高職數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思維能力的培養(yǎng)

隋欣

摘 要： 本文根據(jù)高職院校的人才培養(yǎng)目標(biāo)，結(jié)合數(shù)學(xué)建模課堂中采用的教學(xué)實(shí)例，針對(duì)高職學(xué)生的認(rèn)知水平、知識(shí)技能，利用數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力并進(jìn)行全面研究，運(yùn)用設(shè)計(jì)不同的教學(xué)情境，引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)教學(xué) 思維能力

對(duì)于高職院校而言，其培養(yǎng)目標(biāo)是為企業(yè)培養(yǎng)技能型、實(shí)用型的人才。數(shù)學(xué)建模就是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力的一個(gè)有效途徑。在數(shù)學(xué)建模課堂的教學(xué)上，我們要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)他們的應(yīng)用能力、創(chuàng)新能力，形成“以能力為中心”的培養(yǎng)模式。然而，目前高職學(xué)生的認(rèn)知水平不高、理解能力及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，按照以往的數(shù)學(xué)建模課程培養(yǎng)往往不能達(dá)到很好的效果。因此，結(jié)合目前學(xué)生的情況及教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，我們從實(shí)際出發(fā)，在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，利用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題，逐步引導(dǎo)學(xué)生理解什么是數(shù)學(xué)建模，怎樣才能從數(shù)學(xué)建模中得到思維的鍛煉等。下面我結(jié)合長(zhǎng)春汽車(chē)工業(yè)高等專(zhuān)科學(xué)校大一新生的認(rèn)知水平及掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的情況，展示兩個(gè)數(shù)學(xué)建模課程實(shí)例。

一、七橋問(wèn)題

故事發(fā)生在18世紀(jì)歐洲東普魯士（現(xiàn)為俄羅斯的加里寧格勒）一個(gè)名叫哥尼斯堡的城市近郊。這里的普雷蓋爾河穿城而過(guò)，河中有兩個(gè)島，兩岸與兩島之間架有七座橋。當(dāng)時(shí)城中居民熱烈討論著這樣一個(gè)問(wèn)題：一個(gè)散步者怎樣走才能不重復(fù)地走遍所有的七座橋而回到原出發(fā)點(diǎn)？

首先介紹問(wèn)題發(fā)生的背景，歐拉開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個(gè)新的分支——圖論與幾何拓?fù)湟龑?dǎo)的故事，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。其次引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化假設(shè)，將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題。由于關(guān)心的是能否不重復(fù)地走完七座橋而對(duì)于橋的長(zhǎng)短，島的大小等因素都不重要，因此可進(jìn)行簡(jiǎn)化假設(shè)，不考慮陸地的地形，不考慮橋的形狀及長(zhǎng)短，把四塊陸地用4個(gè)點(diǎn)A、B、C、D表示，七座橋用相應(yīng)的點(diǎn)之間的連線(xiàn)（曲線(xiàn)段或直線(xiàn)段）表示。

問(wèn)題轉(zhuǎn)換成從某個(gè)點(diǎn)出發(fā)能否不重復(fù)地把圖形一筆畫(huà)出來(lái)，這樣便簡(jiǎn)化了原問(wèn)題而突出了問(wèn)題實(shí)質(zhì)。七橋問(wèn)題就抽象成通常所說(shuō)的一筆畫(huà)問(wèn)題，即下筆后再不能離開(kāi)紙，每一條不能重復(fù)，只畫(huà)一次，畫(huà)時(shí)任兩條線(xiàn)允許交叉而過(guò)。

之后對(duì)問(wèn)題詳解，對(duì)圖形的結(jié)構(gòu)作分析可以看出，除去起點(diǎn)或終點(diǎn)外，凡途徑的點(diǎn)都應(yīng)有進(jìn)有出，即連接點(diǎn)的曲線(xiàn)必須是偶數(shù)條，我們可以把這類(lèi)型的點(diǎn)叫偶點(diǎn)，因?yàn)橹挥衅瘘c(diǎn)或終點(diǎn)才可能有進(jìn)無(wú)出或有出無(wú)進(jìn)，這時(shí)可能有奇數(shù)條曲線(xiàn)與這樣的點(diǎn)連接，這樣的點(diǎn)叫做奇點(diǎn)，這說(shuō)明，要想一筆不重復(fù)地畫(huà)出圖形，奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)要么0個(gè)，要么2個(gè)，而在圖中4個(gè)點(diǎn)都是奇點(diǎn)，因而圖形不可能一筆畫(huà)出，歐拉就是用“一筆畫(huà)”作為七橋問(wèn)題的一個(gè)模型，而解決了這個(gè)難題。

由此我們可知要使得一個(gè)圖形可以一筆畫(huà)，必須滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件：1.圖形必須是連通的。2.圖中的“奇點(diǎn)”個(gè)數(shù)是0或2。我們也可以依此檢驗(yàn)圖形是不是可一筆畫(huà)出?；仡^也可以由此判斷“七橋問(wèn)題”，4個(gè)點(diǎn)全是奇點(diǎn)，可知圖不能“一筆畫(huà)出”，也就是不存在不重復(fù)地通過(guò)所有七橋。

最后舉一反三，讓學(xué)生體驗(yàn)?zāi)男﹫D形可以一筆畫(huà)出。

小結(jié)：歐拉之所以能解決七橋問(wèn)題，是因?yàn)樗麑?shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，并加以證明及解決。這個(gè)過(guò)程正是數(shù)學(xué)建模的縮影。通過(guò)這個(gè)實(shí)例的講解，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)建模的過(guò)程：實(shí)際問(wèn)題→抽象、簡(jiǎn)化問(wèn)題，明確變量和參數(shù)→根據(jù)某種定律建立變量和參數(shù)間數(shù)學(xué)關(guān)系（數(shù)學(xué)模型）→解析地或近似地求解該數(shù)學(xué)模型→解釋、驗(yàn)證求解結(jié)果→應(yīng)用于實(shí)際。

二、椅子能在不平的地面放穩(wěn)嗎

這是日常生活中常見(jiàn)的問(wèn)題，學(xué)生會(huì)很感興趣，并且利用函數(shù)介值定理就能很好解決。在課堂上，通過(guò)老師的引入，讓學(xué)生自己分析。提示學(xué)生，通常椅子四只腳著地才能放穩(wěn)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)模型進(jìn)行假設(shè)，四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線(xiàn)呈正方形；地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面；地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。

設(shè)椅子中心不動(dòng)，四條腿的下端用A，B，C，D表示，中心點(diǎn)為O。用對(duì)角線(xiàn)AC與x軸的夾角θ來(lái)表示椅子的位置。A，B，C，D四點(diǎn)距地面的距離分別設(shè)為a，b，c，d，它們都是旋轉(zhuǎn)角θ的函數(shù)。

小結(jié)：通過(guò)解決身邊的實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模的形式多樣性與方法多樣性，了解建模思想，著重理解由現(xiàn)實(shí)問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化過(guò)程，這個(gè)過(guò)程通過(guò)老師不斷引導(dǎo)，使學(xué)生的建模思維不斷提高，創(chuàng)新思維得到很好的鍛煉。

參考文獻(xiàn)：

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