巧解“統(tǒng)計(jì)與概率”的中考問題

鄒浩芳

統(tǒng)計(jì)與概率的問題越來越受到人們的關(guān)注，在近年的中考卷中，各地越來越注重考查發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，同樣在統(tǒng)計(jì)與概率的問題中也越來越突出地體現(xiàn)這一特點(diǎn)，因此運(yùn)用巧妙的思路和方法在較短的時間內(nèi)快速地解決有關(guān)的問題也顯得越來越重要. 統(tǒng)計(jì)與概率問題按照知識點(diǎn)可分為：（一） 數(shù)據(jù)的收集與處理問題，（二） 概率問題，（三） 統(tǒng)計(jì)與概率綜合的問題.

一、 數(shù)據(jù)的收集與處理問題

數(shù)據(jù)的收集與處理方法主要有統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表兩種，其中統(tǒng)計(jì)圖又分為條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖. 條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示每個項(xiàng)目的具體數(shù)目，折線統(tǒng)計(jì)圖能清楚地反映事物的變化情況，扇形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地反映出各部分在總體中所占的百分比.

例1 （2014·湖南永州）為了了解學(xué)生在一年中的課外閱讀量，九（1）班對九年級800名學(xué)生采用隨機(jī)抽樣的方式進(jìn)行了問卷調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果分為四種情況：A. 10本以下；B. 10～15本；C. 16～20本；D. 20本以上. 根據(jù)調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)整理并制作了如圖所示的兩幅統(tǒng)計(jì)圖表：

（1） 在這次調(diào)查中一共抽查了_____名學(xué)生；

（2） 表中x，y的值分別為：x=_____，y=_____；

（3） 在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，C部分所對應(yīng)的扇形的圓心角是_____度；

（4） 根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，請估計(jì)九年級學(xué)生一年閱讀課外書20本以上的學(xué)生人數(shù).

【考點(diǎn)】本題主要考查了頻數(shù)分布表、用樣本估計(jì)總體、扇形統(tǒng)計(jì)圖等知識點(diǎn)，考查認(rèn)識統(tǒng)計(jì)圖、統(tǒng)計(jì)表的能力，考查分析和處理這些數(shù)據(jù)的能力.

【分析】（1） 利用A部分的人數(shù)÷A部分人數(shù)所占百分比即可算出本次問卷調(diào)查共抽取的學(xué)生數(shù)；（2） x=抽查的學(xué)生總數(shù)×B部分的學(xué)生所占百分比，y=抽查的學(xué)生總數(shù)-A部分的人數(shù)-B部分的人數(shù)-D部分的人數(shù)；（3） C部分所對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)=360°×所占百分比；（4） 利用樣本估計(jì)總體的方法，用800人×調(diào)查的學(xué)生中一年閱讀課外書20本以上的學(xué)生人數(shù)所占百分比.

答：九年級學(xué)生一年閱讀課外書20本以上的人數(shù)為160人.

【點(diǎn)評】此題的關(guān)鍵是正確地從扇形統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表中得到有用的信息.

二、 概率問題

概率問題是新課程改革后中考必考內(nèi)容之一，生活中的實(shí)際問題成了命題者的重要來源，這樣能夠考查同學(xué)們綜合運(yùn)用知識解決問題的能力，我們要把握問題的本質(zhì)，掌握解決問題的金鑰匙.

例2 （2014·湖南懷化）甲、乙兩名同學(xué)做摸球游戲，他們把三個分別標(biāo)有1，2，3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中.

（1） 求從袋中隨機(jī)摸出一球，標(biāo)號是1的概率；

（2） 從袋中隨機(jī)摸出一球后放回，搖勻后再隨機(jī)摸出一球，若兩次摸出的球的標(biāo)號之和為偶數(shù)時，則甲勝，若兩次摸出的球的標(biāo)號之和為奇數(shù)時，則乙勝，試分析這個游戲是否公平？請說明理由.

【考點(diǎn)】游戲公平性；概率公式；列表法與畫樹狀圖法.

【分析】（1） 由把三個分別標(biāo)有1，2，3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案.

（2） 首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與甲勝、乙勝的情況，即可求得概率. 比較大小，即可知這個游戲是否公平.

（2） 這個游戲不公平.

畫樹狀圖得：

【點(diǎn)評】本題考查的是游戲公平性的判斷. 判斷游戲公平性就要計(jì)算每個事件的概率. 概率相等就公平，否則就不公平.

三、 統(tǒng)計(jì)與概率綜合的問題

統(tǒng)計(jì)與概率綜合的問題，突出考查了綜合運(yùn)用知識分析、解決問題的能力，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體性、數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科的緊密聯(lián)系，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念.

例3 （2014·山東菏澤）李老師為了了解所教班級學(xué)生完成數(shù)學(xué)課前預(yù)習(xí)的具體情況，對本班部分學(xué)生進(jìn)行了為期半個月的跟蹤調(diào)查，他將調(diào)查結(jié)果分為四類，A：很好；B：較好；C：一般；D：較差. 并將調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題：

（1） 李老師一共調(diào)查了多少名同學(xué)？

（2） C類女生有 3 名，D類男生有 1 名，將上面條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（3） 為了共同進(jìn)步，李老師想從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中各隨機(jī)選取一位同學(xué)進(jìn)行“一幫一”互助學(xué)習(xí)，請用列表法或畫樹形圖的方法求出所選兩位同學(xué)恰好是一位男同學(xué)和一位女同學(xué)的概率.

【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖；扇形統(tǒng)計(jì)圖；列表法與畫樹狀圖法求概率.

【分析】（1） 根據(jù)B類有6+4=10人，所占的比例是50%，據(jù)此即可求得總?cè)藬?shù)；

（2） 利用（1）中求得的總?cè)藬?shù)乘對應(yīng)的百分比即可求得C類的人數(shù)，然后求得C類中女生人數(shù)，同理求得D類男生的人數(shù)；

（3） 利用列舉法即可表示出各種情況，然后利用概率公式即可求解.

解：（1） （6+4）÷50%=20. 所以李老師一共調(diào)查了20名學(xué)生.

（2） C類女生有3名，D類男生有1名；補(bǔ)充條形統(tǒng)計(jì)圖.

（3） 由題意畫樹狀圖如下：

從樹狀圖看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有6種，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，所選兩位同學(xué)恰好是一位男同學(xué)和一位女同學(xué)的結(jié)果共有3種.

【點(diǎn)評】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.

五、 結(jié)束語

統(tǒng)計(jì)、概率與現(xiàn)實(shí)生活密切聯(lián)系，大家可以通過實(shí)踐活動來學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)處理的方法. 盡管現(xiàn)在的題型千變?nèi)f化，其實(shí)萬變不離其宗，我們要學(xué)會始終從基本概念出發(fā)，認(rèn)真讀題、認(rèn)真審題，從題目中尋找我們要的信息，然后運(yùn)用我們所學(xué)的知識就能巧妙地解決我們遇到的問題了！

（作者單位：江蘇省常州市田家炳初級中學(xué)）