例析高中數(shù)學建模

陳文海

摘 要： 所謂數(shù)學模型，是指對于現(xiàn)實世界的某一特定研究對象，為了某個特定的目的，在做了一些必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，并通過數(shù)學語言表述出來的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)，數(shù)學中的各種基本概念，都是以各自相應的現(xiàn)實原型作為背景而抽象出來的數(shù)學概念.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學建模 思維能力 實際問題

各種數(shù)學公式、方程式、定理、理論體系等，都是一些具體的數(shù)學模型.舉個簡單的例子，二次函數(shù)就是一個數(shù)學模型，很多數(shù)學問題甚至實際問題都可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解決.而通過對問題數(shù)學化，模型構(gòu)建，求解檢驗使問題獲得解決的方法被稱為數(shù)學模型方法.我們的數(shù)學教學說到底實際上就是教給學生前人給我們構(gòu)建的一個個數(shù)學模型和構(gòu)建模型的思想方法，使學生能運用數(shù)學模型解決數(shù)學問題和實際問題.

具體的講，數(shù)學模型方法的操作程序大致為：

實際問題→分析抽象→建立模型→數(shù)學問題

↑ ↓

檢驗 ← 實際解 ← 釋譯 ← 數(shù)學解

由此，我們可以看到，培養(yǎng)學生運用數(shù)學建模解決實際問題的能力關(guān)鍵是把實際問題抽象為數(shù)學問題，必須首先通過觀察分析、提煉出實際問題的數(shù)學模型，然后再把數(shù)學模型納入某知識系統(tǒng)去處理.這不但要求學生有一定的抽象能力，而且要有相當?shù)挠^察、分析、綜合、類比能力.學生的這種能力的獲得不是一朝一夕的事情，需要把數(shù)學建模意識的培養(yǎng)貫穿教學的始終，也就是要不斷引導學生用數(shù)學思維的觀點觀察、分析和表示各種事物關(guān)系、空間關(guān)系和數(shù)學信息，從紛繁復雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數(shù)學模型，進而達到用數(shù)學模型解決實際問題的目的，使數(shù)學建模意識成為學生思考問題的方法和習慣.構(gòu)建數(shù)學建模意識的基本途徑如下.

1.為了培養(yǎng)學生的建模意識，中學數(shù)學教師首先要提高自己的建模意識.這不僅意味著在教學內(nèi)容和要求上的變化，更意味著教育思想和教學觀念的更新.中學數(shù)學教師除需要了解數(shù)學科學的發(fā)展歷史和發(fā)展動態(tài)之外，還需要不斷學習一些新的數(shù)學建模理論，并且努力鉆研如何把中學數(shù)學知識應用于現(xiàn)實生活.北京大學附中張思明老師對此提供了非常典型的事例：他在大街上看到一則廣告：“本店承接A1型號影印.”什么是A1型號？在弄清了各種型號的比例關(guān)系后，他便把這一材料引入到初中“相似形”部分的教學中.這是一般人所忽略的事，卻是數(shù)學教師運用數(shù)學建模進行教學的良好機會.

2.數(shù)學建模教學應與現(xiàn)行教材結(jié)合起來研究.教師應研究在各個教學章節(jié)中可引入哪些模型問題，如講立體幾何時可引入正方體模型或長方體模型把相關(guān)問題放到這些模型中解決；又如在解幾中講了兩點間的距離公式后，可引入兩點間的距離模型解決一些具體問題，而儲蓄問題、信用貸款問題則可結(jié)合在數(shù)列教學中.要經(jīng)常滲透建模意識，這樣通過教師的潛移默化，學生可以從各類大量的建模問題中逐步領悟到數(shù)學建模的廣泛應用，從而激發(fā)學生研究數(shù)學建模的興趣，提高他們運用數(shù)學知識進行建模的能力.

3.注意與其他相關(guān)學科的關(guān)系.由于數(shù)學是學生學習其他自然科學以至社會科學的工具，而且其他學科與數(shù)學的聯(lián)系是相當密切的，因此我們在教學中應注意與其他學科的呼應，這不但可以幫助學生加深對其他學科的理解，而且是培養(yǎng)學生建模意識的一個不可忽視的途徑.例如教了正弦型函數(shù)后，可引導學生用模型函數(shù)y=Asin（wx+Φ）寫出物理中振動圖像或交流圖像的數(shù)學表達式.又如當學生在化學中學到CH CL ，金剛石等物理性質(zhì)時，可用立幾模型驗證它們的鍵角為arccos（-1/3）=109°28′……可見，這樣的模型意識不僅是抽象的數(shù)學知識，而且將對他們學習其他學科的知識及將來用數(shù)學建模知識探討各種邊緣學科產(chǎn)生深遠的影響.

4.在教學中要結(jié)合專題討論與建模法研究.我們可以選擇適當?shù)慕ｎ}，如“代數(shù)法建模”、“圖解法建?！?、“直（曲）線擬合法建?！?，通過討論、分析和研究，熟悉并理解數(shù)學建模的一些重要思想，掌握建模的基本方法.甚至可以引導學生通過對日常生活的觀察，自己選擇實際問題進行建模練習，從而讓學生嘗到數(shù)學建模成功的“甜”和難于解決的“苦”，借以拓寬視野、增長知識、積累經(jīng)驗.這亦符合波利亞的“主動學習原則”，正所謂“學問之道，問而得，不如求而得之深固也”.

如：在一條筆直的大街上，有n座房子，每座房子里有一個或更多的小孩，問：他們應在什么地方會面，走的路程之和才會盡可能地少？

分析：如何表示房子的位置？構(gòu)造數(shù)軸，用數(shù)軸表示筆直的大街，幾座房子分別位于x ，x ，…，x ，不妨設x

再如，對數(shù)函數(shù)y=log x的單調(diào)性是分01兩種情況給出的，所以在解底數(shù)中含有字母的不等式；如log >-1就應以底數(shù)x>1和01時， > ；當0

從上面例子可以看出，只要我們在教學中仔細地觀察，精心地設計，就可以把一些較抽象的問題，通過現(xiàn)象除去非本質(zhì)的因素，從中構(gòu)造出最基本的數(shù)學模型，使問題回到已知的數(shù)學知識領域，并且能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.

總之，要真正培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，光憑傳授知識是遠遠不夠的，重要的是在教學中必須堅持以學生為主體，不能脫離學生搞不切實際的建模教學。我們的一切教學活動必須以調(diào)動學生的主觀能動性，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維為出發(fā)點，引導學生自主活動，自覺地在學習過程中構(gòu)建數(shù)學建模意識，只有這樣才能使學生分析和解決問題的能力得到長足發(fā)展.