數(shù)字變化引發(fā)的思考

余婷婷

摘 ? ?要： 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開數(shù)字，數(shù)字是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。教學(xué)中經(jīng)常會通過不改變題意，只改變數(shù)字大小出題考查學(xué)生，以此了解學(xué)生對某個知識點的掌握情況。然而有些情況下，數(shù)字大小的變化，會讓情況發(fā)生不同的變化。

關(guān)鍵詞： 數(shù)字變化 ? ?次品 ? ?次數(shù)

有些情況下，數(shù)字的變化會使解題變復(fù)雜，如從35÷7變成36÷7，計算量變大了;有些情況下數(shù)字的變化會使解題思路發(fā)生變化，如一個長8m，寬5m，高2m的水池中注滿水，然后把兩條長3m，寬2m，高1m的石柱放入池中，水池溢出水的體積是多少？把石柱高改成5m，解題思路就要發(fā)生改變。所以數(shù)學(xué)上很多題目并不是隨意改變數(shù)字大小就可以的，還要結(jié)合題意。

數(shù)學(xué)廣角“找次品”的內(nèi)容在新舊人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中都出現(xiàn)了，然而在數(shù)字編排上卻有所不同。

2005人教版（文中稱為舊人教版）：

例1：這里有5瓶鈣片，其中1瓶少了3片，設(shè)法把它找出來。

例2：有一些零件里有1個次品（次品重一些），用天平秤，至少稱幾次就一定能找出次品來？（咱們從9個零件開始試驗吧?。?/p>

2015人教版（文中稱為新人教版）：

例1：有3瓶鈣片，其中1瓶少了3片。你能設(shè)法把它找出來嗎？

例2：8個零件里有1個是次品（次品重一些）。假如用天平秤，至少稱幾次能保證找出次品？

從對比中可以看出，舊人教版例題給出的數(shù)字是5和9，而新人教版例題給出的數(shù)字是3和8，看似簡單的兩個數(shù)字變化，卻讓我在教學(xué)設(shè)計過程中產(chǎn)生了以下思考。

一、數(shù)字“3”是探究的起點

舊人教版例1給的是數(shù)字“5”，首次探究就給出5瓶，學(xué)生可能會出現(xiàn)這幾種情況：（1，1，1，1，1）、（1，1，3）和（2，2，1）。這些情況分析稍復(fù)雜，不便于學(xué)生初步理解“找次品”的含義。新人教版例1給的數(shù)字“3”出現(xiàn)的情況只有（1，1，1）一種，讓學(xué)生從最簡單的問題入手，分析思路清晰，易于學(xué)生初步感知用天平“找次品”的基本思路。

5瓶中找一個次品，出現(xiàn)的三種情況：（1，1，1，1，1）、（1，1，3）、（2，2，1），都是至少稱兩次才能保證找出次品，這樣無規(guī)律的嘗試會讓學(xué)生感覺不管用什么方法都能得出一樣的答案，致使學(xué)生沒有尋找最優(yōu)化方法的意識。在分析（1，1，3）這種情況的時候，如果天平平衡，次品在剩下的3個零件中，那么我們也要分析從“3個零件中找一個次品”的過程。所以筆者認(rèn)為直接從數(shù)字“3”入手，思路清晰，便于理解和感知。

二、數(shù)字“8”是探究的突破口

不論是8個零件、5個零件還是9個零件中有一個是次品都是至少需要稱2次才能保證找出次品，然而從“8個零件中找一個次品”是探究的突破口。

1.“8個零件中找一個次品”，放手讓學(xué)生自己動手探究，學(xué)生會出現(xiàn)（1，1，1，1，1，1，1，1）、（2，2，2，2）、（4，4）和（3，3，2）等情況，這些情況分的份數(shù)不一樣，學(xué)生探究后發(fā)現(xiàn)保證找出次品稱的次數(shù)也有所不同。由此通過對比發(fā)現(xiàn)（3，3，2）用的次數(shù)最少，并與例1中3瓶的分法（1，1，1）結(jié)合起來分析，發(fā)現(xiàn)旁邊要有待測物品的時候用的次數(shù)最少，再讓學(xué)生思考：“為什么有待測物品的時候用到次數(shù)最少呢？”即如果天平平衡時，次品在待測物品中;如果天平不平衡，次品在輕的那一邊，那么待測物品就是正品?？梢姶郎y物品在旁邊是有起到作用的，由此加深學(xué)生對分成3份的理解。

2.8個零件是偶數(shù)，學(xué)生在探究中會出現(xiàn)（4，4）分成兩份的情況，而舊人教版中的5和9都是奇數(shù)，不可能會出現(xiàn)平均分成兩份的情況，這樣學(xué)生的認(rèn)知就少了一種可能性的沖突。后面遇到總數(shù)是偶數(shù)的時候，或許就有學(xué)生會認(rèn)為：我是不是平均分成兩份，份數(shù)越少次數(shù)就越少呢？

3.通過“8個零件中找一個次品”對比中感知分成3份能保證找出次品用的次數(shù)最少，進(jìn)而讓學(xué)生用分成3份的方法找“9個零件中有一個次品”的情況。學(xué)生通常會出現(xiàn)（4，4，1）、（2，2，5）和（3，3，3），從不同結(jié)果對比中發(fā)現(xiàn)，（3，3，3）用的次數(shù)最少，由此引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，分成3份也不是隨便分的，而是要平均分。通過思考為什么要平均分？讓學(xué)生理解平均分是為了使每一份分得的數(shù)量最少。再次對比8個零件的（3，3，2）與9個零件的（3，3，3），追問：“如果像8個零件這樣不能平均分怎么辦？”讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)如果不能平均分的就要盡量平均分——使得多的一份與少的一份只相差1。再次讓學(xué)生思考為什么會使“多的一份與少的一份只相差1”？從整數(shù)除法中可知，除數(shù)是3的余數(shù)只能是1或2，如果余數(shù)是1就讓待測物品多1，如果余數(shù)是2就讓天平兩邊各多1，這樣就能使多的一份比少的一份只相差1。如果沒有8個零件這個環(huán)節(jié)，直接過渡到9個零件，學(xué)生沒有對比和分析，就不容易理解“盡量平均分”的含義。

4.為什么不選擇用數(shù)字“6”或“7”作為探究的突破口呢？數(shù)字“6”也有（1，1，1，1，1，1）、（1，1，4）、（2，2，2，）和（3，3）這幾種情況，然而數(shù)字“6”分成三份是平均分，與數(shù)字“9”的情況類似，不能出現(xiàn)“盡量平均分”的情況。而數(shù)字“7”是奇數(shù)，在分的過程中沒有出現(xiàn)平均分成兩份的情況，不利于學(xué)生對比分析。

5.那么數(shù)字“10”是不是也很適合呢？既滿足是偶數(shù)，又有不能平均分的情況。我們不要忘了我們現(xiàn)在是在尋找一種最優(yōu)的“找次品”的方法，探究問題通常是要“化繁為簡”，有個更小更適合的數(shù)字8，又何必要用數(shù)字10呢？從簡單數(shù)據(jù)入手，是數(shù)學(xué)上常用的一種研究問題的方法。

一個看不起眼的數(shù)字變化，卻讓我在教學(xué)設(shè)計過程中產(chǎn)生了這么多的思考。數(shù)字作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，鞭策我們數(shù)學(xué)老師在平時的教學(xué)中慎用數(shù)字，不能輕易改變數(shù)字的大小;巧用數(shù)字，讓數(shù)字成為孩子學(xué)好數(shù)學(xué)的階梯;妙用數(shù)字，激發(fā)孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。讓我們一起努力，成為尊重數(shù)學(xué)、重視數(shù)字的合格的數(shù)學(xué)老師。