復(fù)變函數(shù)課程的實踐性教學(xué)改革研究

晉守博 趙美玲 霍承剛

摘 要： 本文分別從實積分新解法、數(shù)學(xué)建模及實驗三個方面入手，研究了復(fù)變函數(shù)課程的實踐性教學(xué)改革問題.首先給出了培養(yǎng)學(xué)生多元思維能力的方法，然后從數(shù)學(xué)建模和實驗方面探討了學(xué)生應(yīng)用能力和實踐能力的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞： 復(fù)變函數(shù) 實踐性教學(xué) 教學(xué)改革

近年來，隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，復(fù)變函數(shù)的相關(guān)理論已被廣泛應(yīng)用到理論物理、空氣動力學(xué)、流體力學(xué)、解析數(shù)論、信號處理和天體力學(xué)等領(lǐng)域.經(jīng)過大量教學(xué)工作者的努力，復(fù)變函數(shù)課程建設(shè)方面已經(jīng)取得了顯著的成就，但是仍然存在許多問題：課程的嚴(yán)密性被過分強調(diào)，教師在講課時過于注重定理的證明過程，很少提到定理的背景知識，更不會討論如何利用該定理解決現(xiàn)實問題.這種教學(xué)方式導(dǎo)致學(xué)生對復(fù)變函數(shù)課程的學(xué)習(xí)缺乏興趣，已經(jīng)不能滿足當(dāng)今學(xué)生的需求.

近年來，上述現(xiàn)象已經(jīng)引起了廣大教育工作者的反思，眾多國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)對該問題進行了研究，并提出了一系列改進方法.唐笑敏對復(fù)變函數(shù)教學(xué)過程中存在的問題進行了系統(tǒng)的分析，并且提出了一系列改革設(shè)想[1].鄭玉輝提出可以通過類比教學(xué)與改變考核方式激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，以求達到最好的教學(xué)效果[2].朱建民和李穎從可視化教學(xué)方面對復(fù)變函數(shù)課程的許多內(nèi)容進行了分析，指出了大部分內(nèi)容都可以從幾何方面進行刻畫[3].文[4]和[5]指出數(shù)學(xué)建模方法可以作為一種重要的工具，有效提高學(xué)生的創(chuàng)新能力.文[6]分析了Matlab軟件在復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)中的應(yīng)用.本文將從三個方面討論復(fù)變函數(shù)課程的實踐性教學(xué)改革問題.

1.利用新方法求實積分，培養(yǎng)學(xué)生的多元思維能力

反常積分的計算是一個比較復(fù)雜的問題，而且沒有統(tǒng)一的方法，如果能夠利用復(fù)變函數(shù)的相關(guān)理論求解，就會極大地簡化計算過程.例如在計算Frensnel積分？蘩■■cosx■dx時，若采用常規(guī)方法求解，計算量將會極其巨大，但是如果能夠采用復(fù)變函數(shù)的相關(guān)理論求解，那么不僅求解方法多樣，問題也將變得較簡單，對于該問題我們可以用下面三種方法求解.

1.1利用柯西積分定理求解

首先構(gòu)造輔助函數(shù)f（z）=e■，并取中心角為■，半徑為R，起始邊在x軸上的扇形的邊界C■為積分路徑，由柯西積分定理得■e■dz=0，再將左邊積分分為三段可以得到：？蘩■■e■dx+？蘩■e■+？蘩■■e■e■dx=0，其中Г■為扇形的曲線弧部分.最后令R→+∞，經(jīng)過計算可知■e■dz→0，并利用泊松積分？蘩■■e■dx=■，所以？蘩■■cosx■dx=■.

1.2利用Laplace變換求解

Laplace變換可將實函數(shù)f（t）轉(zhuǎn)化為特殊的復(fù)變函數(shù)F（s），是常用的一種變換，具體的變換公式為F（s）=？蘩■■f（t）e■dt，其中實數(shù)t≥0，s為復(fù)數(shù).為了簡化計算過程，可以輔助函數(shù)f（t）=？蘩■■cos（tx■）dx，由Laplace變換得

F（s）=■？蘩■■■dy=■■

通過逆變換得：f（t）=■？蘩■■F（s）e■ds=■■.令t=1，可得？蘩■■cosx■dx=■.

1.3利用傅里葉變換求解

在實積分計算過程中，合理利用傅里葉變換同樣能夠起到化繁為簡的作用.為了計算Frensnel積分，首先令x■=t，利用換元法可得？蘩■■cosx■dx=■？蘩■■■dt，對函數(shù)f（t）=■（t>0）進行傅里葉變換得：F（w）=2？蘩■■■dt=■，取w=1，則？蘩■■■dt=■，因此？蘩■■cosx■dx=■.

2.在教學(xué)過程中穿插數(shù)學(xué)建模實例，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力

復(fù)變函數(shù)課程的理論體系非常嚴(yán)密，如果教師嚴(yán)格按照教科書講解，學(xué)生就會感覺枯燥無味，從而逐漸失去學(xué)習(xí)興趣。若能夠?qū)?shù)學(xué)建模實例應(yīng)用到復(fù)變函數(shù)的教學(xué)過程中，學(xué)習(xí)的積極性必定就會有所提高.在教學(xué)過程中，可以分別從概念、定理及知識應(yīng)用等方面穿插數(shù)學(xué)建模案例，幫助學(xué)生理解相應(yīng)知識點.

例如，輻角是復(fù)變函數(shù)中的一個難點，大部分學(xué)生對輻角的性質(zhì)理解不夠全面，為了幫助學(xué)生深刻理解這個知識點，可以構(gòu)造實例：三角形的三個內(nèi)角和為什么必須等于π？目前關(guān)于該問題的證明方法比較多，我們可以利用輻角的性質(zhì)證明，具體做法是：首先構(gòu)造三個復(fù)數(shù)z■、z■和z■，它們對應(yīng)同一個三角形的三個頂點，其中相應(yīng)的對角分別是α、β和γ，于是α=arg■，β=arg■，γ=arg■，利用■·■·■=-1，以及輻角的性質(zhì)得：

α+β+γ=arg（-1）+2kπ=π+2kπ（k=0，±1，±2…）

再根據(jù)α+β+γ∈（0，3π）內(nèi)可知：α+β+γ=π.學(xué)生掌握該模型的算法后，必定能夠更全面地理解輻角概念，當(dāng)介紹復(fù)導(dǎo)數(shù)時，除了利用伸縮率解釋外，還可以借助實函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義解釋，如質(zhì)點運動的速度、電流強度等.

保形映射也是較重要的一個概念，研究表明保形映射在電力學(xué)中具有重要作用.為了保證學(xué)生理解該概念，可以假設(shè)有兩個同心金屬圓柱與z平面的截線為圓周|z|=r■和|z|=r■（0

？覬（z）=■[2lnz-（lnr■+lnr■）]

對于在復(fù)變函數(shù)教學(xué)過程中如何突出數(shù)學(xué)建模思想，需要相關(guān)學(xué)者做更深入的研究，需要發(fā)現(xiàn)更多與復(fù)變函數(shù)理論有關(guān)的應(yīng)用實例.若能有效地將數(shù)學(xué)建模實例貫穿到復(fù)變函數(shù)理論教學(xué)中，則必定能夠更好地幫助學(xué)生理解相關(guān)知識點，通過兩者的有效結(jié)合，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用能力必定會有所提高.

3.將實驗與理論相結(jié)合，提高學(xué)生的實際操作能力

隨著社會的快速發(fā)展及計算機軟件的不斷改進，很多需要經(jīng)過復(fù)雜計算的理論問題都可以借助計算機實驗完成，復(fù)變函數(shù)相關(guān)理論的實驗主要借助于Matlab軟件完成，該軟件具有良好的數(shù)值計算功能，如果能在復(fù)變函數(shù)的理論教學(xué)中穿插實驗，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性必定就會有所提高.

對于任意一個復(fù)數(shù)，模、虛部、實部及輻角主值等知識點必須完全掌握，若采用常規(guī)的方法計算，則不僅計算過程過于繁瑣，而且會花費大量時間，如果使用Matlab軟件，上述問題的計算將會變得非常簡單，僅需要輸入幾個命令即可完成，當(dāng)計算復(fù)數(shù)z=■的模、虛部、實部及輻角主值時，只要在Matlab軟件的編程窗口輸入abs（z）、imag（z）、real（z）和angle（z）等命令，即可快速求出real（z）=3.3，imag（z）=9.6，abs（z）=10.1，angle（z）=1.2.另外，對于一些復(fù)數(shù)形式的初等函數(shù)只要借助相應(yīng)的Matlab命令，也可快速求出相應(yīng)的結(jié)果.

另外，在計算“大范圍”積分問題時，恰當(dāng)利用留數(shù)理論可以收到事半功倍的效果，然而留數(shù)的計算問題往往較復(fù)雜，此時如果能借助計算機軟件快速求出留數(shù)，將會極大地簡化計算過程，如果被積函數(shù)是有理分式函數(shù)，只需利用留數(shù)定理和Matlab軟件中的residue命令就能快速求出結(jié)果，若被積函數(shù)為其他形式，計算過程則稍顯復(fù)雜.例如在計算■■dz時，直接利用留數(shù)定理可知：■■dz=2πi■■

若采用常規(guī)的方法計算留數(shù)將會非常麻煩，Matlab軟件會使計算過程變得十分簡單，經(jīng)過分析可知在圓|z|<1內(nèi)被積函數(shù)僅有一個一階極點z=0，根據(jù)一階極點的留數(shù)的計算規(guī)則可得：■■=■[（z-0）■].因此，在計算該留數(shù)時，僅需要使用以下Matlab語句：

syms z

limit（（z-0）*（z*sin（z））/（1-exp（z））^3，？謖z？謖，0）

我們立即可以得到■■=-1，于是所求積分的值為-2πi.

總之，Matlab的應(yīng)用范圍較廣，不僅上面提到的復(fù)數(shù)和復(fù)積分問題可以利用該軟件求解，而且復(fù)變函數(shù)中的泰勒級數(shù)、拉格朗日展開式、Laplace變換及傅里葉變換等問題都可以用該軟件完成.教師在教學(xué)過程中如果能夠借助該軟件適當(dāng)?shù)亻_展數(shù)學(xué)實驗，那么既可以克服常規(guī)教學(xué)方法中過于注重理論計算的缺點，又可以通過實驗提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

參考文獻：

[1]唐笑敏，劉太順，胡璋劍.高師院校復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)改革的探索[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27（1）：12-15.

[2]鄭玉輝，程東旭，錢曉惠.復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)實踐[J].宜春學(xué)院學(xué)報，2012，34（4）：137-138.

[3]朱建民，李穎.復(fù)變函數(shù)的可視化問題[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27（1）：175-178.

[4]徐龍封.在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想[J].安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版），2004，21（2）：114-115.

[5]許先云，楊永清.突出數(shù)學(xué)建模思想培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，23（4）：137-140.

[6]麻桂英，陳全新.用MATLAB提高《復(fù)變函數(shù)》教學(xué)質(zhì)量[J].陰山學(xué)刊，2009，23（2）：74-76.

基金項目：國家大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項目（201410379021）；宿州學(xué)院教學(xué)研究項目（szxyjyxm201317，szxyjyxm201319）.