引出向量組線性無(wú)關(guān)概念的方法探究

吳世玕，杜紅霞

(1.江西理工大學(xué) 理學(xué)院，江西 贛州341000；2.江西理工大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江西 贛州 341000)

線性代數(shù)學(xué)時(shí)少，內(nèi)容比較抽象.很多教材在處理向量組線性相關(guān)性問(wèn)題時(shí)，都是按照“概念-定理-例題-習(xí)題”這種順序編寫的，缺少概念的實(shí)際模型，與中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系得也較少，幾乎不講應(yīng)用實(shí)例.線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)這部分內(nèi)容，學(xué)生學(xué)起來(lái)總覺(jué)得抽象，定理較多，難于學(xué)懂.究竟應(yīng)該怎么教授這部分內(nèi)容，筆者作了一番思考，從n次多項(xiàng)式的表達(dá)，向量分解惟一性，坐標(biāo)系的構(gòu)建，線性方程組中多余方程四個(gè)學(xué)生熟悉的模型中提煉出線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念，學(xué)生易于接受，學(xué)起來(lái)也更有興趣.

1 用n次多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)引出向量組線性無(wú)關(guān)概念

n次多項(xiàng)式是學(xué)生們?cè)谥袑W(xué)就已經(jīng)熟悉的內(nèi)容，用它引出線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)概念，學(xué)生們聽起來(lái)就會(huì)覺(jué)得更輕松，有似曾相識(shí)的感覺(jué).

記實(shí)系數(shù)n次多項(xiàng)式的全體為集合V，則任何一個(gè)n次多項(xiàng)式都可以用給定的n+1個(gè)最簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式1,x,x2,x3,…,xn，通過(guò)多項(xiàng)式相加及實(shí)數(shù)與多項(xiàng)式相乘兩種運(yùn)算(稱為多項(xiàng)式的線性運(yùn)算)來(lái)表達(dá).且從1,x,x2,x3,…,xn中無(wú)論去掉哪一個(gè)，都無(wú)法用剩下的n個(gè)多項(xiàng)式線性表達(dá)出所有的n次多項(xiàng)式.換言之，要想用線性運(yùn)算表達(dá)出所有實(shí)系數(shù) 次多項(xiàng)式，有這n+1個(gè)最簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式1,x,x2,x3,…,xn就足夠了，且少一個(gè)都不行.

那么，多項(xiàng)式組1,x,x2,x3,…,xn有何性質(zhì)？多項(xiàng)式組1,x,x2,x3,…,xn中每一個(gè)多項(xiàng)式都不能由其余n個(gè)多項(xiàng)式線性表示.稱滿足這個(gè)性質(zhì)的多項(xiàng)式組是線性無(wú)關(guān)的.如果記多項(xiàng)式系數(shù)，按順序組成一個(gè)n+1維向量.則研究n次多項(xiàng)式問(wèn)題等價(jià)于研究n+1維向量的問(wèn)題.對(duì)于只含有一個(gè)向量的向量組，若這個(gè)向量不是零向量，則稱這個(gè)向量組是線性無(wú)關(guān)的.如果m≥2 ，向量組α1,α2,…,αm中的任何一個(gè)向量都不可能由這個(gè)向量組的其它向量線性表示，則稱這個(gè)向量組線性無(wú)關(guān).按這樣理解，向量組α1,α2,…,αm線性無(wú)關(guān)，就是向量組中的向量之間沒(méi)有任何線性關(guān)系，“誰(shuí)也線性表示不了誰(shuí)”.從線性表示的意義來(lái)說(shuō)，它們彼此是獨(dú)立的，這正是線性無(wú)關(guān)的含義.

容易證明，m≥2時(shí)，α1,α2,…,αm線性無(wú)關(guān)的充要條件是，零向量用α1,α2,…,αm線性表示時(shí)，表示法是惟一的，系數(shù)只能全為零.

由上面多項(xiàng)式的討論知，任何一個(gè)n次多項(xiàng)式都可以用1,x,x2,x3,…,xn線性表示.從1,x,x2,x3,…,xn中除去任何一個(gè)，都不足以線性表示所有的n次多項(xiàng)式.若α1,α2,…,αm是n維向量組A的部分向量組，向量組A中任何一個(gè)向量都可由α1,α2,…,αr線性表示，且從α1,α2,…,αr中去掉任何一個(gè)向量，都不足以線性表示A中所有向量(由此易證，去掉的那個(gè)向量不能由剩下的r-1個(gè)向量線性表示，由所去掉向量的任意性，從而知α1,α2,…,αr一定是線性無(wú)關(guān)的)，稱α1,α2,…,αr為向量組A的最大無(wú)關(guān)組.

2 用向量分解惟一性引出向量組線性無(wú)關(guān)概念

以三維向量空間R3為例，在空間解析幾何中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量坐標(biāo)概念.任何一個(gè)三維向量α=(α1α2α3)都可由基本單位向量組ε1=(1 0 0),ε2=(0 1 0),ε3=(0 0 1)線性表示，且線性表示方法是惟一的，表示的系數(shù)就是向量的分量.正因?yàn)榫€性表示方法是惟一的，才能合理地定義向量坐標(biāo)概念.

這里有一個(gè)向量分解惟一性的問(wèn)題.設(shè)向量β能由向量組α1,α2,…,αm線性表示，則稱向量β可分解為向量組α1,α2,…,αm的線性組合.感興趣的問(wèn)題是：向量β分解為向量組α1,α2,…,αm的線性組合時(shí)，分解方法是否惟一.我們往往要研究很多向量分解的惟一性.比如，向量空間R3中任一向量可否分解為向量組α1,α2,…,αm的線性組合，且分解是惟一的？向量空間R3中有無(wú)窮多個(gè)向量，如果一個(gè)一個(gè)地檢查，那是不可能的.是否有一種簡(jiǎn)潔的辦法呢？可以證明，如果向量β能分解為向量組α1,α2,…,αm的線性組合，則向量β分解為向量組α1,α2,…,αm的線性組合方法是惟一的，等價(jià)于零向量分解為向量組α1,α2,…,αm的線性組合方法是惟一的，即分解系數(shù)只能全為零.由此給出向量組線性無(wú)關(guān)的定義.

定義1n維向量組α1,α2,…,αm線性無(wú)關(guān)，指的是零向量分解為α1,α2,…,αm的線性組合時(shí)，分解方法是惟一的，即分解系數(shù)只能全為零.

如果零向量分解為α1,α2,…,αm的線性組合時(shí)，分解方法不是惟一的，即分解系數(shù)可以不全為零，則稱向量組α1,α2,…,αm線性相關(guān).

進(jìn)一步的問(wèn)題是，給定n維向量組A，若A中含有非零向量，是否可能從A中選出最少個(gè)數(shù)的向量α1,α2,…,αr，使得A中任何一個(gè)向量β都能分解為α1,α2,…,αr的線性組合(即向量組A與向量組α1,α2,…,αr等價(jià)).

如果A中只有一個(gè)向量，那這個(gè)問(wèn)題就太簡(jiǎn)單了.問(wèn)題是A中可能有很多向量，甚至無(wú)窮多個(gè)向量.我們先來(lái)看一下α1,α2,…,αr應(yīng)該具有什么性質(zhì).

(1)α1,α2,…,αr是線性無(wú)關(guān)的.否則α1,α2,…,αr中至少有一個(gè)向量可由其它r-1個(gè)向量線性表示，從而A中向量都可以由這r-1個(gè)向量線性表示，與“個(gè)數(shù)最少”的要求不符.

(2)向量組A中任何r+1個(gè)向量是線性相關(guān)的(如果A中有r+1個(gè)向量).事實(shí)上，若A中部分向量組β1,β2,…,βr+1線性無(wú)關(guān)，由于β1,β2,…,βr+1可由α1,α2,…,αr線性表示，從而r+1≤r，產(chǎn)生矛盾.

(1)和(2)也表明向量組α1,α2,…,αr與向量組A等價(jià).

由于n+1個(gè)n維向量構(gòu)成的向量組總是線性相關(guān)的，因此，這種部分向量組α1,α2,…,αr是一定存在的.稱選出來(lái)的最少個(gè)數(shù)的部分向量組α1,α2,…,αr為向量組A的最大無(wú)關(guān)組.

(1)和(2)也表明，向量組A的最大無(wú)關(guān)組中所含向量個(gè)數(shù)是惟一確定的(否則，若向量組A有兩個(gè)最大無(wú)關(guān)組，分別含有r個(gè)和t個(gè)向量，則由(1)和(2)知，r≤t，t≤r,從而r=t).稱向量組A的最大無(wú)關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)為向量組A的秩.

3 用坐標(biāo)系的構(gòu)建引出向量組線性無(wú)關(guān)概念

定義2n維向量組α1,α2,…,αm線性無(wú)關(guān)，指的是零向量分解為α1,α2,…,αm的線性組合時(shí)，分解方法是惟一的，即分解系數(shù)只能全為零.

若α1,α2,…,αr是向量組A的一個(gè)線性無(wú)關(guān)的部分向量組，且A中任何一個(gè)向量都可由α1,α2,…,αr線性表示，則稱α1,α2,…,αr是A的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.

在構(gòu)建坐標(biāo)系時(shí)，就是要選擇空間中的最大無(wú)關(guān)組作為坐標(biāo)軸方向的向量.當(dāng)然，互相正交的直線上的向量，是線性無(wú)關(guān)的.在三維空間中，能且只能作出三條互相正交的坐標(biāo)軸，也就是說(shuō)，空間的最大無(wú)關(guān)組中含有三個(gè)向量.

4 用多余方程引出向量組線性無(wú)關(guān)概念

如果一個(gè)方程組中有某個(gè)方程是其余方程的線性組合(通過(guò)方程兩端相加，數(shù)乘方程兩端兩種運(yùn)算將方程組合起來(lái))，就稱這個(gè)方程組中的方程線性相關(guān).如果一個(gè)方程組中的每個(gè)方程都不是其余方程的線性組合，就稱這些方程線性無(wú)關(guān).換言之，在線性運(yùn)算意義下，方程組中每個(gè)方程都是獨(dú)立的，與其它的方程無(wú)關(guān).

在一個(gè)方程組中，若某個(gè)方程是其余方程的線性組合，則刪去這個(gè)方程后所得方程組與原方程組同解.將這件事情一直進(jìn)行下去，最后必將得到與原方程組同解的方程組，所剩下的方程是線性無(wú)關(guān)的.

由于線性方程組中，起關(guān)鍵作用的是系數(shù)和右邊常數(shù)項(xiàng).仿照上面說(shuō)法，我們給出向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念.

定義3 給定向量組A，若A中含有兩個(gè)或兩個(gè)以上向量，且其中至少有一個(gè)向量是其它向量的線性組合，則稱向量組A線性相關(guān);若A中每個(gè)向量都不是其它向量的線性組合，則稱向量組A線性無(wú)關(guān).若A中只有一個(gè)向量α，則規(guī)定，當(dāng)且僅當(dāng)α=0時(shí)，向量組A線性相關(guān).