直徑（或半徑）之間的關(guān)系就是典型的正比例關(guān)系。另外，正比例和反比例并不是相互割裂的兩個概念，往往表現(xiàn)為同一情境中的不同關(guān)系。比如在“行程問題”中，如果速度是固定不變的常量，那么路程和時間就是成正比例的關(guān)系；同樣，如果時間是固定不變的常量，那么路程和速度也是成正比例的關(guān)系；如果路程是固定不變的常量，那么速度和時間就是成反比例的關(guān)系。

事實上，所有正比例和反比例關(guān)系都可以概括到數(shù)學(xué)模型“a×b=c”中，如果其中一個因數(shù)（a或b）代表固定不變的常量，那么另一個因數(shù)所代表的變量與字母c所代表的變量就是成正比例關(guān)系的；如果其中字母c所代表的是固定不變的常量，那么兩個因數(shù)a和b分別代表的變量就是成反比例關(guān)系的。因此，凡是具有兩個量之積等于另外一個量的情況，其中就應(yīng)當(dāng)有正比例和反比例的關(guān)系。

二、長方形中的“正比例”和“反比例”

所有長方形的面積與其邊的長度和寬度的關(guān)系可以概括為“長×寬=面積”。其中如果“面積”是固定不變的常量，那么“長”與“寬”的長度就是成反比例的量。如果一條邊的長度，比如“寬”是常量，那么“長”與“面積”就是成正比例的關(guān)系（見圖3）。

圖3中的正比例關(guān)系可以表達(dá)為“A1∶A2=a1∶a2”，或者用分?jǐn)?shù)的符號表示為“=”。在此基礎(chǔ)上，圖4的長方形中，如果用A1，A2，B1，B2分別代表相應(yīng)部分的面積，那么就有“=”和“=”同時成立。因此就有“=”成立。

這樣的關(guān)系可以進一步推廣，在圖5中，如果每個字母代表相應(yīng)部分的面積，那么就有下面的正比例關(guān)系：

==…=

這樣的模型在解決問題中是有用的，比如圖4中如果已知四個部分中任意三個部分的面積，那么利用=就可以輕易地求出另外一個部分的面積。

三、三角形中的“正比例”與“反比例”

任意三角形的面積與其“底”邊長度和“高”度之間的關(guān)系為“底×高=2面積”，如果三角形面積是常量，那么面積的“2倍”自然也是常量，此時三角形的“底”邊長度和“高”度就成反比例關(guān)系。如果“高”度是常量，那么三角形的面積與“底”邊長度就是成正比例關(guān)系。比如在圖6中，圖中大寫字母A1和A2分別代表相應(yīng)部分的面積，小寫字母a1和a2分別代表相應(yīng)底邊的長度。

由于三角形的高度是固定不變的常量，因此底邊長度和面積就是正比例關(guān)系，可以表示為如下的形式“A1∶a1=A2∶a2”，或者“=”。這樣的關(guān)系可以推廣為圖7的形式。

類似的正比例關(guān)系為“A1∶a1=A2∶a2=…=An∶an”，或者“==…=”。

這樣的正比例關(guān)系實質(zhì)上溝通了邊的長度與相應(yīng)部分面積之間的關(guān)系，這樣的關(guān)系在今后中學(xué)乃至大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都是重要的。比如對于三角形重心位置的確定，就可以運用這樣的關(guān)系。

在圖8的三角形ABC中，D點是BC邊的中點，E點是AC邊的中點。從三角形的頂點到對邊中點的連線叫作三角形的中線。圖8中的AD和BE都是三角形ABC的中線。三角形ABC的重心就位于中線的交點O處。

下面需要確定重心O點的具體位置。首先，由于三角形ADC和BCE的面積都是大三角形ABC面積的一半，所以二者面積相等。把這兩個三角形同時去掉公共部分（四邊形OECD），就可以知道三角形AOE和三角形OBD面積相等。同樣方法還可以知道三角形ABO和四邊形OECD面積相等。

再來看看三角形OBD與其相鄰的四邊形OECD的面積是什么關(guān)系。為了便于比較，連接O點和C點，把四邊形分割為兩個三角形ODC和OEC（見圖9）。

由于D點是BC邊的中點，因此三角形ODC與鄰近的三角形OBD面積相等，三角形OEC與鄰近的三角形AOE面積相等。聯(lián)系剛才的結(jié)果，就可以知道下面兩個關(guān)系，三角形ABO的面積等于三角形AOE面積的2倍，也等于三角形OBD面積的2倍。

利用前面所說的面積與邊長的正比例關(guān)系，立刻就可以知道線段BO的長度是線段OE長度的2倍，同樣線段AO的長度是線段OD長度的2倍。現(xiàn)在就知道三角形重心的具體位置了，任意三角形的重心是三條中線的交點，這個交點位于每一條中線靠近底邊的三等分點處。

四、“正比例”與“反比例”的教學(xué)設(shè)計

綜上，關(guān)于正比例和反比例的教學(xué)應(yīng)當(dāng)形成的觀點主要有三點：第一，正比例和反比例并非全新的知識，其本質(zhì)是對所有具有“兩個量之積等于第三個量”的數(shù)量關(guān)系進行概括的數(shù)學(xué)模型；第二，正比例和反比例往往是同一模型中的兩種關(guān)系，所以在教學(xué)中可以同時出現(xiàn)，便于學(xué)習(xí)過程中的對比；第三，這個模型對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有承上啟下的作用，所應(yīng)用的情境不應(yīng)當(dāng)局限于所謂的“生活”，還應(yīng)當(dāng)包含有數(shù)學(xué)中的內(nèi)容。

“變教為學(xué)”倡導(dǎo)知識的呈現(xiàn)應(yīng)當(dāng)“突出本質(zhì)、滲透文化、實現(xiàn)關(guān)聯(lián)”。作為我國傳統(tǒng)文化的成語中，有些也蘊含著正比例和反比例的觀念。比如成語“半斤八兩”，中國古時關(guān)于重量的計量單位為“1斤=16兩”，“斤”與“兩”的關(guān)系其實就是正比例關(guān)系。事實上，所有度量單位之間的轉(zhuǎn)換，都是依據(jù)類似于此的正比例關(guān)系。再比如成語“事半功倍”，表達(dá)的意思是做事方法巧妙，雖然費力小，但是做出的成果大。也可以把其中的“事”理解為工作時間，“功”理解為工作效率，那么這個成語所說的意思就是在工作總量不變的情況下，工作效率與工作時間是反比例關(guān)系，也就是說，提高效率就等于節(jié)約了時間。

有了這些認(rèn)識，就可以把學(xué)習(xí)目標(biāo)敘述為：“總結(jié)具有兩個量之積等于第三個量的數(shù)量關(guān)系；認(rèn)識其中的正比例關(guān)系和反比例關(guān)系?！币罁?jù)這樣的學(xué)習(xí)目標(biāo)，可以設(shè)計如下的學(xué)習(xí)任務(wù)。

任務(wù)1：寫出所有你知道的，具有“□×□=□”形式的公式。比如“長×寬=長方形面積”。在小組內(nèi)交流，互相補充。

學(xué)生依據(jù)這樣的任務(wù)，就需要在自己已有的知識和經(jīng)驗中回憶?？赡軐懗龅年P(guān)系式主要有如下的類型：度量單位換算；面積和體積公式；工程問題；行程問題；購物問題；等等。這樣的回憶能夠幫助學(xué)生對已有的知識和經(jīng)驗進行歸納，發(fā)現(xiàn)其共性，為下面概括出正比例和反比例關(guān)系做好準(zhǔn)備。

任務(wù)2：在“□×□=□”的三個量中，如果固定其中的一個，那么另外兩個量是什么關(guān)系呢？用一個例子進行說明。

設(shè)計這個任務(wù)的目的是讓學(xué)生體會“常量”與“變量”的含義，同時感受兩個量之間依賴與制約的關(guān)系。

任務(wù)3：自己想想，什么叫作“兩個量成正比例”？什么叫作“兩個量成反比例”？在小組內(nèi)說說自己的想法。

通過對這些任務(wù)的思考討論，學(xué)生可以初步經(jīng)歷比較并且概括的過程。在此基礎(chǔ)上，可以引導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書，進一步明確“正比例”和“反比例”的含義。在此基礎(chǔ)上，運用前面所說的成語解讀以及相關(guān)的數(shù)學(xué)問題等內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)歷深入理解正比例和反比例關(guān)系的過程。

參考文獻(xiàn)：

[1] Isaac Barrow. Euclid’s Elements[M]. London： Printed and Sold by W. Redmayne. 1714.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）