正確認(rèn)識和重視對數(shù)學(xué)思考的培養(yǎng)

李樹臣

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2011年版）》）指出“數(shù)學(xué)與人類的發(fā)展和社會進(jìn)步息息相關(guān)，隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)更加廣泛應(yīng)用于社會生產(chǎn)和日常生活的各個方面.”這就客觀決定了我們的數(shù)學(xué)教育不僅要讓學(xué)生獲得一些基本的數(shù)學(xué)知識，更重要的是應(yīng)讓學(xué)生具備在這個充滿疑問、有時連問題和答案都不確定的世界里生存的本領(lǐng).如何才能獲得這些“本領(lǐng)”呢？這是一個系統(tǒng)的研究課題，本文從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考方面談?wù)勛约旱目捶?

1 數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)

所謂數(shù)學(xué)思考，就是在遇到各種各樣的問題情境時能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識、方法、思想和觀念去分析、探究，從而發(fā)現(xiàn)其中存在的數(shù)學(xué)現(xiàn)象和數(shù)學(xué)規(guī)律，并運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識和方法加以解決的過程.

《課標(biāo)（2011年版）》對數(shù)學(xué)課程的“總目標(biāo)”是這樣表述的：

通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能：

（1）獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn).

（2）體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.

（3）了解數(shù)學(xué)的價值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意識和科學(xué)態(tài)度.

對于上述總目標(biāo)，《課標(biāo)（2011年版）》又從“知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度”四個方面進(jìn)行了具體的闡述.對于數(shù)學(xué)思考，《課標(biāo)（2011年版）》的描述是：

（1）建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維.

（2）體會統(tǒng)計方法的意義，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感受隨機(jī)現(xiàn)象.

（3）在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法.

（4）學(xué)會獨(dú)立思考，體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式.

這四點(diǎn)是數(shù)學(xué)課程在“數(shù)學(xué)思考”方面應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)，也可以認(rèn)為是數(shù)學(xué)思考應(yīng)包括的內(nèi)容.它向我們指出了“數(shù)學(xué)思考”這一課程目標(biāo)希望達(dá)到的三個目的：讓學(xué)生學(xué)會獨(dú)立思考，體會數(shù)學(xué)思想，體會數(shù)學(xué)思維方式.

這就要求我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)會知識的過程中也要學(xué)會思考，學(xué)會思考的重要性高于學(xué)會知識.這種思考是“運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行”的思考，也就是“數(shù)學(xué)方式的理性思維”.它有豐富的內(nèi)涵，包括形象思維、邏輯思維和辯證思維，包括合情推理和演繹推理等等.教學(xué)中讓學(xué)生學(xué)會思考，就能形成用數(shù)學(xué)的眼光看世界，從數(shù)學(xué)的角度去分析問題的素養(yǎng)，能使學(xué)生終生受益.

2 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的基本作法

許多中外學(xué)者一直強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思考的重要性.著名教育家蘇霍姆林斯基認(rèn)為“真正的學(xué)校乃是一個積極思考的王國.”數(shù)學(xué)家趙訪熊教授說，有些學(xué)生學(xué)習(xí)效率之所以不高，主要原因是缺乏思考.圣人說得好：“學(xué)而不思則罔.”可見，數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)教學(xué)中最有價值的行為.

2.1 精心設(shè)計問題情境，引導(dǎo)學(xué)生積極思考

《課標(biāo)（2011年版）》指出“數(shù)學(xué)教學(xué)活動，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考…….”學(xué)習(xí)過程不僅是學(xué)生掌握知識的過程，更是一個在數(shù)學(xué)思考的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的過程.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，從課堂提問到新概念的形成與確立，新知識的鞏固與應(yīng)用，學(xué)生思維方法的訓(xùn)練與提高，以及實(shí)際應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的增強(qiáng)，無不是從“問題”開始的.因此，教師應(yīng)精心創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過問題情境深入到數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，超越對于技巧性問題的過度追求，感悟數(shù)學(xué)命題背后隱含的思想方法，明晰知識之間的相互聯(lián)系，從而形成優(yōu)化的知識結(jié)構(gòu).

案例1 二元一次方程組概念的建立過程.

為了引出“二元一次方程組”的概念，可創(chuàng)設(shè)下面的問題情境：

雄偉的長城是中華民族的象征.長城東起鴨綠江，西達(dá)嘉峪關(guān)，全長7300千米，其中東段從鴨綠江到山海關(guān)，西段從山海關(guān)到嘉峪關(guān)，西段比東段長6100千米.長城的東西段各長多少千米？在這個問題中：

（1）那些量是已知量？哪些量是未知量？

（2）有哪些等量關(guān)系？

（3）如果設(shè)長城東段的長為x千米，西段的長為y千米，那么長城的全長為 ；西段比東段長 .

根據(jù)等量關(guān)系：東段的長+西段的長=7300米，可以列出方程 ；

根據(jù)等量關(guān)系：西段的長-東西段的長=6100米，可以列出方程 .

上面的兩個方程有什么特點(diǎn)？與同學(xué)們交流.

同學(xué)們在思考、回答、交流以上問題的過程中，不僅經(jīng)歷了二元一次方程組的形成過程.而且還會認(rèn)識到二元一次方程組是在解決實(shí)際問題的過程中產(chǎn)生的.在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)《課標(biāo)（2011年版）》界定的大部分內(nèi)容時，我們都要結(jié)合具體內(nèi)容，精心創(chuàng)設(shè)問題情境，努力讓學(xué)生經(jīng)歷這些知識的形成過程.這樣的呈現(xiàn)形式有利于激發(fā)同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，引起數(shù)學(xué)思考，從而更好的理解數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)，了解知識之間的相互關(guān)聯(lián).

2.2 尊重學(xué)生的主體地位，努力轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式

《課標(biāo)2011版》指出“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.認(rèn)真聽講、積極思考、動手實(shí)踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計算、推理、驗(yàn)證等活動過程.”這就是我們選擇學(xué)習(xí)方式的“總方針”.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最好方法是做數(shù)學(xué)，有些數(shù)學(xué)知識可引導(dǎo)學(xué)生自己親自操作、實(shí)驗(yàn)或通過現(xiàn)代教育技術(shù)手段演示及操作，讓學(xué)生在觀察、操作、思考、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動的過程中自主獲得知識.

案例2 勾股定理探究發(fā)現(xiàn)過程.

對于這個定理，可用下面的問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、思考、探究、歸納、發(fā)現(xiàn)等活動，從而自主得到定理：

（1）用硬紙板剪8個圖1所示的同樣大小的直角三角形，設(shè)直角三角形的直角邊分別為a和b，斜邊為c；

（2）如圖2和3所示，在白紙上畫出兩個邊長均為（a+b）的正方形；按照圖2所示的方式，將剪出的4個直角三角形，擺放在第一個正方形內(nèi)；如圖3所示，將另外的4個直角三角形，擺放在第二個正方形內(nèi).

（3）判斷圖2和圖3中四邊形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的形狀，說明理由.

（4）觀察圖2，小正方形Ⅰ的面積是 ，小正方形Ⅱ的面積是 .

（5）觀察圖3，小正方形Ⅲ的面積是 .

（6）圖2中小正方形Ⅰ和Ⅱ面積之和與圖3中小正方形Ⅲ的面積有什么關(guān)系？由此你發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊a，b，c之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

圖1 圖2 圖3 設(shè)計意圖 勾股定理本身的結(jié)論非常簡潔，且容易記憶，如果直接告訴學(xué)生，幾分鐘就可以解決問題，但這樣的教學(xué)丟棄了一次引導(dǎo)學(xué)生思考與探究的好機(jī)會.這樣設(shè)計不僅讓學(xué)生經(jīng)歷了勾股定理的產(chǎn)生過程，而且還能有效地培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考、猜測、推理等能力，同時加深對數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識，積累一定的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).

2.3 重視合情推理能力的培養(yǎng)

《課標(biāo)2011年版》指出：“推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算.在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論.”由此可以看出，合情推理就是從具體的事實(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、聯(lián)想、歸納、猜想等手段而進(jìn)行的一種推理.這種推理的是從觀察入手，通過類比而產(chǎn)生聯(lián)想，或通過歸納作出猜想的，在推理的過程中一刻也離不開數(shù)學(xué)思考.

案例3 根與系數(shù)關(guān)系的探究過程.

為引導(dǎo)學(xué)生自己探究、發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系，可用下面的問題引導(dǎo)學(xué)生去活動：

（1）解下面的一元二次方程：

①x2+3x+2=0，②x2-5x+6=0，③3x2+x-2=0，④2x2-4x+1=0.

（2）根據(jù)（1）中所求出的每個方程的根，分別計算兩根之和與兩根之積，并把結(jié)果填入下表：

（3）觀察上表，你發(fā)現(xiàn)在上面的四個方程中，兩根之和與兩根之積的值分別與相應(yīng)的方程的系數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

（4）由此你猜想一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根x1，x2與方程的系數(shù)a，b，c之間有什么關(guān)系？能證明你的猜想是正確的嗎？與同學(xué)交流.

（5）這個規(guī)律對于任意的一元二次方程都成立嗎？如方程x2+x+1=0，它的根也符合這個規(guī)律嗎？

（6）請你用數(shù)學(xué)語言表達(dá)上述規(guī)律.

設(shè)計意圖 這些問題由易而難，由現(xiàn)象到本質(zhì)，由特殊到一般.目的是為了讓學(xué)生通過自己的思考、歸納、發(fā)現(xiàn)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

2.4 加強(qiáng)分析法教學(xué)

分析法對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力具有獨(dú)到的價值.分析法是指“執(zhí)果索因”的邏輯方法，它是從數(shù)學(xué)題的特征結(jié)論出發(fā)，利用學(xué)過的公理、定理、定義或法則去推想要證明這個結(jié)論需要具備的條件，一旦這些條件具備，結(jié)論就成立.因此，我們應(yīng)根據(jù)結(jié)論去尋找應(yīng)具備的條件.譬如說要甲命題成立，那就去尋找甲命題成立的條件是否具備.若甲命題的條件可以由已知條件直接推得，那么問題就解決了.如果所需的條件中的一部分或全部都不在已知中，問題沒有解決.那就繼續(xù)往下想，欲想甲命題成立，必須先證明乙命題成立，那就尋找乙命題的條件是否可直接由已知條件推出.如果可以，那么問題就解決了；如果還是不行，那就繼續(xù)按著同樣的方法向上追溯，直到所需要的某個命題已能由已知條件推得為止.

案例4 “若四邊形的兩組對邊相等，則四邊形是平行四邊形”的分析過程.

圖4已知：如圖4，在四邊形ABCD中，AD=CB，BA=DC.

求證：ABCD是平行四邊形.

分析法：連結(jié)BD，欲證ABCD是平行四邊形，則需證明AD∥BC，BA∥CD.可以證∠1=∠2，∠3=∠4，則需證△ABD≌△CDB，這一點(diǎn)則需先證出AD=CB，BA=DC，BD=DB.這些條件可以從已知中找到.

通過分析得到思路后，再用綜合法把證明過程寫出來就可以了.長期堅(jiān)持用分析法尋找證明的思路，學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力將會逐步得到提高.

案例5 究竟是白酒中的紅酒多還是紅酒中的白酒多？

相同數(shù)量的一杯白酒與一杯紅酒，取一匙白酒倒入紅酒內(nèi)，使之混和，再取同量的一匙混合酒倒入白酒內(nèi)，試問，白酒杯中所含的紅酒比紅酒杯中所含的白酒多，還是正好相反？

析解 通常的解法是：假設(shè)兩酒杯容量均為a，一匙的容量為b，則第一次動作后，白酒杯中所含白酒量為a-b，第二次動作后，……，不少人會在計算過程中擱淺、碰壁.

事實(shí)上，我們可作這樣進(jìn)行分析：兩個杯子最終含有相同數(shù)量的酒，如果每個杯子中的白酒和紅酒是分開的，那么白酒杯中的紅酒就是紅酒杯中所缺少的部分，而紅酒杯中所缺少的部分正好被白酒所填補(bǔ)，所以，白酒杯中所含紅酒的量與紅酒杯中所含白酒的量是相同的.

這個問題似乎不是數(shù)學(xué)問題，通過深層次的思考發(fā)現(xiàn)“白酒杯中紅酒的量就是紅酒杯中所缺少的量”是解答的關(guān)鍵.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維方式分析一些非常規(guī)問題是學(xué)生應(yīng)具備的基本素養(yǎng)之一.

2.5 通過建模教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識

“模型思想”和“應(yīng)用意識”都是《課標(biāo)（2011年版）》提出的十大核心詞，模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.所謂數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，就是一種用數(shù)學(xué)的眼光、從數(shù)學(xué)的角度去觀察、分析周圍生活中問題的積極的心理傾向和思維反應(yīng).現(xiàn)代社會比以往任何時候都更需要公民運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去面對生活和工作中的問題.通過建立數(shù)學(xué)模型解決這些問題對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考是非常有效的.

案例6 什么時間出發(fā)？

某旅行團(tuán)從甲地到乙地游覽，甲乙兩地相距100公里，團(tuán)中的一部分人乘車先行，余下的人步行，先坐車的人到途中某處下車步行，汽車返回接先步行的那部分人，已知步行時速是8公里，汽車時速是40公里，問要使大家在下午4：00同時到達(dá)乙地，必須在什么時候出發(fā)？

析解 這個問題實(shí)質(zhì)上求的是如果按照題設(shè)的行走方式，至少需要幾個小時才能保證下午4：00同時到達(dá)乙地，這需要通過建立方程組模型來解決.正確找到問題中所含有的等量關(guān)系是建立方程組模型的關(guān)鍵，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)所在，為幫助學(xué)生克服難點(diǎn)，可以借助于線型圖分析與思考：

設(shè)先坐車的一部分下車地點(diǎn)距離甲地x公里，這一部分人下車地點(diǎn)距離另一部分人的上車地點(diǎn)相距y公里，如圖5所示：

x+y40=x-y8，

2y+100-x40=100-x8，解得x=75，

y=50.

x40+100-x8=7540+100-758=5（小時）

答：要使大家在下午4：00同時到達(dá)乙地，必須在上午11：00出發(fā).

表面看本題目主要考查了學(xué)生列方程組解應(yīng)用題的能力.深層看是通過解答這樣的題目培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型意識、應(yīng)用意識，而這些意識的形成與數(shù)學(xué)思考密切相關(guān).

2.6 實(shí)施開放題教學(xué)策略

數(shù)學(xué)開放題是一種重要的教學(xué)思想和教學(xué)模式.在解答開放性問題時，因?yàn)樗臈l件不完備、答案不確定且具有層次性，解決策略具有發(fā)散性和創(chuàng)新性等特征，容易使學(xué)生主動參與、積極進(jìn)行思考與探究，也可以讓不同層次的學(xué)生在思考、解答同一問題時得到不同的發(fā)展，從而讓所有學(xué)生都有體驗(yàn)成功的機(jī)會，在成功的基礎(chǔ)上思考、探索更深層次的問題，從而形成良好的思維品質(zhì).

案例7 需要添加什么條件？

圖6如圖6，在四邊形ABCD中，點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)BE，CF.

（1）要使得△BEH≌△CFH，需要添加的條件是 .

（2）在問題（1）中，當(dāng)BH與EH滿足什么關(guān)系時，四邊形BFCE是矩形，請說明理由.

析解 （1）根據(jù)全等三角形的判定方法，當(dāng)EH=FH或BE∥CF或∠EBH=∠FCH時，都可以推出△BEH≌△CFH.（2）由（1）可得出四邊形BFCE是平行四邊形，再根據(jù)對角線相等的平行四邊形為矩形可得出BH=EH時，四邊形BFCE是矩形.

以上我們論述了幾種培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的常用方法.當(dāng)然，引發(fā)學(xué)生積極思考的途徑還有很多，希望老師們加強(qiáng)研究和交流，結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容努力為學(xué)生創(chuàng)設(shè)良好的思考環(huán)境，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，使學(xué)生成為會數(shù)學(xué)思考、樂于數(shù)學(xué)思考的人.實(shí)現(xiàn)《課標(biāo)2011版》提出的“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的基本理念.