基于數學素養(yǎng)的PISA試題分析及啟示

張偉++段素芬

當今享譽教育界的“世界杯”——著名的“國際學生評估項目”（Programme for International Student Assessment，簡稱PISA）圍繞著素養(yǎng)（literacy）這一關鍵詞對各參與國家或地區(qū)的教育成效進行評估與比較.PISA測評關注的“素養(yǎng)”是指學生是否準備好去應對未來的挑戰(zhàn)，是否具有有效地分析推理和交流自己的思想觀點以及終身學習的能力，同時強調在真實生活情境中考察學生運用知識和思維能力的表現(xiàn)，以反映學生面對未來生活與學習能力的狀態(tài).PISA2012輪回到數學素養(yǎng)作為主要的測試領域，其中數學素養(yǎng)（Mathematical literacy）的定義是，明確和理解數學的作用，認識和運用數學的能力，從而作出有理據的判斷，以配合個人發(fā)展，做一個建設社會、關心社會、善于思考的公民.[1]數學素養(yǎng)關乎更廣義的、功能性的數學應用，包括各種情境中識別和演繹數學問題的能力.關于數學素養(yǎng)，顧沛先生曾說，很多年的數學學習后，那些數學公式、定理、解題方法也許都會被忘記，但是形成的數學素養(yǎng)卻終身受用，數學素養(yǎng)就是把所學的數學知識都排出或忘掉后剩下的東西.

1 PISA數學素養(yǎng)評估架構

1.1 總體架構

PISA的評估題目依據數學素養(yǎng)而建構，評估15歲學生在面對真實世界的問題時，能運用數學知識和技能的程度，主要由三部分構成：問題所處的情境；用于解決問題的數學內容；為了解決真實世界中的問題，將實際問題與數學相聯(lián)系的多種能力.題目類型和精熟程度也是PISA數學素養(yǎng)評估的重要部分[1].

1.2 內容領域

PISA評估的數學內容主要包括四大領域：空間與圖形、變化與關系、數量、不確定性與數據.這四個領域數學內容的確定，一方面是基于數學內容在人類世界各種問題中所呈現(xiàn)的本質，另一方面也涵蓋了數學課程的知識領域.具體的，空間與圖形涉及空間和幾何的現(xiàn)象和關系，會用到課程中的幾何學；變化與關系涉及變化以及變量之間的從屬和函數關系的數學形式，與課程中的代數關系最為密切；數量涉及與數字有關的現(xiàn)象，以及量化關系和樣式，這與算術內容有關；不確定性與數據涉及與統(tǒng)計和概率相類似的現(xiàn)象和關系.雖然PISA測試的數學內容與傳統(tǒng)數學課程相關，但并非一般的學校數學課程內容.

1.3 數學過程

PISA數學素養(yǎng)在具體測試題目的整體策略可看作是一種“數學化”的基本過程.這個過程包括五個步驟：從真實問題入手；識別相關的數學概念，重新組織問題；以數學問題來表述真實世界的問題；解答數學問題；依據原本的真實問題演繹數學答案.成功進行的“數學化”過程依賴于多種數學能力，PISA測試的是學生要確定一種特定的表述方式以反映七種典型的數學能力：①交流；②表征；③設計策略；④數學化；⑤推理和論證；⑥使用符號化、形式化和技術性的語言和運算；⑦使用數學工具.

1.4 情境維度

一位德國學者曾舉過一個精妙的比喻：將15克鹽放在你面前，無論如何你都難以下咽.但當將15克鹽放入一碗美味可口的湯中，你卻在享受佳肴的同時，將15克鹽全部吸收了.數學知識好比鹽，是一個人成長過程中不可缺少的重要組成部分，知識情境好比美味可口的湯，是數學學習、數學思維和數學活動必不可少的支撐條件.從數學學習的知識本質看，數學學習離不開情境.也就是說，數學學習中的知識建構總是與知識賴以產生的背景意義和環(huán)境關聯(lián)在一起的，即知識與學習總是具有情境性的.PISA非常強調運用數學知識和技能在真實生活中的問題解決，而且數學方法和數學表達要取決于具體的問題情境.基于數學素養(yǎng)的PISA評估試題都置于特定的情境中，以評估學生在不同情境中發(fā)揮和運用數學的能力.PISA數學試題的情境維度主要有四個：個人情境、職業(yè)情境、社會情境、科學情境.

1.5 題目類型

PISA充分考慮測試題目呈現(xiàn)的格式和類型對學生成績的影響，來獲得學生對數學任務的回應.具體的題目類型包括：簡單或復雜的選擇題；封閉題；簡答題；開放題.選擇題經濟實用，被各類測試廣泛使用，適合于認知技能要求較低的題目，主要測試學生對知識的再認以及簡單的運算和聯(lián)系.選擇題有時可以依靠猜測來作答，就有必要用其他的類型題來評估更高層次的目標.封閉題要求學生提供簡明的答案，而簡答題的作答要稍長于封閉題，開放題則要求更長的篇幅作答，而且回答中通常涉及多種高層次的認知活動.

1.6 精熟程度

PISA數學素養(yǎng)的評估采用六級精熟度來描述學生的成績，學生在數學題目上的成績，被轉化為一份綜合數學素養(yǎng)量表上的素養(yǎng)得分.量表對應六個精熟度，每個精熟度代表著不同難度的題目群，從最容易的第1級到最難的第6級[1].

2 PISA2012數學試題分析

PISA數學試題主要有兩部分組成：情境、問題.下面編譯部分PISA2012數學素養(yǎng)評價試題，并進行簡要分析[2].

2.1 CD銷量

樂隊4U2Rock和The Kicking Kangaroos在一月份時發(fā)行了新CD.二月份時樂隊No Ones Darling和The Metafolkies也發(fā)行了新CD.圖1展示了各樂隊1月至6月的CD銷量.

圖1問題：樂隊No Ones Darling在哪個月的銷量首次超越樂隊The Kicking Kangaroos？

A.沒有 B.3月 C.4月 D.5月

這道簡單選擇題屬于社會情境.并非所有的學生都關注唱片的銷量，但讀懂類似的數據關系圖應該是公民應有的技能和知識.就數學能力而言，解題只需很有限的“數學化”：理解簡單的文本“樂隊No Ones Darling首次超越樂隊The Kicking Kangaroos”，以及把特定的信息與具體的直方圖信息聯(lián)系起來.因為所需要的信息已明確列出，所以解題所要求的能力只是執(zhí)行慣常程序或直觀讀圖進行判斷.由于這道題有熟悉的情境、簡單明確的問題，以及慣常的程序，因此屬于第1等級.

2.2 自行車碼表

海倫剛買了一輛新自行車，這輛自行車的車把上安有一塊碼表，它可以告訴海倫騎了多遠并且平均速度是多少.

問題：海倫先騎了4千米，花了10分鐘；又騎了2千米，花了5分鐘.下面哪個說法是正確的？

A.海倫前10分鐘的平均速度大于后5分鐘的平均速度

B.海倫前10分鐘和后5分鐘的平均速度相同

C.海倫前10分鐘的平均速度小于后5分鐘的平均速度

D.無法確定海倫的平均速度

這道選擇題涉及學生個人的日常生活情境，屬于“數量”知識領域.作為現(xiàn)代社會公民，都應知曉平均速度的概念和計算，解答過程只是簡單除法的基本運算.這道題目使用了單一的表征形式，學生可從單一來源提取并運用信息.此題屬于第2等級.

2.3 發(fā)動機排量

克里斯剛拿到汽車駕照，她打算買人生中的第一輛車.下表是她在當地一家汽車專賣店里獲得的4輛汽車的詳情.

問題：哪輛汽車的發(fā)動機排量是最小的？

A.Alpha B.Bolte C.Castel D.Dezal

這道選擇題涉及汽車司機的日常工作環(huán)境，屬于職業(yè)情境.有學識的公民，即使并非司機，都應該能理解題目中的信息，包括數字語言和圖表表征，以理解和解答問題.此題要求學生比較四組數據的特征，這是簡單的大小關系的數量比較.值得一提的是，這道題目里包含冗余信息（年份、廣告價格、行駛里程），有些學生可能會被干擾，但這類冗余資料在現(xiàn)實生活中比較普遍.發(fā)動機排量的大小比較使題目屬于“數量”這一內容范圍，解答過程只是四個數的大小關系的比較.所有必需、甚至冗余的資料，都展示于容易辨認的情境中.此題屬于第3等級.

2.4 進入旋轉門

某大樓的一個旋轉門有三個扇門，在一個圓形區(qū)域內轉動.該圓形區(qū)域的直徑是2米（200厘米）.這三扇門將圓形分成相等的三部分.圖2是俯視三扇門的三個不同的狀態(tài).

圖2問題：該旋轉門1分鐘轉4圈，在門的三個區(qū)域中每個最多同時站2人.30分鐘內最多能有多少人進入大樓？

A.60 B.180 C.240 D.720

這道復雜選擇題屬于社會情境，就數學內容而言，學生需要應用關于程序的知識和數字運算：乘法.而且這道題目涉及數量情境，解題所需的能力并不簡單：學生需要思考旋轉門旋轉1圈最多能進入6人，1分鐘轉4圈，即1分鐘最多能進入24人.這樣30分鐘最多能進入720人.雖然解題所需的數據已經明確列出，但因為識別適用的數學有一定難度，而且將現(xiàn)實情境簡化為數學題對學生來說也有一定困難，所以解題要求的“數學化”過程層次較高，解題所需的能力是逐層推理和運算的能力.這道題目的主題（進入旋轉門）是學生熟悉的社會情境，具體情況卻是復雜的，非慣常的問題要求推理能力和洞察力以及計算的能力.這道題目屬于第4等級.

2.5 登富士山

富士山是日本著名的休眠火山.游客可在每年的7月1日到8月27日爬山.大約有20萬人在這段時間登上富士山.沿御殿場步行道登上富士山的行程一共是9公里.步行上山的游客需要在晚上8點之前走完18公里的路程回到出發(fā)地.Toshi預計他上山的平均速度是每小時1.5公里，下山的速度是上山的兩倍.該速度已經包含了吃飯和休息的時間.

問題：按照Toshi的速度，他最晚應該幾點開始爬山，才能在8點前回到出發(fā)地？

這道題目的社會情境是學生比較熟悉的：登山.情形是Toshi上山的速度是1.5公里/小時，下山的速度是3公里/小時，上山和下山的路程都各是9公里.要解答的問題是根據路程、速度與時間的程序（路程÷速度=時間）求出上山需要的時間是6小時和下山需要的時間是3小時，進一步知道上山和下山一共需要的時間是9小時.然后根據題目提供的信息“必須在晚上8點之前返回出發(fā)地”，進行推算，得到Toshi必須在上午11點之前開始爬山，才能保證在晚上8點之前回到出發(fā)地.這道題目屬于“數量”這一內容領域，學生需要透過推理和洞察力去理解和分析有效信息，并且表達準確的時間“上午11點”.這道題目展示了第5等級.

2.6 平均速度

海倫從家騎車到河邊，路程是4公里，用了9分鐘.她回家時選擇了一條更短的路線，路程是3公里，用了6分鐘.

問題：海倫往返全程的平均速度是 千米/小時.

這道封閉題屬于個人情境，這類仿真實的問題通常也出現(xiàn)在數學課堂上.題目中涉及的能力當然與數學素養(yǎng)有關，學生對路程、速度與時間的程式化的運算大多比較熟悉，但要想成功解題，必須注意題目中提供的信息是以“分鐘”為時間單位，而問題中所求的平均速度卻是“千米/小時”的單位.所以學生需要譯解題目信息，并看出異同之處.學生首先需要知道“總路程÷總時間=平均速度”的運算程式，然后對時間單位進行換算，最后做除法運算.本題屬于第6等級.

3 對試題設計與編制的啟示

教育的任何變革最終都要落實到學生的發(fā)展上，學生面向未來的發(fā)展才是教育評價的宗旨所在.隨著新課程改革的日漸深入，面對亟需與新課程改革理念相匹配甚至更高更遠的教育評價，PISA數學試題的測試內容貼近學生的日常生活，而且測試題的背景范圍寬廣，不僅是知識之間的相互聯(lián)系，更注重數學與社會、科學等的聯(lián)系，PISA將對數學素養(yǎng)的理解置于一個廣闊的背景中，與個人生活、社會生活，甚至人類世界密切聯(lián)系，始終強調在不同的背景中理解和運用數學，給數學試題的設計與編制以深刻的啟示.

3.1 創(chuàng)設真實的試題情境，突出對數學本質的理解

承載評價理念的具體對象當屬評價內容，評價內容反過來也直接體現(xiàn)評價理念.來自PISA2012的數學試題告訴我們，要想全面評價數學素養(yǎng)，知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀缺一不可，在此基礎上還要將三者融入適當的真實情境中.PISA通過“尊重學生的需求、重視學生的經驗”的價值取向來評價教與學，并非只看學生掌握多少知識，更要看學生能夠在實際生活中創(chuàng)造性地運用這些知識和技能的能力如何，真正體現(xiàn)和實施的是“為生存、為未來而學習”.這種評價理念下的價值取向指引PISA試題創(chuàng)設的情境具有生活性、趣味性和遷移性.試題先呈現(xiàn)圖表或一段簡短的文字，使學生能夠很快進入情境，在感知真實情境中縮短了學生與試題的距離.情境要為考察知識和能力的問題服務，問題要具有一定的趣味性，以吸引學生感興趣，進而探究情境中的問題.情境的生活性和趣味性都要指向遷移性，即對數學本質的認識、理解和運用的考察，在情境的設置下是“形異而神似”的.上述測試題中涉及的知識情境包括唱片銷量、發(fā)動機排量、登富士山、自行車碼表、平均速度、進入旋轉門等，考察學生在熟悉、真實的情境中對數學知識的理解和運用.考慮到中學生普遍缺乏社會實踐的實際，中高考結合實際背景的試題難度不宜太大，同時數學問題情境應簡單化、大眾化，即“草根化”.知識給情境蘊育了豐富的內涵，情境給知識呈現(xiàn)以自然的狀態(tài).這樣，問題與情境相連，與學生的生活經驗、社會生活實際相聯(lián)系，并以此引導數學教與學的努力方向.

3.2 測試問題解決的數學能力，突顯對數學功能的應用

如果說真實性是試題情境的基本前提，那么實用性應該是試題情境的最終目的.PISA測試中幾乎沒有單純考查記憶性和計算性知識的試題，而是以知識為載體重點考查學生解決真實世界問題的數學應用能力，這種應用能力是面向學生未來生存和發(fā)展的.從數學的廣泛聯(lián)系和應用來評價學生的數學素養(yǎng)，評估學生如何面對未來的挑戰(zhàn)，如何有效地分析、推斷和交流問題解決的思想，這正是數學面對社會實際中的廣泛應用而提出的，屬于PISA數學素養(yǎng)的評估與測試.當前，新課程理念下的數學測試在測評數學知識和技能的基礎上，更加關注數學能力的發(fā)展，但主要還是重視知識和技能的本身能力，對數學在真實問題解決中的應用能力體現(xiàn)較少.愛因斯坦說過，“問題不可能在造成它們的精神狀態(tài)中得到解決”.換言之，問題解決是需要驅動學生的外部條件來實現(xiàn)的，包括動機、知識、工具和策略等.這種有實際意義的問題任務，會迅速驅動學生的解決欲望，從而優(yōu)化組合數學能力以解決問題.給學生以“學以致用”的真情實感，讓學生在測試題中“以評促學”，真正在考試試題中突顯數學的應用功能，才能進一步激起學生的學習興趣和求知欲.

3.3 注重數學內外兼有的評價方式，突破“教材中取材”的局限

要想實現(xiàn)對學生數學素養(yǎng)的真正評價，就必須對測評內容有所突破和創(chuàng)新.目前，我們現(xiàn)有的測評試題仍主要是“從教材中取材”、“從習題中選題”，以此來檢測學生對知識和技能的熟練掌握.數學試題散發(fā)濃厚的“數學味”是無可厚非的，但數學教育評價的主體是數學素養(yǎng)，“學以致用”和“實踐出真知”是否也應該成為試題設計和編制的價值導向？目前大部分中高考試題仍以課本知識為主要測試范圍，“已知……，求……”的這種測試模式占據了大部分題目，學生怎能做到“讀你千遍也不厭倦”？基于數學素養(yǎng)的PISA，測評的是學生面對未來學習和生活的能力，關注的是學生的發(fā)展.PISA測試題都建立在一個真實的情境上，在對學生數學素養(yǎng)的認知進行評估的同時，還對非認知的學生背景，包括對數學學習的態(tài)度、價值觀和信念等進行問卷調查，以分析學生數學成績與問卷中相應問題的關系.通過問卷調查的內容，評價者能夠詳細地分析造成學生成績產生差異的原因.PISA傾向于采用既有“數學內”的測試，也有“數學外”的情境問題來評估學生的數學素養(yǎng)，這種評價方式值得借鑒.當前，我們的學生從幼兒園起就學習數學，可以說數學是相伴最久的學科，同時也成了學生幾乎所有學科中付出最多、最難、最不喜歡的學科了.教育研究者和實踐者們不得不反思，數學教育評價中僅有數學認知的測評，而忽視學生非認知的情感、態(tài)度、價值觀等因素，是不完整的教育評價.此外，PISA數學測評中不僅僅涉及數學知識與技能，還觸及數學之外的其他生活與科學的知識領域，這與數學課程標準里的“基本活動經驗”是相一致的.課程標準作為先期綱領性的指導，與之相呼應的應該有后期一致的教育評價，反過來匹配合適、價值皈依的教育評價也促進了課程標準的實施.

面對新課程理念下的中高考數學試題設計，在體現(xiàn)篩選與甄別功能的基礎之上，我們對試題的情境性、真實性、問題性和發(fā)展性是值得探索的.理念是靈魂的東西，教育評價的理念相當于教育改革的靈魂所在.教師的教和學生的學都循著“知識—能力—素養(yǎng)”的維度螺旋上升著，教育評價能否沿著“素養(yǎng)—能力—知識”的路徑來指引教與學呢？PISA測評代表著一種新的評價理念，用發(fā)展的眼光看待評價，用動態(tài)的評價去促進學生的發(fā)展，注重評價的教育發(fā)展功能，是教育不懈的追求.

參考文獻

[1] 何瑞珠，盧乃桂.從國際視域論析教育素質與平等——PISA的啟示[M].北京：教育科學出版社，2011.

[2] OECD（2013）.PISA2012Assessment and Analytical Framework：Mathematics，Reading，Sciencs，Problem Solving and Financial Literacy，OECD Publishing.