圓錐曲線應(yīng)用中的建模教學(xué)實(shí)踐

張彩霞

摘 要： 本文主要通過圓錐曲線在實(shí)際問題中的應(yīng)用，說明數(shù)學(xué)建模的方法，理解函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想.討論了將數(shù)學(xué)建模思想融入解析幾何中圓錐曲線教學(xué)的必要性和可行性，并論證了將數(shù)學(xué)建模思想融入教學(xué)中是目前實(shí)施高職數(shù)學(xué)建模教學(xué)行之有效的方法之一.

關(guān)鍵詞： 圓錐曲線 數(shù)學(xué)建模 教學(xué)實(shí)踐

解析幾何圓錐曲線在日常生活中應(yīng)用廣泛，如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決應(yīng)用題的關(guān)鍵，而建立數(shù)學(xué)模型是實(shí)現(xiàn)應(yīng)用問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的常用方法.學(xué)生對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系較近的數(shù)學(xué)問題頗感興趣，從而對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模思想和方法產(chǎn)生濃厚的興趣.以此為基礎(chǔ)，重點(diǎn)研究了這種建模實(shí)踐教學(xué)的課堂設(shè)計(jì)及課程的研究性學(xué)習(xí).在圓錐曲線教學(xué)中融入建模思想式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，建立合理的數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵.在什么情況下應(yīng)用什么知識(shí)和方法建立模型，學(xué)生有時(shí)感到很茫然.下面就數(shù)學(xué)建模中的圓錐曲線問題分類介紹一些例子.以最大視角熟悉圓錐曲線在應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問題，論述了解析幾何課程數(shù)學(xué)建模思想滲透的必要性，并結(jié)合解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)將數(shù)學(xué)建模思想融入解析幾何教學(xué)中，最后提出在解析幾何課程中滲透數(shù)學(xué)建模思想的方法和建議，從而達(dá)到提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想、知識(shí)、方法解決實(shí)際問題的能力的目的.

一、建立橢圓形模型

評(píng)述：（1）在天體運(yùn)行中，彗星繞恒星運(yùn)行的軌道一般都是橢圓，而恒星正是它的一個(gè)焦點(diǎn)，該橢圓的兩個(gè)端點(diǎn)，一個(gè)是近地點(diǎn)，另一個(gè)則是遠(yuǎn)地點(diǎn)，這兩點(diǎn)到恒星的距離一個(gè)是a-c，另一個(gè)是a+c.

（2）以上給出的解答是建立在橢圓的概念和幾何意義之上的，以數(shù)學(xué)概念為根基充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.另外，數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的解決在數(shù)學(xué)化的過程中也要時(shí)刻不忘審題，善于挖掘隱含條件，有意識(shí)地訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

二、建立雙曲線模型

例2：A、B、C是我方三個(gè)炮兵陣地，A在B正東6km，C在B正北偏西30，相距4km，P為敵炮陣地，某時(shí)刻A處發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號(hào)，由于B、C兩地比A距P地遠(yuǎn)，因此4s后，B、C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)，此信號(hào)的傳播速度為1km/s，A若炮擊P地，求炮擊的方位角.

剖析：本題的實(shí)際意義是求直線與雙曲線的交點(diǎn)。

解：如下圖，以直線BA為x軸，線段BA的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系，則

故炮擊的方位角為北偏東30°.

評(píng)述：讓學(xué)生鞏固加深對(duì)雙曲線定義的理解，以及求解直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題.希望學(xué)生能夠類比例題1，首先通過建立直角坐標(biāo)系，構(gòu)造雙曲線模型，再得出點(diǎn)所在的直線方程，聯(lián)立方程組，使本題得以解決.本例因?yàn)槎嘣黾恿艘粋€(gè)觀測(cè)點(diǎn)，就能確定發(fā)出信號(hào)的準(zhǔn)確位置，這是雙曲線在軍事上的一個(gè)重要應(yīng)用.

三、建立拋物線模型

例3：有一座拋物線形拱橋，在正常水位時(shí)水面AB的寬為20米，如果水位上升3米時(shí)，則水面CD的寬是10米.

（1）建立以拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的解析式；

（2）現(xiàn)有一輛載有救災(zāi)物資的貨車從甲地經(jīng)此橋到乙地，已知甲地到此橋280km（橋身忽略不計(jì)）.貨車正以40km/h的速度開往乙地，當(dāng)行駛一小時(shí)時(shí)，忽然接到緊急通知，前方連降暴雨，造成水位以每小時(shí)0.25m的速度持續(xù)上漲（貨車接到通知時(shí)水位在CD處，當(dāng)水位達(dá)到橋拱最高點(diǎn)時(shí)，禁止車輛通行）.問：貨車以原來的速度行駛，能否安全通過此橋？若能，說明理由；若不能，要使貨車安全通過此橋，速度應(yīng)超過每小時(shí)多少千米？

剖析：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，要確定拋物線的解析式，需要知道拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，因此將題目中的條件轉(zhuǎn)化為拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵.

（2）貨車能否安全通過此橋，可從三個(gè)方面考慮.

a.可以對(duì)貨車從接到通知到到達(dá)橋的時(shí)間與水位到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間進(jìn)行比較.前者小于后者，就可以安全通過，否則，不可以.

b.先求出水位到達(dá)最高點(diǎn)需要的時(shí)間，然后計(jì)算出按原速度行駛的總路程與甲地到此橋的路程進(jìn)行比較，前者大于后者，就可以安全通過，否則，不可以.

c.先求出水位到達(dá)最高點(diǎn)需要的時(shí)間，然后計(jì)算出按此時(shí)間到達(dá)此橋需要的速度與原速度進(jìn)行比較，前者小于后者，就可以安全通過，否則，不可以.

這里只給出一種方法，其余方法請(qǐng)同學(xué)們自己嘗試.

評(píng)述：例3是在平面直角坐標(biāo)系中，通過建立拋物線的解析式解決實(shí)際問題，解決這類問題的關(guān)鍵是要把相關(guān)的線段長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，確定出拋物線的解析式，然后再把問題轉(zhuǎn)化為已知拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)），求其縱坐標(biāo)或（橫坐標(biāo)），再轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)回答實(shí)際問題.

解決圓錐曲線應(yīng)用問題時(shí)，要善于抓住問題的實(shí)質(zhì)，通過建立數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用問題向數(shù)學(xué)問題的順利轉(zhuǎn)化；要注意認(rèn)真分析數(shù)量間的關(guān)系，緊扣圓錐曲線概念，充分利用曲線的幾何性質(zhì)，確定正確的問題解決途徑，靈活運(yùn)用解析幾何的常用數(shù)學(xué)方法，最終求得完整的解答.

解應(yīng)用題時(shí)涉及兩個(gè)基本步驟，即將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題和解決這個(gè)數(shù)學(xué)問題，為此要注意以下三點(diǎn).

1.閱讀理解，數(shù)學(xué)應(yīng)用題給出的方式是材料的陳述，而不是客體的展示.也就是說，所考的應(yīng)用題通常已進(jìn)行過初步加工，并通過語言文字、符號(hào)或圖形展現(xiàn)在考生面前，要求考生讀懂題意，理解實(shí)際背景，領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì).

2.數(shù)學(xué)建模，即將應(yīng)用題的材料陳述轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.這就要抽象、歸納其中的數(shù)量關(guān)系，并把這種關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表示出來.

3.數(shù)學(xué)求解，根據(jù)所建立數(shù)學(xué)關(guān)系的知識(shí)系統(tǒng)，解出結(jié)果，從而得到實(shí)際問題的解答.

本節(jié)就是通過圓錐曲線在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生解決應(yīng)用問題的能力.針對(duì)高中解析幾何教學(xué)本研究的主要結(jié)論是：1.教師知識(shí)面是數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)施的基石；2.讓學(xué)生動(dòng)手探究問題是融入建模思想的有效方法；3.數(shù)學(xué)建模問題的設(shè)計(jì)是數(shù)學(xué)建模實(shí)施的有效途徑；4.正確使用多媒體對(duì)建模教學(xué)有促進(jìn)作用；5.在日常教學(xué)中開設(shè)建模專題課.

參考文獻(xiàn)：

[1]中等職業(yè)學(xué)校國(guó)家審定教材.數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）.江蘇教育出版社，2005.

[2]五年制高等職業(yè)教育教材.數(shù)學(xué)（第一冊(cè)）.蘇州大學(xué)出版社，2009.