中考最值問題解答策略

李富軍

最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是一類綜合性較強(qiáng)的問題，它貫穿初中數(shù)學(xué)的始終，是中考的熱點(diǎn)問題.無論是代數(shù)問題還是幾何問題都有最值問題，在中考壓軸題中出現(xiàn)比較多的主要有利用重要的幾何結(jié)論（如兩點(diǎn)之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、垂線段最短等）、一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求最值等.由于其解題方法較靈活，綜合性強(qiáng)，不少同學(xué)時常感到無從下手，下面對常見題型作一歸納，供同學(xué)們參考，

一、函數(shù)型

利用一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)圖象的對稱性及函數(shù)的增減性，確定某范圍內(nèi)函數(shù)的最大或最小值.

1.利用一次函數(shù)的增減性求最值

例1 （2014.黔南州）已知某廠現(xiàn)有A種金屬70噸.B種金屬52噸，現(xiàn)計劃用這兩種金屬生產(chǎn)M、N兩種型號的合金產(chǎn)品共80000套，已知做一套M型號的合金產(chǎn)品需要A種金屬0.6kg，B種金屬0.9kg，可獲利潤45元；做一套Ⅳ型號的合金產(chǎn)品需要A種金屬1.1kg，B種金屬0.4kg，可獲利潤50元.若設(shè)生產(chǎn)N種型號的合金產(chǎn)品套數(shù)為x，用這批金屬生產(chǎn)這兩種型號的合金產(chǎn)品所獲總利潤為y元.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍.

（2）在生產(chǎn)這批合金產(chǎn)品時，Ⅳ型號的合金產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)多少套，該廠所獲利潤最大？最大利潤是多少？

分析：（1）根據(jù)總利潤等于M、N兩種型號合金的利潤之和列式整理即可，再根據(jù)M、N兩種合金所用A、B兩種金屬的質(zhì)量不超過現(xiàn)有金屬質(zhì)量列出不等式組求解即可；（2）根據(jù)一次函數(shù)的增減性求出所獲利潤最大值即可.

解：（l）y=50x+45（80000-x）=5x+3600000.

1.1x+0.6（80000-x）≤70000.

由題意得，0.4x+0.9（80000x-x）≤52000.

不等式組的解集是40000≤x≤44000.

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=5x+3600000（40000≤x≤44000）.

（2）5>0，故y隨x的增大而增大.

∴當(dāng)x=44000時，y最大=3820000.

即生產(chǎn)N型號的合金產(chǎn)品44000套時，該廠所獲利潤最大，最大利潤是3820000元.

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，利用一次函數(shù)求最值時，關(guān)鍵是應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)，即由函數(shù)y隨x的變化情況，結(jié)合自變量的取值范圍確定最值.

2.利用二次函數(shù)圖象的對稱性及函數(shù)的增減性求最值

例2（2014.徐州）某種商品每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間滿足關(guān)系：y=ax2+bx-75.其圖象如圖1.

（1）銷售單價為多少元時，該種商品每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？

（2）銷售單價在什么范圍時，該種商品每天的銷售利潤不低于16元？

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得二次函數(shù)解析式，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，可得答案.

（2）根據(jù)函數(shù)值大于或等于16，可列不等式求出解集，可得答案.

解：（l）函數(shù)y=ax2+bx-75的圖象過點(diǎn)（5，0）、（7，16）.

25a+5b-75=0，

a=-1.

∴{49a+7b-75=16

解得{b=20.

拋物線y=-x2+20x-75的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（10，25），故當(dāng)x=10時，y最大=25.

答：銷售單價為10元時，該種商品每天的銷售利潤最大，最大利潤為25元.

（2）∴函數(shù)y=-x2+20x-75圖象的對稱軸為直線x=10，

∴點(diǎn)（7，16）關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)是（13，16）.

又函數(shù)y=-x2+20x-75的圖象開口向下，

∴當(dāng)7≤x≤13時，y≥16.

答：銷售單價不少于7元且不超過13元時，該種商品每天的銷售利潤不低于16元，

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求解析式，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)求最值，利用對稱點(diǎn)求不等式的解集，

二、幾何型

1.利用兩點(diǎn)之間線段最短，或點(diǎn)到直線之間垂線段最短求最值

例3 （2014·東營）如圖2，有兩棵樹，一棵高12m，另一棵高6m，兩樹相距8m，一只鳥從一棵

樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行___m.

分析：根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行，路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出.

解：如圖2，設(shè)大樹高為AB=12m，小樹高為CD=6m.

過C點(diǎn)作CE⊥AB于E，則四邊形EBDC是矩形，連接AC.

∴EB=6m，EC=8m，AE=AB-EB=12-6=6（m）.

在Rt△AEC中，.

故小鳥至少飛行10m.

點(diǎn)評：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際得出直角三角形，又考查了學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.

2.利用軸對稱的性質(zhì)求最值

例4 （2014.張家界）如圖3，A B.CD是半徑為5的OO的兩條M

弦，AB=8，CD=6，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，P為EF 上的任意一點(diǎn)，則PA+PC的最小值

為

.

分析：A、B兩點(diǎn)關(guān)于MN對稱，因而PA+PC=PB+PC，即當(dāng)B、C、P在一條直線上時，PA+PC的值最小，即BC的值就是PA+PC的最小值，

解：連接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H.

根據(jù)垂徑定理，得到BE=1/2AB=4，CF=1/2CD=3.

∴CH=OE+OF=3+4=7 ，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7.

在直角△BCH中根據(jù)勾股定理得到

則PA+PC的最小值為.

點(diǎn)評：正確理解BC的長是PA+PC的最小值，是解決本題的關(guān)鍵.

3.利用展開圖求最值

例5（2014.濰坊）我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖4所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是10尺，則該圓柱的高 為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處.則問題中葛藤的最短長度是____尺.

分析：這種立體圖形求最短路徑問題，可以轉(zhuǎn)化為展開立體圖形成為平面圖形的問題解決，展開后可轉(zhuǎn)化為圖5，所以是一個求直角三角形斜邊長的問題，根據(jù)勾股定理可求出.

解：如圖5，一條直角邊（即枯木的高）長20尺，另一條直角邊長為5x3=15（尺），因此葛藤的最短長度為

點(diǎn)評：本題考查了平面展開最短路徑問題，關(guān)鍵是把立體圖形展成平面圖形，再根據(jù)勾股定理求出解.