四邊形新定義問題例析

王 崢

? 江蘇省徐州市第十三中學(xué)

四邊形新定義問題,是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的良好素材,包括“等鄰邊四邊形”問題、“等角相鄰點”問題、“妙線”問題、“準等距點”問題等.以下作一分析探討,以饗讀者.

1 “等鄰邊四邊形”問題

菱形、正方形是四邊都相等的四邊形,它們都是從實際生活中抽象出來的,因為應(yīng)用廣泛而得到推廣.“等鄰邊四邊形”是指有兩組鄰邊相等的凸四邊形.“等鄰邊四邊形”有什么性質(zhì)?又如何判定呢?下面結(jié)合實例進行探討.

例1我們定義:有兩組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．如菱形、箏形都是特殊的“等鄰邊四邊形”．

(1)如圖1,四邊形ABCD中,若∠ABC=∠BCD,BC∥AD,對角線BD恰巧平分∠ABC,則四邊形ABCD______“等鄰邊四邊形”.(填“是”或“不是” )．

圖1

(2)在探究“等鄰邊四邊形”的性質(zhì)時:

①小紅畫了一個“等鄰邊四邊形”ABCD(如圖2),其中AB=AD,BC=CD,若∠A=80°,∠C=60°,寫出∠B,∠D的度數(shù)．

圖2

②小紅猜想:對于任意四邊形,若有一組鄰邊相等,一組對角相等,則這個四邊形為“等鄰邊四邊形”.你認為他的猜想正確嗎?若正確,請證明;若不正確,請舉出反例．

(3)在銳角三角形ABC中,AB=AC,在平面內(nèi)存在一點P,使PB=BA,PA=PC,四邊形PABC可能是“等鄰邊四邊形”嗎?若可能,畫出符合題意的圖形,并求∠BAC的度數(shù);若不可能,請說明理由.

解析：(1)由AD∥BC,∠ABC=∠BCD,可知四邊形ABCD是等腰梯形,則AB=CD.

由∠ADB=∠DBC,∠ABD=∠DBC,得∠ABD=∠ADB,則AD=AB,AD=DC,所以四邊形ABCD有兩組鄰邊相等,即四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”.故填答案:是．

(2)①如圖3,連接AC．因為AB=AD,BC=DC,AC=AC,所以△ABC≌△ADC(SSS),可得∠B=∠D.又∠BAD=80°,∠BCD=60°,則∠B+∠D=360°-80°-60°=220°.所以∠B=∠D=110°．

圖3

②小紅猜想錯誤．反例,如圖4所示．四邊形ABCD中,BA=BC,∠ABC=∠ADC=60°,四邊形不是“等鄰邊四邊形”．

圖4

(3)①如圖5,當CB=CP時,由PA=PC,可知四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．設(shè)BP交AC于點O.

圖5

②如圖6,當△ABC是等邊三角形時,四邊形ABCP是“等鄰邊四邊形”．

圖6

綜上所述,滿足條件的∠BAC的值為36°或60°．

2 “等角相鄰點”問題

平行四邊形的對角線互相平分;菱形的對角線互相垂直平分;矩形的對角線相等且互相平分;正方形的對角線相等且互相垂直平分.這些實際上是對應(yīng)四邊形的中心點與四邊形的關(guān)系,“等角相鄰點”問題是指四邊形內(nèi)一點與其四個頂點連接,在四邊形內(nèi)形成的四個角中有兩組角相等.那么,如何得到等角相鄰點?等角相鄰點又有什么性質(zhì)呢?

例2如圖7-1,在四邊形ABCD內(nèi)取一點P,連接AP,BP,CP,DP,如果∠APD=∠APB=α,且∠BPC=∠CPD=β,那么P叫做四邊形ABCD的一個等角相鄰點．

圖7-1

(1)如圖7-2,已知正方形ABCD,請在其內(nèi)部找一點P,使P為等角相鄰點,且α≠β;

圖7-2

(2)如圖7-3,已知任意四邊形ABCD,請在其內(nèi)部找一點P,且P為等角相鄰點;

圖7-3

(3)如圖7-4,已知任意四邊形ABCD,在它的內(nèi)部有兩個等角相鄰點P1,P2,證明:線段P1P2上任意一點也是等角相鄰點．

圖7-4

解析：(1)如圖8,所畫的點P在AC上且不是AC的中點和AC的端點.

圖8

(2)如圖9,畫點B關(guān)于AC的對稱點B′,延長DB′交AC于點P,則點P即為所求.

圖9

圖10

3 “妙線”問題

由于中心對稱圖形繞中心旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖形重合,所以過中心對稱圖形對稱中心的任一條直線,分中心對稱圖形成兩部分,這部分的面積是相等的.但是對于任意四邊形,如何畫一條直線把它分成面積相等的兩部分呢?下面結(jié)合實例對此進行深入的討論,并將這樣一條直線稱為“妙線”.

例3我們把能將四邊形分成兩部分,且這兩部分的面積相等,這樣的直線稱為“妙線”．下面的圖示,是得到“妙線”的過程:如圖11,在四邊形ABCD中,取對角線BD的中點O,連接OA,OC,顯然,折線AOC能平分四邊形ABCD的面積,再過點O作OE∥AC交CD于點E,則直線AE即為一條“妙線”．

圖11

(1)如圖11,試說明直線AE是“妙線”的理由;

(2)如圖12,AE為一條“妙線”,F為AD邊上的一點,請作出經(jīng)過點F的“妙線”,并說明理由;

圖12

(3)如圖13,已知一塊土地是五邊形ABCDE,經(jīng)過開發(fā),又得到多邊形EDCMN,中間的折線CDE是一條小路,現(xiàn)要修一條直路,且這條直路經(jīng)過點E,使直路右邊的面積不作改變,如何畫圖呢?

圖13

圖14

(2)如圖15,連接EF,過點A作EF的平行線交CD于點G,連接FG,則GF為一條“妙線”．

圖15

理由:由AG∥EF,可知S△AGE=S△AFG．設(shè)AE與FG的交點是O,則S△AOF=S△GOE.又AE為一條“妙線”,所以GF為一條“妙線”．

(3)如圖16,連接CE,過點D作DF∥EC交CM于點F,連接EF,則EF為所修的直路.

圖16

本文中從形到點再到線,對四邊形內(nèi)存在的特殊四邊形、特殊點、特殊線作了深入細致的研究,得到了一些創(chuàng)造性的結(jié)論,開闊了學(xué)生的認知視野,培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)新解決問題的能力,是四邊形領(lǐng)域里一道亮麗的風景線.Z