“莫比烏斯帶”讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的樂趣

胡志賓

“知之者不如樂知者，樂知者不如好知者。”帶著好奇，我接觸了“莫比烏斯帶”，就是將一個(gè)長(zhǎng)方形的紙條，一端扭轉(zhuǎn)180度，再將兩端粘貼起來。莫比烏斯帶的發(fā)現(xiàn)，為拓?fù)鋵W(xué)的形成和發(fā)展奠定了基礎(chǔ)，而拓?fù)鋵W(xué)正是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

大量的資料查閱，拉近了我與“莫比烏斯帶”的距離。為了讓學(xué)生也能感受到它的神奇，我們一起在課堂上進(jìn)行了實(shí)踐。

我請(qǐng)孩子們將長(zhǎng)方形紙條兩端對(duì)接起來，孩子們都做成了普通圓環(huán)，我卻做成了特殊的紙環(huán)——莫比烏斯帶。這兩種不同的對(duì)接方式，引起了孩子們的關(guān)注。教材主題圖中兩只螞蟻的不同境遇更是引起孩子們的深思，一只紙環(huán)外的螞蟻只能望著內(nèi)壁的面包屑焦急無助，另一只紙環(huán)外的螞蟻卻如愿以償?shù)爻缘搅藘?nèi)壁的面包屑。原來，紙環(huán)做法的不同，造就了不同的結(jié)果。意外的發(fā)現(xiàn)，讓孩子們更愿意學(xué)習(xí)“制作神奇的帶子”。在制作的過程中，通過小組合作感受它具有的一個(gè)面一條邊的神奇特性。之后，關(guān)于“莫比烏斯帶”由來的小故事更激起了孩子們研究的熱情。接著，我們共同進(jìn)入了“流連奇妙的魔幻世界”環(huán)節(jié)。我們首先研究了沿面的1/2線剪開會(huì)是什么樣。孩子們猜測(cè)著。接著，孩子們充分發(fā)揮想象力進(jìn)行“創(chuàng)造性地剪”。而這一個(gè)小的環(huán)節(jié)，卻讓很多學(xué)生手足無措。沿面的1/2線一直剪下去成了絕大多數(shù)學(xué)生的選擇，作品也便成了毫無頭緒的一個(gè)紙團(tuán)。這讓我不由得深思問題出在什么地方。

因了解才能對(duì)癥下藥，我進(jìn)行了學(xué)情調(diào)研。先讓被調(diào)研的孩子將長(zhǎng)方形紙條兩端對(duì)接粘貼起來，絕大多數(shù)同學(xué)都將長(zhǎng)方形紙條兩端直接對(duì)接粘貼，形成了一個(gè)圓環(huán)。僅有極個(gè)別同學(xué)將紙條粘貼成“莫比烏斯帶”，卻是一知半解。接著，讓孩子拿著“莫比烏斯帶”觀察提問，思考準(zhǔn)備研究什么問題。調(diào)研中，學(xué)生提出了關(guān)于面、邊以及它的歷史和用途等各種希望研究的問題。最后，調(diào)研了除了沿面1/2線剪開，還能怎樣創(chuàng)造性地剪？沿面的1/2線一直剪下去這樣的思維定勢(shì)依然禁錮著孩子們的思想?？粗⒆觽儫o從下手地不知從什么角度開始研究，看著孩子們提的問題雜亂無章，看著孩子們一條路走到底的思維定勢(shì)，數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課應(yīng)該給予學(xué)生什么成為迫切需要明確的問題。

數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課的學(xué)習(xí)中學(xué)生才是最絢麗的舞者。這樣的思想使我對(duì)“莫比烏斯帶”的教學(xué)進(jìn)行了重新設(shè)計(jì)。課程伊始，“步入奇妙的魔幻世界”環(huán)節(jié)中，我讓將長(zhǎng)方形紙條粘貼成“莫比烏斯帶”的學(xué)生滔滔不絕地向同學(xué)介紹他那饒有創(chuàng)意的作品。孩子們贊同地接受著這個(gè)新鮮的事物，并嘗試著制作。面對(duì)前后兩個(gè)不同做法制作的圓環(huán)和“莫比烏斯帶”，孩子們提出了自己的疑問：“圓環(huán)和莫比烏斯帶有什么不同？”“為什么圓環(huán)有1個(gè)面，莫比烏斯帶有2個(gè)面？”“還有什么方法做出各種神奇的帶子？”“莫比烏斯帶有什么用？”面對(duì)雜亂的提問，有的學(xué)生提出要?dú)w類整理一下，提高解決問題的效率。還有的學(xué)生提出，只有先了解“莫比烏斯帶”，才能知道它的作用。接著，孩子們輕而易舉地用畫線、涂色或手指移動(dòng)的方法證實(shí)了“莫比烏斯帶”只有一個(gè)面一條邊的特性。有的同學(xué)更有創(chuàng)意性地將圓環(huán)和“莫比烏斯帶”展開觀察，發(fā)現(xiàn)圓環(huán)要兩種顏色才能描畫完兩條邊，“莫比烏斯帶”一種顏色便可以描畫完全。孩子們思維的延展性真是讓我刮目相看。“流連奇妙的魔幻世界”環(huán)節(jié)中，近景魔術(shù)的表演更是讓孩子們饒有興趣地觀察著沿面1/3線剪開后的結(jié)果，大家都期待著見證奇跡的那一刻。孩子們躍躍欲試，動(dòng)手實(shí)踐著。只聽有人咕噥著：“我怎么得到的是1個(gè)2倍長(zhǎng)雙側(cè)曲面??？”那邊忽然又響起：“我知道了，老師是沿面的1/3線剪開的，不是沿面的1/2線剪開的。”近景魔術(shù)的秘密就這樣被孩子們揭穿了。還有同學(xué)提出沿面1/4線剪開、1/5線剪開，一直無法突破的瓶頸，就這樣被突破了。“創(chuàng)造奇妙的魔幻世界”環(huán)節(jié)中，孩子們提出可以利用“莫比烏斯帶”的原理做個(gè)跑道。我驚訝于孩子們的想法，我相信孩子們會(huì)將更多的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到生活中。

數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課是一種富有時(shí)代精神的課程形式，它更重視學(xué)生主動(dòng)建模的過程，更關(guān)注學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題的能力，更提倡小組合作、動(dòng)手實(shí)踐獲得真知灼見的過程，更體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系、與各學(xué)科知識(shí)的整合。

“莫比烏斯帶”常被認(rèn)為是無窮大符號(hào)“∞”的創(chuàng)意來源。然而，學(xué)生的創(chuàng)意也是無窮大的。數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課的學(xué)習(xí)中，教師要給予學(xué)生這樣的空間，讓他們體會(huì)到玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)的樂趣。

編輯 汪倩